固体物理 第4章 能带理论5.ppt

1、4-7 能态密度和费米面 一、能态密度函数 在单个原子中电子的本征态形成一系列分立的能级，可以具体标 明各个能级的能量，说明它们的分布情况。而在晶体中电子能级是准 连续分布的，为了概括这种情况下的能级分布，引入“能态密度”的概 念。用,表示能量在,之间的状态数，则能态密度函数定义,为：,在三维情况，状态在k空间分布的密度为：,，能量在,（ ）,之间对应的体积为,，则：,如果已知,，则可以计算出态密度。,二、费米面 若固体中有N个电子，它们的基态是按泡利原理由低到高填充尽 可能低的N个量子态，设N个电子在k空间填充半径为,的球，计及,电子自旋有：,这里n为电子密度。引入自由电子球半径,，可得,，

2、代入上式有：,为氢原子基态波尔半径，假定电子可以,看成自由电子，从而有：,当金属中电子密度,时，,的值在26之间，,费米能量大约在1.515eV。,N个电子填充这些能级中最低的N个，有两种可能： 1、电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的。最 高的满带称为价带，最低的空带称为导带，价带最高能级与导带最低 能级之间的能量范围称为带隙。这种情况对应于绝缘体和半导体。带 隙宽度大的（大约10eV）为绝缘体，带隙宽度小的（1eV）为半导体。,2、如果除完全被电子充满的一系列能带外，还存在被部分充满的能 带，这个被部分充满的能带称为导带。这时最高占据能级称为费米能 级。在每个部分占据的能带

3、中，k空间都有一个占有电子和不占有电 子区域的分界面，所有这些表面的集合就是费米面。这种情况对应金 属导体。 4-8 表面电子态 ITamm于1932年提出晶体存在自由表面时，会在能隙中产生表面电 子态的能级，这就是通常所说的Tamm表面态。1939年 W.Shockley又 提出共价晶体的表面悬挂键在能隙中产生表面电子态，这就是通常 所说的Snockley表面态。为了说明金属半导体接触势垒的高度对 金属功函数的依赖关系，J. Bardeen 于1947年提出在半导体表面存 在密度相当大的表面态，表面态中的电荷产生的电势差对金属半 导体接触势垒高度有控制作用。直接测定金属或者半导体的表面电子

4、态是70年代XPS(Xray photoelectron spectroscopy)和 UPS(ultraviolet photoelectron spectroscopy)等新技术发明以后。 假定表面是理想的，考察晶体表面对电子本征态的影响。设晶体表面 以z=0为分界面， 的区域为具有周期性势场 的晶体； 的区 域是真空，电子势能 为一常数。如下图。,单电子的薛定谔方程为：,在,的区域，当,时,方程的解为：,在,的区域，方程的解为：,由于周期性势场在表面处中断，因此在表面处附近可能出现复波矢,的许可态：,根据波函数及其导数在边界处连续的条件以及波函数有限的要求（设,，当,时，,保持有限），可

5、以得到表面态能级：,表面能级对应的波矢既然是复数，这个能级就不可能在无限晶体的许 可能带中，只可能位于能隙中。其波函数在真空中指数衰减，在晶体 中是衰减的振荡函数。这种形式的波函数称为迅衰波（evanescent wave）。 4-9 无序系统中的电子态 在固体系统中无序是指相对于完整晶体中原子排列的高度有序状 态的偏离。无序系统大致可以分为：（1）成分无序（compositional disorder）；(2) 拓扑无序（topological disorder）。具有严格周期性的有,序晶格是平移不变的，单电子态可用波矢量k标记并形成能带，能带 电子的状态由布洛赫函数表示,所有电子均在有序晶

6、格中作共有化运动，且各格点周围振幅,相同,，这种状态在整个晶体中的扩展特征是长程有序效应的反映，因此 布洛赫态又称为扩展态（extended states）。具有扩展态是有序晶格的 特征。,当有序晶格中掺入少量杂质后，周期性被局部破坏，这时将有电 子或者空穴被束缚在杂质上，并在导带之下或者价带之上（能隙区中） 形成施主和受主能级，这些电子（或者空穴）的波函数是指数衰减型 的定域函数：,称为定域化长度。这时电子在杂质,附近作定域化的运动，有别于扩展在整个晶体中的共有化运动，称为 电子的定域态（localized states）。实验表明当杂质浓度增高时，定域 态的电子能级可能密集成带，并与导带相

7、连接，形成导带的尾部 （tail）它们对电导率的贡献很小。存在定域态是无序的标志。,对于无序系统的电子态理论研究有两种处理方法；其一是对无序系 统作某种平均后近视当作有序系统处理，这种方法以相干势近似为代 表。其二是从无序系统的定域态出发，设计一些无序模型，研究无序 系统与有序系统电子态的差别，这种方法以安德森的工作为代表。 1、安德逊（P.W.Anderson）无序模型 无序系统由于不具有平移对称性，波矢k不再是描述电子状态的 好量子数，必须从定域态（或者原子轨道态）出发设计模型和讨论 问题。安德森将紧束缚近似（TBA）方法推广用于无序系统，用 旺尼而函数作为基本函数把波函数进行二次量子化展

8、开，引入反映 “无序程度”的变化宽度的参量W，而格点近邻交叠积分均取相同的 值V则表示无序系统的“短程有序”特征。因此，这个简化的模型概括 了无序系统的主要特点，由此出发将便于求得定域化条件和引进 迁移率边界等新概念。安德森定域化条件为（E=0态）：,（z为每个格点的近邻数，e为自然对数的底数）。,2、莫特（N.F.Mott）模型 当安德森条件不满足时，三维无序系统中E=0态不满足收敛条件，,它不能形成稳定的定域态，仍然是在系统中传播的扩展态。莫特指出： 这时在无序系统中既存在扩展态，也存在定域态。扩展态分布在紧束 缚近似能带的中心，定域态在带尾部分，并有一个划分扩展态与定域 态的能量边界 ，如下图,当温度趋于0k时定域态中电子迁移率趋于零，而扩展态中迁移率仍然 为有限值，因此莫特将EC称为迁移率边缘。对于任意E态，定域化 条件为：,莫特还进一步提出了安德森转变（Anderson transition）的概念，如果 在Si晶体中掺入施主杂质磷，由于施主杂质的分布是无规的，就形成 无序系统