第四章拉普拉斯变换2.ppt

1、1,第4章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析,4.1 引言,4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域,4.3拉普拉斯变换的基本性质,4.4拉普拉斯逆变换,4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域的元件模型,4.6系统函数H(s),4.7系统函数的零、极点分布决定时域特性,4.8系统函数的零、极点分布决定频域特性,4.10全通网络和最小相移函数的零极点分布,4.11线性系统的稳定性,本章要求,作业,2,4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型,连续系统的复频域分析,拉普拉斯变换分析法是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程，便于运算和求解；变换自动包含初始状态，

2、既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。,前面计算结果阶跃函数可写，也可不写。但本节是应用，有了物理意义一般要写 或 。,3,一、 微分方程的复频域分析法,以二阶常系数线性微分方程为例：,微分方程两边取拉氏变换，由时域微分性质得：,整理可得：,4,5,复频域分析法,当已知微分方程时： 1.对方程两边取拉氏变换，得到复频域中的代数方程； 2.计算 ； 3.求其反变换，得 。,6,解：对微分方程取拉氏变换，得,例： 已知,起始条件为：,求 y(t),7,8,拉氏变换分析的优点：,1.把微分方程转化成代数方程;,3.不仅可以求稳定系统，而且可求不稳定系统；,4.已知电路也可以直

3、接求解。,2. 到 作单边拉氏变换， 状态自动包含其中，无需计算 状态；,9,二、电路的复频域模型,(1)、电阻元件的s域模型,1、s域元件模型,已知电路时，可根据复频域电路模型，直接列写求解复频域响应的代数方程。,10,(2)、电感元件的s域模型,内电压源极性与电感电流极性不一致；内电流源极性与电感电流极性一致;串联模型中，元件上的电压为复频阻抗上的电压与内电压源的电压之和。,11,(3)、电容元件的s域模型,电流源形式：,内电源极性与电容两端极性一致,12,1. 内电压源极性只与电容两端电压有关； 内电流源方向只与电感电流有关；,2. “等效”概念(端子)；,注意：,13,复频域电路模型:

4、 将原电路中已知电压源和电流源都变换为相应的拉氏变换；未知电压、电流也用其拉氏变换表示；各电路元件都用其复频域模型代替（初始状态变换为相应的电源）。,对该电路模型而言，用以分析计算正弦稳态电路的各种方法（如无源支路的串、并联、电压源与电流源的等效变换等等）都适用。无需列写电路的微分方程。,14,用电路的复频域模型求解响应的步骤,1. 电路中的每个元件都用其复频域模型代替（初始状态转换为相应的内电源）； 2. 信号源及各变量用其拉氏变换式代替； 3. 画出电路的复频域模型； 4. 应用电路分析的各种方法和定理求解响应的变换式。 5. 反变换得响应的时域表达式。,15,解：画出复频域模型如图所示,

5、由KVL得,例：,16,零状态响应,零输入响应,全响应,17,4.6 系统函数H(S),1、定义： 系统函数H(s)是系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。,2、系统函数的求取,由系统冲激响应,冲激响应和系统函数是一对拉氏变换对。,即,18,由电路零状态下的复频域电路模型 首先将网络结构转换成 s 域模型，然后根据网络的 s 域模型，直接求出系统的转移函数。 网络的 s 域模型： RR LsL C1/sC,已知零状态响应及其输入,由系统模拟图 一个总系统由一些子系统按照一定的方式连接而成，当各子系统的系统函数已知时，可以通过框图化简求得总系统的系统函数。,19,从系统的微分方程直接列

6、写系统函数,将系统函数的表达式与系统的微分方程比较，两者存在着明显的关系。由此可见，可直接从微分方程列写系统函数。反之，已知系统函数同样能写出微分方程。,20,3、 系统函数与零状态响应的关系,无时限复指数函数,当激励为,上式表明，激励为 时，响应(零状态响应或强制响应)为 ，被加权了。或者说，只要将指数激励乘以系统函数即可。,条件：s1 位于 H(s) 的收敛域内。,21,在,激励下的响应,所以系统函数也可作如下定义：,用框图表示，为,系 统,22,23,我们下面进一步理解拉氏变换的物理意义：,实质上，在时域中，把信号分解为无穷多个冲激信号分量的和；而 在复频域中，把信号分解为无穷多个复指信

