数字信号处理第七章chhy.ppt

1、第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,本章主要内容,线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 利用窗函数法设计FIR滤波器 利用频率采样法设计FIR滤波器 IIR和FIR数字滤波器的比较,引 言,IIR数字滤波器：,可以利用模拟滤波器设计,相位非线性,FIR数字滤波器：,可以严格线性相位，又可任意幅度特性,因果稳定系统,可用FFT计算,但阶次比IIR滤波器要高得多,用全通网络进行相位校正，可以得线性特性。,一般只能设计单通带滤波器,可设计多通带滤波器,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,一、线性相位的条件,若h(n)为有限长，且 h(n)=0, nN-1，n0,故系统有N-1个零点，z=

2、0处有N-1阶极点,称为幅度特性（可为负值）,称为相位特性,第一类线性相位,第二类线性相位,群时延,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,例：若信号,分别通过两个系统，其系统函数分别为,线性相位输出,非线性相位输出,无失真传输,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,二、线性相位FIR滤波器的时域约束条件,则滤波器就具有严格的线性相位特点。,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,N又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相位FIR DF：,1、N为奇数，偶对称,N=11,2、N为偶数，偶对称,N=10,对称中心为,对称中心为,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,

3、3、N为奇数，奇对称,对称中心为,N=11,4、N为偶数，奇对称,对称中心为,N=10,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,1. 第一类线性相位条件,h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即h(n)=h(N-n-1)。,证明：,其系统函数为,将m=N-1-n代入,上式改写成 ：,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,滤波器的频率响应为,幅度函数为：,相位函数为：,显然()与成正比，是严格的线性相位。,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,2. 第二类线性相位条件,h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即h(n)=-h(N-n-1)。,证明：,其系统函数为,将m

4、=N-1-n代入,上式改写成 ：,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,滤波器的频率响应为,幅度函数为：,相位函数为：,相位特性是线性相位，而且还产生一个900相移，这样就使得通过filter的所有频率都相移900，因此称它为正交变换网络。（相移900的信号与原信号为正交的）。,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,三、线性相位FIR滤波器幅度特性的特点,(分四种情况讨论),两类线性相位FIR滤波器在N取奇数和偶数时，幅频特性各不相同。,1、N为奇数，h（n）为偶对称的情况,幅频特性为：,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,Hg()进一步表示为：,可见，Hg()对0，

5、2，呈现偶对称。,这种结构可以实现各种（高通、带阻、带通、低通）滤波器。,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,2、N为偶数，h（n）为偶对称的情况,可见，H()0，H()对呈奇对称，关于0和2偶对称 。,偶对称,偶对称,这种结构不适合做高通、带阻滤波器。,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,3、 N为奇数，h（n）为奇对称的情况,奇对称,奇对称,则：,可见： 0，2 时， H()0,H() 对0 ，2 呈奇对称,这种结构只能实现带通滤波器。,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,4、N为偶数，h（n）为奇对称的情况,可见： 0，2 时， H()0,H() 对呈偶对称

6、，对0，2 呈奇对称,这种结构不能实现低通和带阻滤波器。,这四种线性相位FIR filter的特性归纳在表7.1.1中（P198）。,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,三、线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点,1、零点的分布规则,所以，如果Z=Zi是零点，则Z=1/Zi 也一定是H（Z）的零点，h（n）为实数时，H（Z）的零点必成共轭对出现，即Z=Zi*也一定是H（Z）的零点，Z=1/Zi*也一定是H（Z）的零点。,零点分别是复数、 纯虚数、实数和 单位圆上的实数,7.2 利用窗函数法设计

7、FIR滤波器,一、设计思想,先给定理想filter的频响Hd(ej），要求设计一个FIR的filter的频响为H (ej） ，使其逼近Hd(ej）,7.2.1 窗函数法设计原理,二、设计过程,设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想filter的单位抽样响应 hd(n) ，然后加时间窗w(n)对hd(n)截断，以求得FIR filter的单位抽样响应h(n)。,例如，低通filter Hd(ej）是矩形的，则hd(n) 一定是无限长的且是非因果的。,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,三、 窗函数对频响的影响,1. 理想LF的单位抽样响应hd(n),理想低通filter的频响 Hd(ej）

8、,因为其相位()=- ，所以hd(n)是偶对称，其对称中心为，这是因为n= 时，即hd() = c/为其最大，故为其对称中心。又是无限长的非因果序列hd(n),7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,2. 加矩形窗,加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这相当于通过窗口RN(n)看hd(n)，称 wR(n)为窗口函数。,因h（n）是偶对称的。长度为N，所以其对称中心应为 =(N-1)/2，所以h（n）可写,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,2. 加矩形窗,加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这相当于通过窗口RN(n)看hd(n)，称 wR(n)为窗口函数。,因h（n）是偶对称的。长

