第四章 热传导方程.ppt

1、上午3时55分,1,4.1 一维初值问题,第四章 热传导方程,4.1.1 无限长杆上初值问题的傅里叶变换法,例1 解定解问题,解：利用傅立叶变换的性质,上午3时55分,2,例2 解定解问题,解：对x求傅氏变换,对t求拉氏变换,上午3时55分,3,上午3时55分,4,例1 解定 解问题,解：对t求拉氏变换,4.1.2 半无限长杆上初值问题的拉普拉斯变换法,上午3时55分,5,4.2.1 无热源有限长杆上初边值问题的分离变量法,令,代入方程：,解：,4.2 一维初边值问题,上午3时55分,6,由例4知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,满足方程,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足

2、方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,故原问题的形式级数解为,上午3时55分,7,分离变量流程图,上午3时55分,8,令,代入方程：,令,例2 求下列定解问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,上午3时55分,9,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,上午3时55分,10,例3 求下列定解问题,解：令,上午3时55分,11,于是得到一系列分离变量形式的特解,上午3时55分,12,若 ，则u为多少？ 为什么会出现这样的现象？,思考,这些特解满足方

3、程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,若,上午3时55分,13,例4 求下列热传导方程的定解问题,解法一：令,上午3时55分,14,解法二：令,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,上午3时55分,15,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,上午3时55分,16,例1 求下列定解问题,解：先考虑对应的齐次问题,其特征值和特征函数为,由分离变量法可得特征值问题,4.2.2 有热源有限长杆上初边值问题的特征函数展开法,上午3时55分,17,上午3时55分,18

4、,4.2.3 具有非齐次边界条件的热传导问题,解：令,可以用分离变量法求解以上问题。,上午3时55分,19,求定解问题,解：令,可以用分离变量法求解以上问题。,上午3时55分,20,求定解问题,解：令,上午3时55分,21,例1 求解下列二维热传导方程的定解问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,4.3.1 矩形域上热传导问题,4.3 高维初边值问题,上午3时55分,22,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,上午3时55分,23,设有半径为R的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。,问题归结为求解如下定解问题：,4.3.2 圆形薄盘上热传导问题,上午3时55分,24,令：,令：,上午3时55分,25,n阶贝塞尔方程,周期特征值问题,的特征值和特征函数分别为,令,上午3时55分,26,4.3.3 圆形薄盘上轴对称热传导问题,设有半径为1的圆形薄盘，上下两面绝热，圆