第一章矩阵的运算与初等变换

1、线性代数第一章，第一章矩阵的运算和初等变换，本章内容1矩阵和向量的概念2矩阵的运算3块矩阵和矩阵的块运算4种特殊矩阵5矩阵的初等变换，第一章矩阵的运算和初等变换，矩阵是代数中最重要的基本概念之一，也是代数研究的主要对象，也是数学各种研究和应用的重要工具线性代数，在很多领域中，一些数量关系可以用矩阵来说明。本章主要讨论矩阵的概念、特性和运算。将向量视为特殊矩阵，自然地引入向量的概念和线性运算。此外，还将介绍矩阵的基本变换和块矩阵等相关知识，为以后的学习相关知识打下坚实的理论基础。1矩阵和向量的概念，本节内容1。矩阵的概念2。相同矩阵和相同矩阵的概念3。几个特殊的矩阵4。矩阵的应用5。由矢量的概念

2、、1矩阵和矢量的概念1.1 Mn数排列到m行n列的数值表称为m行n列的矩阵或Mn矩阵。通常用大写字母a或Amn表示。还可以记住I行j列元素、缩写(I，j)元素、1矩阵和矢量的概念。元素是实数的矩阵称为实数矩阵元素。是复数的矩阵。1矩阵和向量的概念，2 .同构矩阵等于矩阵，列数相等时称为同构矩阵。例如，两个矩阵A=(aij)和B=(bij)是同构矩阵，其元素相同。也就是说，矩阵a和b相等3。几个特殊的矩阵只与0相关。所有元素为零的矩阵称为0矩阵，Mn 0矩阵记录为O或Omn，其他类型的0矩阵不相同。例如，1矩阵和向量的概念仅与行相关的： 1n矩阵也称为行矩阵。也称为N维行矢量。ai也称为第I分量

3、。请注意元件之间的使用。M1矩阵也称为列矩阵或M维列矢量，ai也称为第I分量。1矩阵和矢量的概念，nn矩阵也称为N阶隔振(或N级隔振)，Ann表可以用AN简单描述。其中aii称为主对角线元素。Aij (i j=n 1)称为辅助对角元素。主对角线、辅助对角线、1矩阵和矢量的概念，例如，主对角线元素全部为1，其他元素全部为0的N阶正方形称为N阶单位矩阵。En或e .1矩阵和向量的概念，4 .矩阵的应用实例，1矩阵和向量的概念，示例2公司中的甲，乙两个职位的三个素质要求的权重系数也可以用矩阵表示。其中bij是对我J级职位第一类素质要求的权重系数。注意：这里，1矩阵和矢量的概念，示例3，从I村到J村通

4、过AIJ路，4个村庄的路径信息可以用矩阵表示。注意：这里aii=0表示不考虑同一个村庄通过的路。1矩阵和向量的概念，5 .矢量的概念定义1.2 1n矩阵称为N维行矢量，n1矩阵称为N维列矢量，N维行矢量和N维列矢量统称为N维矢量，简称矢量。向量通常使用黑体字、或x、y、z表示(或添加箭头)。仅当两个向量相等，维度相同，元件相同时。分量全部为零的向量称为0向量，0。1矩阵和矢量的概念，N个N维列矢量称为N维基本列矢量。n个n维行向量称为n Wikipedia向量。1矩阵和矢量的概念，在本节中，您需要熟悉矩阵、同构矩阵、矩阵等于、列矩阵、行矩阵、隔振、单位隔振和矢量的概念，并理解矩阵的应用。作业：

5、练习1.1(A) 2，2矩阵运算，本节内容1。矩阵加法，减法2。乘法矩阵3。矩阵乘法4。矩阵的幂5。矩阵的传递，2矩阵的运算，1。矩阵加法，减法定义2.1的Mn矩阵定义-A=(-aij)矩阵名为A=(aij)的负矩阵。两个Mn矩阵A=(aij)，B=(bij)的差值为A-B，a-b=A o=aA b=b a(A B) C=A (B C)。2矩阵的运算，范例1矩阵设定和A B=C，x，y。求解是A B=C，2矩阵的运算，2。乘数矩阵定义2.2个数和Mn矩阵a()a=a a；(a b)=a b；(-1) a=-a。通常将矩阵的加法和乘法称为矩阵的线性运算。2矩阵运算，范例2矩阵3A-2B。解析，2

