金融时间序列分析 第2部分 时间序列分析基础3 波动率模型

1、金融时间序列分析,2012年10月,波动率模型,（一）问题的提出,xt = xt-1 + ut,其中, ut 为白噪声过程。,计量经济学模型中的异方差通常属于递增型异方差, 但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不是递增型异方差。 例如，汇率，股票价格常常用随机游走描述：,1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见下图,日元兑美元汇率序列jpy(1995-2000),日元兑美元汇率差分序列（收益）d(jpy),收益绝对值序列 (1995-2000),d(jpy)的平方 (1995-2000),这种序列的特征是： （1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。 （2

2、）按时间观察，表现出 “波动集群” （volatility clustering）特征， 方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。 （3）从取值的分布看表现的则是 “高峰厚尾” 特征，（leptokurtosis and fat-tail）即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。,高峰厚尾分布曲线,正态分布曲线,高峰厚尾分布特征示意图,显然现期方差与前期的“波动”有关系。自回归条件异方差模型（engle 1982）通常有两类： 1）用确定的函数来刻画异方差的演变，garch模型 2）用随机方程来描述异方差。随机波动率模型,（二）自回归条件异方差模型（arch模

3、型）,(autoregressive conditional heteroskedasticity model),一、模型的提出 考察一个ar(p)过程,其中： 是白噪声：,的条件期望是：,的无条件期望是：,a. 的无条件期望是常数，但 的条件期望却是随时间而变化的。 b. 的无条件方差是一常数 ，但 的条件方差却可能随时间而变化。一种方法是将 视为服从 ar(m) 过程。,其中： 是一新的白噪声：,此时，,即：,考虑 k 变量回归模型（或ar(p)过程）,满足,二、模型表达形式,其中：,则称 服从 q 阶自回归条件异方差过程。记为,保证条件方差为正数,平稳序列,均值方程 条件均值模型,注意：

4、,表示 t 时刻之前可获得的信息集。,例 arch(1)模型为,arch(q)过程的另一种表达方式,三、arch模型的性质,1、 的无条件均值和方差分别为,主要讨论arch(1)的性质,因为 是平稳的，所以,显然要求,2、令,则 是白噪声过程。,这样,过程 的形式类似于ar(1)。 过程 前后不相关，但过程 却是前后相关的（因而也是不独立的）。,3、arch(1)模型的尾部特征,残差平方服从一个 异方差的ar(1)过程,随机变量之间不相关，只能说明它们之间没有线性关系，不能说明它们之间没有非线性关系。,四、arch模型的建立,arch模型的建立的基本步骤,（1）建立时间序列的计量模型，去掉任何

5、线性关系， 对估计的残差检验arch效果； （2）识别arch模型的阶数，估计模型； （3）检验arch模型，根据情况修改模型。,1、建立收益率序列的计量模型，检验arch效果,（1）选择条件均值模型并估计出参数 可以是回归模型 或arma模型,（2）计算出残差值,检验残差的平方 是否存在自相关。,检验序列相关常用的方法有： (a) d.w统计量检验 (b) qlb统计量检验 (c) 拉格朗日乘数检验(lm检验),注意： d.w统计量检验的不足 1、仅仅检验残差序列是否存在一阶序列相关； 2、回归方程右边如果存在滞后因变量， d.w检验不再有效； 3、 d.w统计量的扰动项在原假设下依赖于系数

6、矩阵。,因此，检验序列相关常用 qlb统计量检验或拉格朗日乘数检验(lm检验)。,qlb统计量(ljung-box q统计量) 检验法,1、计算出残差值,2、计算出残差平方的均值,3、计算出残差平方的样本自相关系数,4、计算qlb统计量,t为样本容量，p为设定的滞后阶数。,原假设h0：序列不存在p阶自相关； 备选假设：h1为序列存在p阶自相关。,当,时,拒绝原假设h0,拉格朗日乘数检验(lm检验)法,1、使用最小二乘法估计最适当的ar(n)模型,2、计算出残差值 ，进行下面的回归分析,3、零假设,备择假设,不全为零。,（不存在arch 效果）,4、检验统计量：lm=t r2,其中，t为回归式的