9、度为N，所以其对称中心应为 =(N-1)/2，所以h（n）可写成如下形式：,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,3. h（n）的频响,(1) 对于矩形窗的频响,其中：,为幅度函数,为相位函数,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,（2） 对于理想LF的频响,为幅度函数,为相位函数,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,（3） h(n)的频响,其中：,为幅度函数，,为相位函数,四、窗函数频响产生的影响,从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响:,（1）当0时，,也就是在WR()从 到全部面积的积分。,因此，H(0)/H(0)=1(用H(0)归一化)。,（2）c时，Hd()正好与WR() 的一半

10、相重叠。 这时有H(c)/H(0)=0.5。,(5)当,时，随增加， WR() 左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷 积H()也随着WR()的旁瓣在通带内的面 积变化而变化，故H()将围绕着零值而波动。,(6)当,时，WR()的右边旁瓣 将进入Hd()的通带，右边旁瓣的起伏造成 H()值围绕H(0)值而波动。,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,五、几点结论,其频率响应将产生以下几点影响： （1）在理想特性不连续点 附近形成过渡带。过渡带宽近似 等于 主瓣宽度 ； （2）在通带和阻带内出现波动，并在截止频率 的两边出现最大尖峰值；,（3）主瓣附近窗的频率响应为：,随着N的加大，振荡变密，主瓣变窄；

11、 主瓣与旁瓣的幅度亦有所加大，但主 瓣与旁瓣的相对比例不变（吉布斯现象）。,调整窗口长度N可以控制过渡带的宽度，但不能减小尖峰的大小； 改变窗的形状可以减小带内波动和加大阻带衰减。,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,7.2.2 典型窗函数介绍,窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。,对窗函数要求,希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这是因为过渡带等于主瓣宽度。,尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。,1. 矩形窗,时域表达式：,频域表达式（频谱）：,幅度函数：,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,矩形窗设计法的基本步骤：,1. 确定窗口的宽度N； 2. 对理想低通

12、滤波器的冲激响应进行截断； 3. 进行延时，变为因果序列。 （ 矩形窗频谱的主瓣宽度为4/N,第一旁瓣比主瓣低13dB。）,例：试用矩形窗设计一个FIR数字低通滤波器，其通带截止频率c =0.3，矩形窗的长度分别取N=41 和 N=121。,解：,（1）N=41时，有a=(N-1)/2=20,h(n)=hd(n-20),n=0,1,40,特别地 h(20)=hd(0)= c/=0.3,（2）N=121时，有a=(N-1)/2=60,h(n)=hd(n-60),n=0,1,120,h(60)=hd(0)= c/=0.3,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,Program:,% 低通滤波器设计

13、N=41; a=(N-1)/2 ; n=0: (N-1); h=sin(0.3*pi*(n-a)./(pi*(n-a+eps); h(a+1)=0.3; %序号必须从1开始 subplot(1,2,1); plot(n,h); %画出脉冲响应,title(Impulse Response,N=41); axis(0,130,-0.1,0.4); xlabel(time sample n); ylabel(h(n); X=fft(h,128); subplot(1,2,2); plot(abs(X); %画幅频特性,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,title(Magnitude Respo

14、nse,N=41); axis(0,60,0,1.1); xlabel( in units of /N ); ylabel(H(); grid,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,2. 三角形（Bartlett）窗,时域表达式：,频谱：,主瓣宽度：,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,3. 汉宁窗（升余弦窗）,时域表达式：,频谱：,它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消,其中：,主瓣宽度,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,4. 海明窗，又称作改进升余弦窗,时域表达式：,频谱：,主瓣宽度,(旁瓣峰值/主瓣峰值）1% 有99.963%的能量集中在主瓣

15、内。,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,5. 布拉克曼窗，又称二阶余弦窗,时域表达式：,频谱：,主瓣宽度：,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,6. 凯塞贝塞尔窗,窗函数,I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数,一般I0(x)取1525项，参数可以控制窗的形状。 加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为 。 当=5.44时，凯赛窗接近哈明窗； =7.865时，凯赛窗接近布莱克曼窗。,凯赛窗参数对滤波器性能的影响见P210表。,幅度函数：,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,表7.2.2 六种窗函数的基本参数,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,7.2.3 用窗函数法设计FIR滤波器的步

