电磁场与微波技术(场论)

1、1,第章 场论,1.1 矢量的基本运算公式 1.2 场的基本概念 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的散度和旋度 1.5 亥姆霍兹定理 1.6 常用正交曲线坐标系,2,1.1 矢量的基本运算公式,1.1.1 标量和矢量 1.1.2 基本运算公式 1.1.3 常用矢量,3,标量-用大小能够完整描述的物理量 矢量-需用大小和方向描述的物理量,若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 一个矢量就确定了。 例如在直角坐标系中, 矢量A的三个分量模值分别是Ax , Ay , Az, 则A可表示为,该矢量的模为,1.1 矢量的基本运算公式1.1.1 标量和矢量,A的单位矢量为,矢量的表示方法,4,例如,在直

2、角坐标下,标量场,如温度场,电位场,高度场等;,矢量场,如流速场,电场,涡流场等。,1.1 矢量的基本运算公式1.1.1 标量和矢量,5,设,1.1 矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式,(2) 矢量的加法和减法,(1) 矢量的数乘,6,(3) 标量积和矢量积,标量积AB,并有,因而得,矢量的相乘有两种定义-标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。,1.1 矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式,7,矢量积AB,(3) 标量积和矢量积,并有,故,1.1 矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式,8,标量三重积为,矢量三重积为,（4） 三重积 矢量的三连乘也有两种-标量、矢量三重积。,

3、1.1 矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式,9,(5) 求导,例 求矢量场 的矢量线方程。 解 矢量线应满足的微分方程为,从而有,解得矢量方程,c1和c2是积分常数。,1.1 矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式,10,1.1 矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式,(6) 曲线积分,例 设,，求任意两点a、b间的矢量E的线积分。,解,11,(7) 曲面积分,例 已知矢量场 ，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。 解,1.1 矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式,12,1.1 矢量的基本运算公式1.1.3 常用矢量,单位矢量 一个

4、特定方向上的单位矢量等于该方向上的任一矢量除以其幅值 分矢量 一个矢量在特定方向上的投影为其在该方向上的分量 切向矢量（分量） 法向矢量 （分量）,13,1.2 场的基本概念,1.2.1 定义 1.2.2 分类 1.2.3 场图,14,1.2 场的基本概念1.2.1 场的定义,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。,1.2.2 场的分类,（1） 标量场,例如,在直角坐标系,标量场的场线-等值线(面)。,等值线,15,标量场(x, y, z)的等值面方程为,1.2 场的基本概念1.2.1 场的定义,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定

5、的标量或矢量值。,1.2.2 场的分类,（1） 标量场,例 求数量场 =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。 解 点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为,或,16,1.2 场的基本概念1.2.1 场的定义,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。,1.2.2 场的分类,（2） 矢量场,例如,在直角坐标系,矢量场的场线-矢量线。,其方程为,三维场,在直角坐标下,二维场,17,1.2 场的基本概念1.2.1 场的定义,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个

6、确定的标量或矢量值。,1.2.2 场的分类,（2） 矢量场,例 求矢量场 的矢量线方程。 解 矢量线应满足的微分方程为,从而有,解得矢量方程,c1和c2是积分常数。,18,形象描绘场分布的工具-场线,矢量场-矢量线,标量场-等值线(面)。,其方程为,其方程为,在直角坐标下:,矢量线,在某一温度上沿什么方向温度变化最快？,1.2.3 场图,19,1.3 标量场的梯度,1.3.1 方向导数 1.3.2 梯度 1.3.3 梯度的物理意义,20,标量场(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为沿该方向的方向导数 。 它的值与所选取的方向 有关, 设,1.3 标量场的梯度,1.3.1 方向导数,21,

7、1.3 标量场的梯度,标量函数的最大变化率,1.3.1 方向导数,在直角坐标系下,性质,垂直于等值面； 指向变化最快的方向； 最大的变化率；,定义,1.3.2 梯度,定义,22,引入,则,定义标量场(x, y, z)在点P(x, y, z)处的梯度(gradient)为,23,标量函数的等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为,即梯度的方向与过该点的等值面相垂直, 并由梯度定义知, 它指向增大的方向。,一座山的等高线图,24,梯度运算有如下规则:,25,例 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿 方向的方向导数。 解 l方向的方向余弦为,而,在l方向的方向导数为,在点M处沿l方向的方向导数,26