7、样本容量，r2为拟合优度,6、判别法则： 若lm 2 (p)，接受h1（说明残差是arch过程）。,5、统计量lm的分布,在零假设成立的条件下，统计量lm近似服从,2、识别arch模型的阶数，估计模型,阶数识别：可以分析时间序列 的自相关函数和 偏自相关函数。也可以使用aic或bic准则来确定序 列适当的滞后长度。,参数估计：,一般使用极大似然法估计：,为了简单，可以使用条件似然函数：,3、检验arch模型,对于arch模型，把残差标准化,则 应该是正态白噪声序列。所以 （1） ljung-box q 统计量检验序列是否存在自相关， （2）利用 jb检验 或 q-q 图检验序列的正态性,此时，

8、 各期之间是独立的，因而不可能arch存在效果。 也可以直接对arch模型的残差进行arch检验。,（三）garch模型,一、arch(q)模型的缺点,1、当 q 较大时，参数估计很难做到精确 2、为了保证条件方差为正，参数要求为正。 当参数过多时，用实际数据估计出的模型往往不能满足 这一要求，从而，模型不具实用性。 3、arch模型会高估波动率。,二、garch模型的定义,考虑 k 变量回归模型,满足,称,注：garch模型的优点在于可用低阶garch模型来代表高阶的arch模型，从而使模型的识别和估计都变得比较容易。 例如，用garch（1，1）拟合 的变化特征与用arch（20）拟合相比

9、较，两者的效果十分相近。,arch项系数,garch项系数,三、garch模型的另一种定义,若,则称,四、garch模型的性质,1、当p=0时，garch过程变为arch过程。 2、 garch过程的含义是 条件方差 ht 是 ht-1, ,ht-p 和,的函数。,3、参数 是保证条件方差为正的充分条件。 4、若 则 5、 的平稳性条件为,这时 也是宽平稳的。,五、garch(1,1)模型,2、garch(1,1) 的条件方差和无条件方差 条件方差是 ht ，通过对上式两边取期望可得无条件方差,1、大的 会紧跟着另一个大的 ，这样就会产生 在金融时间序列中有名的波动率聚类现象。,3、garch

10、(1,1)模型与arch模型的关系 把garch(1,1)过程递推展开，等价于一个arch()。,4、若 则,例如,即,上式两边加上 得，,所以,令,则 是白噪声，且,即,5、garch(1,1) 模型的尾部特征 可以证明：当 时，,因此， garch(1,1) 模型的尾部比正态分布的尾部厚。,特别，当 时，,说明系数 在决定 的尾部行为时起关键作用。若,则 的尾部行为与正态噪声相似，若 ，则 有厚尾性。,向前多步预测：,事实上，因为,注意到，,所以t时向前k步预测为：,向前一步预测：,6、 garch(1,1) 模型的预测,反复迭代可得,当 时有,非对称模型,资产的收益率和波动性存在一个特点

11、不对称性，收益率上升时，波动性较小，收益率下降时，波动性较大。 一、tarch模型(门限arch模型),其中 是一个虚拟变量，,上式表明：好消息 和坏消息 对 条件方差的有不同的影响。,例： 估计1995.1.2-2001.12.31沪市每日股票价格收盘指数 的tarch模型。,均值方程：,方差方程：,arch(1),garch(1),resid*arch(1),二、egarch模型 (指数garch模型),在条件方差 ht 中引入了参数 gi ，使得 ht 在冲击 vt 取正、负值时有不同程度的变化，从而可以描述冲击对价格波动的非对称影响。,在eviews中，条件方差方程为：,例： 估计1995.1.2-2001.12.31沪市每日股票价格收盘指数 的earch模型。,均值方程：,方差方程：,arch-m模型(arch均值模型),前面介绍的arch模型通常应用于回归模型，扰动项为arch过程。 在实际中，收益率和方差存在一定关系，风险越大，收益越大。 可以把代表风险的方差作为一个因素引入，这就是arch-m模型。,其中g( )是条件方差的函数，通常的形式有,条件方差 ht 也可以是garch或egarch形式， garch-m, egarch-m模型。,arch-m模型通常应