7、号分量的和。,如果把积分号看成求和号，则 的每一个,则响应的分量为,指数分量为,24,则响应的分量为,把无穷多个响应分量叠加起来，得,即,指数分量为,25,H(s)名称的含义,26,4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性,一、系统函数的零点与极点,zj 称为系统函数的零点pk 称为系统函数的极点,系统函数的零、极点图：是系统函数的另一种表示方法。 零点用“ ”表示，极点用“ ”表示，若为 l 重零点或极点，则注以 ( l )。,实际系统的系统函数是复变量 s 的实有理函数，其零、极点一定是实数或成对出现的共轭复数。,27,二、H(s)零极点分布与h(t) 波形特征的对应,1、H (s) 的所

8、有极点都为单极点,（1）极点位于s平面坐标原点,28,(2)若极点位于s平面实轴上,在负半实轴上的单极点对应于衰减模式，正半实轴上的单极点对应于发散模式，原点的单极点对应于常数。,29,(3)虚轴上的共轭极点给出等幅振荡,原点的单极点对应于常数，虚轴上的单极点对应于等幅振荡。,30,（4）左半s平面内共轭极点对,31,2、若 H (s) 具有 n 重极点，则冲激响应的模式中将含有 tn-1 因子。,32,负实轴上的二阶极点,33,结论：,极点：,左半s平面h(t)衰减,右半s平面h(t)增长,虚轴上,一阶极点h(t) 等幅振荡或阶跃,二阶极点h(t) 呈增长形式,h(t)衰减 稳定系统（极点在

9、左半s平面）,h(t)增长 非稳定系统（极点在右半s平面）,如果在虚轴上,一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定）,二阶：以上不稳定系统,34,3、 H (s) 零点分布的情况只影响冲激响应的幅度和相位，而对冲激响应的模式没有影响。,4、当 H (s) 为假分式时，应先化成多项式与真分式之和。多项式部分表示冲激响应中含有冲激函数及其各阶导数，再分析真分式部分所对应的响应模式。,35,三、 由系统函数的极点分布与自由相应、强迫响应特征的对应,H(s) 与系统的响应模式之间的关系：,36,来自H(s) 的极点,来自E(s) 的极点,自由响应,强迫响应,37,（1）零状态响应 rzs(t),H(s) 的极点

10、确定零状态响应中自由响应的模式,E(s) 的极点确定零状态响应中强制响应的模式,若 H(s) 的极点与 E(s) 的零点相同，自然响应会减少一项；,若 H(s) 的零点与 E(s) 的极点相同, 响应减少一项。,例如,38,例如,若 H(s) 与 E(s) 的极点相同，会增加一个新的分量，这两个相同极点所对应的分量是自然响应和强制响应合成的结果。,39,（2）零输入响应 rzi(t),零输入响应的模式由系统特征方程的根确定。,如果 H(s) 没有零、极点相消，则特征方程的根就是H(s) 的极点，则零输入响应的模式由 H(s) 的极点确定。,如果 H(s) 的零、极点相消时，系统的某些固有频率在

11、 H(s) 的极点中将不再出现，这时零输入响应的模式不再由 H(s) 的极点确定。,40,（3）稳定系统各种响应之间的关系,暂态响应：激励信号接入以后一段时间内，全响应中暂时出现的分量，随着时间t的增大，它将逐渐消失。,稳态响应：全响应中减去暂态响应。,41,H(s)的极点,左半s平面自由响应属于暂态响应,右半s平面,虚轴,自由响应属于稳态响应,E(s)的极点,左半s平面强迫响应属于暂态响应,右半s平面,虚轴,强迫响应属于稳态响应,42,4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性,1、什么是系统频响特性？ 系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化而变化的特性，称为系统的频率响应特性（fr

12、equency response）简称频响特性。,令稳定系统H(s)中 s =jw ，则得系统频响特性。,43,对于稳定系统而言, 此项将随时间的增 长而趋于零.,44,幅度和相位发生变化,45,46,2、用几何法求系统频率特性,复数a和b及a-b的向量表示,47,系统函数的向量表示:,48,（4-117）,（4-118）,49,一阶高通（例4-20）,幅频特性,相频特性,3.一阶系统的s平面的分析(p220-p224),50,51,52,一阶低通（例4-21）,53,一阶低通滤波器的幅频和相频特性,54,4.10全通网络和最小相移函数的零极点分布,1、定义：系统极点位于左半平面，零点位于右半