8、,例 求r在M(1，0，1)处沿 方向的方向导数。 解 r的梯度为,点M处的坐标为x=1, y=0, z=1,所以r在M点处的梯度为,r在M点沿l方向的方向导数为,而,所以,27,标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;,梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。,梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数;,1.3.3 梯度的物理意义,三维高度场的梯度,例 高度场的梯度,与过该点的等高线垂直；,数值等于该点位移的最大变化率；,指向地势升高的方向。,28,例 电位场的梯度,与过该点的等位线垂直；,指向电位增加的方向。,数值等于该

9、点的最大方向导数；,电位场的梯度,29,1.4 矢量场的散度和旋度,1.4.1 通量 1.4.2 散度 1.4.3 环量 1.4.4 旋度,30,1.4 矢量场的散度和旋度1.4.1 通量,元通量,通量,31,矢量 E 沿闭合曲面S 的面积分, 0 (有正源), 0 (有负源), =0 (无源),矢量场的通量,可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:,通量的物理意义,32,定义矢量A在某点的散度(divergence), 记为divA:,1.4 矢量场的散度和旋度1.4.2 散度,哈密顿(W .R .Hamilton)引入微分算子,则散度可以表示为,33,1.4 矢量场的散度和旋度1.4.2

10、 散度,34,得高斯公式(散度定理),该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。,矢量函数的面积分与体积分的互换。,1.4 矢量场的散度和旋度1.4.2 散度,意义,35,例 球面S上任意点的位置矢量为,试利用散度定理计算,解,36,矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量), 记为,1.4 矢量场的散度和旋度1.4.3 环量,环量密度,取不同的路径，其环量密度不同。,37,旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。,旋度(curl或rotation),与环量密度的关系为,在直角坐标系下,1.4 矢量场的散度和旋度1.4.4 旋度,3

11、8,1.4 矢量场的散度和旋度1.4.4 旋度,旋度的物理意义,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。,在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；,点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。,若矢量场处处A=0，称之为无旋场(或保守场)。,39,矢量A的旋度可表示为算子与A的矢量积, 即,计算A时, 先按矢量积规则展开, 然后再作微分运算, 得,1.4 矢量场的散度和旋度1.4.4 旋度,40,旋度运算符合如下规则:,在直角坐标系中有,41,斯托克斯(Stockes)定理,A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量

12、。因此，其面积分后，环量为,即Stockes定理,在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。,矢量函数的线积分与面积分的互换。,该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系,42,例 自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为,求任意点处(r0)电场强度的旋度E。,解,43,可见, 向分量为零; 同样, 向和 向分量也都为零。 故,这说明点电荷产生的电场是无旋场。,因,44,1.5 亥姆霍兹定理,1.5.1 散度和旋度的比较 1.5.2 亥姆霍兹定理,45,1.5.1 散度和旋度的比较, 矢量场的散度是一个标量函数, 而矢量场的旋度是一个矢量函数。 散度表示场

13、中某点的通量密度, 它是场中任一点通量源强度的量度; 旋度表示场中某点的最大环量强度, 它是场中任一点处旋涡源强度的量度。,1.5 亥姆霍兹定理, 散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定; 而旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。,46,在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。,1.5.2 亥姆霍兹定理,47,例：判断矢量场的性质,=0,=0,=0,0,0,=0,48,1.6 常用坐标系,1.6.1 直角坐标系 1.6.2 圆柱坐标系 1.6.3 球坐标系,49,坐标变量,微元,1.6 常用正交曲线坐标系1.6.1 直角坐标系,50,柱坐标系,1.6 常用正交曲线坐标系1.6.2 圆柱坐标系,坐标变量,三者总保持正交关系, 并遵循右手螺旋法则,51,微元,52,1.6 常用正交曲线坐标系1.6.3 球坐标系,坐标变量,三者总保持正交关系, 并遵循右手螺旋法则,53,微元,，,54,三种特殊形式的场,1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即