16、骤：,（1）给定理想的频率响应函数Hd(ej）及指标2，,（2）求出理想的单位抽样响应hd(n),（3）根据阻带衰减选择窗函数w(n),（4）根据过渡带宽确定N值,（5）求所设计FIR滤波器的单位抽样响应：h(n)hd(n)w(n),（6）计算频响H(ej），验算指标是否满足指标。,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,如何由Hd(ej） hd(n)？,公式：,IFFT算法：,对Hd(ej） 进行等间隔抽样，得到：,求IFFT,而,hd(n),7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,例：根据下列技术指标，设计一个FIR数字低通滤波器。 p=0.2 ，Ap=0.25dB， s=0.3 ，As=50

17、dB。,解：根据通带和阻带衰减的要求，确定窗的形状，哈明窗和布莱克曼窗均可提供大于 50dB的衰减。选哈明窗，它提供了较小的过渡带，可具有较小的阶数。,查表7.2.2，根据过渡带宽的要求可计算N，得N=6.6 / ，其中为过渡带的宽度。,用此方法设计的FIR滤波器需检验是否满足通带性能要求。,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,程序：,%根据技术指标，设计FIR数字低通滤波器 %选哈明窗 wp=0.2*pi;ws=0.3*pi; deltaw=ws-wp; %为过渡带的宽度 N1=ceil(6.6*pi/deltaw); %计算N N=N1+mod(N1+1,2); %确保N的长度为奇数,实

18、现第一类线性相位 滤波,wdham=(hamming(N); %求哈明窗 wc=(wp+ws)/2; %截止频率取两边频率的平均值 hd=ideallp(wc,N); h=hd.*wdham; %检验 H=fft(h,128);,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,HdB=20*log10(abs(H+eps)/max(abs(H);%计算相对振幅 Ap=-min(HdB(1:wp/(2*pi/128)+1); %检验通带波动 plot(HdB); legend(哈明窗,FIR数字低通滤波幅频特性),7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器,1. 用频率采样法设计FIR滤波器的基本思想,将理想

19、滤波特性 经单位圆上的N等分采样后得到频域采样值：,以此作为实际FIR数字滤波器的频率特性的样值：,通过H(k)实现FIR数字滤波器。,7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器,进行N点IDFT得到：,重构FIR的的单位抽样响应,重构系统函数,也可由频率采样值恢复原信号的Z变换：,用频率采样法设计FIR数字滤波器主要关心两个问题： （1）实现线性相位Hd（k）应满足的条件； （2）逼近误差及其改进措施。,7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器,2. 设计线性相位滤波器时对Hd(k)的约束条件,FIR数字滤波器为线性相位，必满足第一或第二类线性相位的条件:,或,h(n)是实序列，第一类线性相位FI

20、R滤波器：,频响函数：,N=奇数,N=偶数,进行N点采样，采样频率点,N=奇数,N=偶数,7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器,理想低通滤波器,截止频率为 采样点数N，则有：,7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器,3. 逼近误差及其改进措施,由于,令,其中,在各频率采样点上，滤波器的实际频响是严格地与理想频响相等。,但在抽样点之间则由内插公式确定，因而有一定的逼近误差。,频率采样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合最优化设计; 缺点是采样频率只能等于2/N的整数倍，因而不能确保截止频率c的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加采样点数N，但这又使计算量加大。,误差的大小与理想频率

21、响应曲线的形状有关，越平滑的特性部分误差越小，内插值越接近理想值； 在特性曲线间断点附近，内插值与理想值的误差最大，并产生尖峰和波纹，形成振荡。振荡的形成会减小阻带衰减，破坏滤波器性能。,7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器,减少误差的改进措施：,（1）增加N，减少逼近误差，但间断点附近的误差仍很大； （2）在频响间断点附近区间增加一个或多个过渡采样点（也称为加频窗），使不连续点变成缓慢过渡。结果是加大了过渡带，但增大了阻带衰减。,7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器,（1） 根据阻带最小衰减，选择过渡带采样点的个数m,4. 频率采样法设计步骤,（2） 确定过渡带宽度，估算频域采样点数N,（3） 构造一个希望逼近的频率响应函数,（4） 进行频域采样，并加入过渡带采样,（5） 对H(k)进行N点IDFT，得到第一类线性相位FIR 数字滤波器的单位脉冲响应,（6） 检验设计结果,7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器,例 ： 利用频率采样法设计线性相位低通FIR数字滤波器，其理想频率特性是矩形的,0c,其他,已知c=0.5，采样点数为奇数N=33。试求各采样点的幅值H