13、平面, 且零、极点对于虚轴互为镜象对称则，这种系统函数成为全通函数，此系统成为全通系统(全通网络)。 全通，即幅频特性为常数，相移肯定不是零，它本身是非最小相移网络。,一.全通函数,55,2、全通网络的零极点分布,56,57,3、应用 用来对系统进行相位校正,一些对称性强的网络可能是全通网络,4、电路结构,58,二.最小相移网络,定义：零点仅位于左半平面或虚轴上的转移函数。,可以证明：非最小相位函数可以表示为最小 相位函数与全通函数的乘积。,59,60,4.11 线性系统的稳定性,一、 由系统函数的极点判别系统的稳定性,1. 稳定系统 对于有界的激励产生有界的响应的系统。,设连续时间系统的输入

14、信号x(t)有界，即：,则：,61,欲使y(t)为有界输出，即 ，则系统的冲激响应h(t)必须满足绝对可积的条件,线性时不变因果系统稳定的充分必要条件：,62,2.系统稳定性分类,(1) 稳定系统：H(s) 的极点均位于s左半平面。,(2) 临界稳定系统：H(s) 在虚轴上(包括原点)有一阶极点，其余的所有极点均位于 s 左半平面。,(3)不稳定系统：H(s) 有位于 s 右半平面的极点，或在虚轴上(包括原点)有二阶以上的极点。,63,64,例 如图所示反馈系统，已知其子系统的系统函数,试问常数 K 满足什么条件时，系统是稳定的？,解：由图可得该正反馈系统的系统函数为,H(s) 的极点为:,6

15、5,例 如图所示反馈系统，已知其子系统的系统函数,试问常数 K 满足什么条件时，系统是稳定的？,解：,要使极点都在左半平面，须:,解得 K2，所以当 K2 时系统是稳定的。,H(s) 的极点为,66,4.12 双边拉普拉斯变换,在某些情况下，有时还要考虑双边时间函数，如周期信号、平稳随机过程等，或是不符合因果律的理想系统，这时就需用双边拉普拉斯变换来分析。,一、双边拉普拉斯变换,1、双边拉普拉斯变换的定义,67,若Fa(s)、Fb(s)同时存在，且二者有公共收敛域，则f(t) 的双边拉氏变换为右边函数 fa(t) 的拉氏变换 Fa(t) 和左边函数 fb(t) 拉氏变换 Fb(t) 之和。,如

16、 与 没有公共收敛域，则 的双边拉氏变换就不存在。,将f(t)代入双边拉普拉斯变换的定义式，则有,68,2、如何求左边函数的拉氏变换,综上所述，求取左边函数的拉氏变换 可按下列三个步骤进行：,（1）令 ，构成右边函数 ；,（2）对 求单边拉氏变换得 ；,（3）对复变量 取反，即 ，就求得 。,69,例 求双边指数函数的双边拉普拉斯变换。,，,解：首先求右边函数的拉氏变换,左边函数的拉氏变换 求取如下：,（1）,（2）,（3）,70,因为,，所以 和,有公共收敛域 。,故,存在并为,71,二. 双边拉普拉斯反变换,例 求,，的时间原函数。收敛域分别为,（1）,（2）,（3）,左侧的极点对应于 的

17、右边函数,右侧的极点对应于 的左边函数,72,对应于 的是左边函数 ， 的求取如下, 令 ，得,；, 对 求单边拉氏反变换，得,最后得其解为,73,三. 双边信号作用下线性系统的响应,例: 已知激励信号 ，,系统冲激响应为 ，,求系统的响应。,解：由双边拉氏变换有,而,可见, 与 有公共收敛域，,故 存在，则有,74,均为右侧极点，对应的右边时间函数为,故系统的响应,由收敛域可知， 为右侧极点，对应的左边时间函数为,75,4.13 拉普拉斯变换傅立叶变换的关系,拉普拉斯变换,傅立叶变换,76,因果,乘衰减因子,77,傅氏变换不存在，拉氏变换存在。,从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号,78,从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号,79,存在傅氏变换，但收敛于虚轴，不能简单用 ，要包含奇异函数项。,从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号,80,f(t)存在F(s)，但在j轴不收敛；,j轴有N个单根极点：,81,从 的单边拉氏变换求它的傅氏变换,82,本章要求,1、掌握拉普拉斯变换的定义、物理意义及收敛。 2、熟练掌握常用函数的拉氏变换，包括阶跃函数、指数函数、冲激函数。 3、熟练掌握拉氏变换的性质：线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域平移、尺度变换、初值、终值、卷积等。 4、掌握用部分分式分解法计算拉普拉斯逆变换。5. 熟练掌握