6、矩阵运算，3 .矩阵乘法将2.3矩阵A=(aij)ms，B=(bij)sn的乘积记录为AB，AB=(查找cij示例3矩阵AB .解析，32，2矩阵运算，33，32，2矩阵运算，寻找范例4矩阵AB和BA。注释：普通AO和boaboAB=O A=O或b=O；ABBA .22，22，22，2矩阵的运算；设定性质A=(aij)mn，fi是第I分量为1的m维基本列向量时，2矩阵的运算；(2)A=(AIJ)运算规则(1) A=(aij)(2)设置A=(aij)ms，B=(bij)sn，计数，(ab)=(A)B=A(B)；(3)设置A=(aij)ms，B=(bij)sn，C=(Cij)sn时，A(B C)=

7、AB AC；(4)设置A=(aij)sn，B=(bij)ms，C=(Cij)ms时，(B C)A=BA CA；2矩阵运算，4 .如果方阵的幂定义AB=BA，则A，B是可交换的。注：如果A，B可以替换，则A，B是同阶方阵，反之不一定成立。定义防尘a的幂：Ak=AAA，A0=E，运算法则：将a设定为防震，将k，l设定为自然数，AkAl=Ak l，(Ak)l=akl；通常，(AB)k AkBk，但是如果A，B是可替换的，(AB)k=AkBk。k，2矩阵运算，范例5设定A=，An。分析，2矩阵运算，2矩阵运算，范例6寻找f(A)。解析，2矩阵运算，2矩阵运算，5 .矩阵前置定义的2.4矩阵a的前置矩阵

8、为AT，规定，2矩阵运算，运算(a b)t=AT Bt；(a)t=at；(AB)T=BTAT，(atbt注意)，2矩阵运算，示例7请求(AB)T .解释，2矩阵运算，示例7请求(AB)T .解释，2矩阵运算熟悉各种运算的本质。求方阵的幂。作业：练习1.2(A) 1(2)(5)，2、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3注意事项：一行图块矩阵，每个子图块以逗号分隔。，3块矩阵和矩阵的块运算，2 .矩阵的块加运算示例；3块矩阵和矩阵的块运算；两个矩阵A、B属于同一类型并且具有相同的块方法的情况下；3块矩阵和矩阵的块运算；3 .矩阵的块数相乘运算示例，3块矩阵和矩阵的

9、块运算4。矩阵中的块乘法运算将设置ab=(Aij)、3块矩阵和(Bij)sn，如果Aik中的列数等于Bkj中的行数(k=1，2，s)，则设置ab=(cij)可以看到块矩阵的旋转，3块矩阵和矩阵的块运算与块矩阵各种运算的结果一致，两种运算具有相同的运算特性。3块矩阵和矩阵的块运算。本节需要理解块矩阵的概念，理解块矩阵的加法、乘法器块矩阵、块矩阵乘法和块矩阵的转换运算。作业：练习1.3(A)第2题，4个特殊矩阵，本节中为1 .对角矩阵2。标量矩阵3。父三角形矩阵4。下三角矩阵5。对称矩阵6。对称矩阵7。块对角矩阵，4个特殊矩阵，1 .对角线2，n)。以下是对角矩阵的特性，O，O，4个特殊矩阵，设置

10、特性中两个对角矩阵的和也是对角矩阵。4个特殊矩阵，设置特性乘数对角矩阵也是对角矩阵。四种特殊矩阵，设置特性中两个对角矩阵的乘积也是对角，特性对角矩阵功率也是对角矩阵。4个特殊矩阵，设置特性对角矩阵的旋转矩阵是自身，即对角矩阵。4个特殊矩阵，定义集S是一个集合，如果S的元素经过某种运算，结果仍然是S的元素，那么S对于这个运算是关闭的。上述对角矩阵的性质表明，对角矩阵对矩阵的加法和乘法运算是闭合的。也就是说，对角矩阵到矩阵的线性运算关闭了。对角矩阵关闭矩阵的减法运算。对角矩阵到矩阵乘法运算关闭。对角矩阵关闭矩阵的幂。注意：4个特殊矩阵，2 .标量矩阵(数量矩阵)主对角线元素称为A对角线矩阵的标量矩阵，简单地表示为A=aE。属性标量矩阵与矩阵的线性运算关闭乘法。标量矩阵的转置矩阵是其本身。4个特殊矩阵，3 .上三角形矩阵主对角线下的元素都为零的正方形称为上三角形矩阵。性质上，三角矩阵的矩阵的线性运算关闭了乘法运算。O，4个特殊矩阵，4 .下三角形矩阵主对角线上的元素都为零的正方形称为下三角