信号、系统与数字信号处理 第5章 Z变换与离散系统的频域分析.ppt

1、Z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。连续信号,5.1 z变换,z变换的数学理论很早就形成了，但真正得到实际应用是,在上世纪五、六十年代。做为一种重要的数学工具，它把,描述离散系统的差分方程，变换成代数方程，使其求解,过程得到简化。这一作用类似连续时间系统的拉氏变换。,的理想抽样信号为,式中,为抽样间隔。,第五章 Z变换与离散系统的频域分析,对上式取双边拉氏变换，得到,L,交换运算次序，并利用冲激函数的抽样性，得到抽样信,号的拉氏变换为,引入新的复变量， 将上式写为,令,此式是复变量z的函数（,是常数），记为,这正是双边z变换的定义。,式中,如果,是因果序列，则上式的z变换为,也称单边z变换

2、。可见因果序列的双边z变换是单边z变,换，所以单边z变换是双边z变换的特例。,z变换是复变量z的幂级数(也称罗朗级数)，其系数是序,所以主要讨论拉氏单边变换。在离散系统分析中，可,列,的样值。连续时间系统中，信号一般是因果的，,以用因果序列逼近非因果序列，因此单边与双边z变换,都要涉及。,确定z变换的收敛区，其实质是序列的z变换是否存在以,1、z变换的收敛区,对于任意给定的有界序列,使（5-3）式收敛的z值集合。,(5-3) 式是z变换的定义，由其是否收敛以及收敛条件，,及存在条件，先就此进行讨论。,称为,的收敛区。我们举例说明(5-3) 式收敛与否，及,在什么范围收敛。,5.2 Z变换的收敛

3、域典型序列的z变换,例5-1 已知序列,分别求它们的z变换及收敛区。,解,同。所以为了唯一确定z变换所对应的序列，双边z变换,不同序列的表示式有可能相同，但各自的收敛区一定不,敛区。,任意序列z变换存在的充分条件是级数满足绝对可和，即,下面具体讨论几类序列的收敛区。,(1) 有限长序列,，如图5-1所,示。有限长序列的z变换为,只有,的负幂项，收敛区为,只有,的正幂项，收敛区为,解,收敛域为,、 的公共收敛域,(2) 右边序列（有始无终）,的收敛域,的收敛域,特别的,的和式中没有的正幂项，收敛域为,收敛半径为的圆外。,收敛区是以,求,例5-3 已知,解,收敛域为,当,或,右边序列一般情况,敛区

4、是以绝对值最大的极点为收敛半径的圆外。,的封闭表示式中，若有多个极点，则收,右边序列,(3) 左边序列（无始有终）,、 的公共收敛域,的收敛域,的收敛域,0,收敛半径为的圆内。,特别的,的和式中没有的正幂项，收敛域为,收敛区是以,解,此例收敛域是以,的极点,为半径的圆内。,例5-4 已知,，求,左边序列的一般情况,(4) 双边序列（无始无终）,的收敛域,的收敛域,、 的公共收敛域,双边序列z变换不存在,或,例5-5,为实数，求,解：,或,讨论：,则,双边序列z变换不存在,1,0,1,0,因果序列有一定的应用，所以重点讨论单边序列也适当,2、典型序列的z变换,连续时间系统信号非因果信号较少，但在

5、离散系统中非,有双边序列的z变换。,1.,Z,(2).,(1),Z,(3).斜变序列,Z,可利用,的z变换，,等式两边分别对,求导，得,两边各乘以,得,(4) .指数序列,1),Z,2),Z,若,，则,Z,(5).正、余弦序列,由指数序列的,可推得,将正、余弦序列分解为两个指数序列,(6) 双边指数序列,5.3 z变换的性质与定理,1、线性,若,则,当二者之和的零点与极点抵消时，收敛区有可能扩大。,例5-6 利用线性求双曲余、正弦序列,的z变换。,解 已知指数序列及变换,双曲余弦序列可分解为,利用线性及指数序列的变换，双曲余弦序列的变换为,同理,证明,令,2、双边z变换的移位,Z,，代入上式,

6、Z,则,若,例5-7,一般收敛区不变，也有特例。,1）若序列,3、单边z变换的位移性,的单边z变换为,则序列左移后单边z变换为,证明,Z,令,1,0,序列左移后单边z变换的示意图如图5-6所示。,减,特别的，,Z,Z,若,则,证明,Z,令,序列右移后单边z变换的示意图如图5-7所示。,1,0,加,1,0,特别的，,Z,Z, 若,为因果序列,则,例5-9 求周期序列的单边z变换,解 周期序列,令,的主值区序列为,，其z变换为,则,的单边z变换为,证：Z,则,若,4、指数序列加权,可得,利用,Z,交换运算次序,的线性加权,的微分或,5、,证,则,若,可得,利用,6、复序列的共轭,若,则,证,应用,

7、Z,Z,=Z,=Z,7、初值定理,条件因果序列,证明,对等式两边取极限,极点外，其余极点均在单位圆内。,8、终值定理,定理适用条件：,则,特别的，若有零点与极点抵消时，收敛区有可能扩大。,9、时域卷积定理,例5-9,求,其中,则,若,解,应用：求离散系统的零状态响应，如图5-8所示。,10、序列相乘复卷积定理,若,则,其中,是v平面收敛区内一条逆时针封闭曲线。,Z,证明,将,代入上式,交换积分、求和次序,部极点。,计算一般用留数法（作复变函数积分困难），即,1、幂级数法,的运算，介绍常用的两种,反变换方法。,将,，其系数,特别的，对单边的左序列或右序列，当,为有理,函数时也称长除法。,5.4

8、Z反变换,Z反变换是由,展开为,举例说明用长除法将,展开成级数求得,的方法。,，求,长除法适用单边的左或右序列，双边序列不适用,序列为右序列，应展开为z的降幂级数；,序列为左序列，应展开为z的升幂级数。,例5-10,的降幂级数。,外，序列为右序列，应展开为 z,解：因为收敛区在,，求,的升幂级数。,内，序列为左序列，应展开为 z,解：因为收敛区在,例5-11,由此可得,由此决定分母多项式是按升还是按降幂排列。,两个或两个以上极点时，用长除法得到的序列值，要归,分式法求解,。,纳为,闭合式还是比较困难的，这时可以用部分,的具体数值，但当,长除法可以直接得到,有,由此可得,法，即将一般的有理多项式

9、展开为简单的有理式。,最基本的分式及所对应的序列为,通常,表示式为,，分母最高次为,式中分子最高次为,2、部分分式法,部分分式法是基于已知简单序列变换对基础上的一种方,，且,均为单极点，,可展开为,式中,则,式中,对应的变换为,，根据收敛域最终确定,。,设,例5-12 已知,，求,。,解：,，是右边（因果）序列。,例5-13 已知,，求,。,，,解：,若X(z) 在z=z1有一s阶的重极点，其余为单极点。,可展开为,表5-1给出了常用序列的z变换。利用这个表再结合z变,换的性质，可求一般序列的正、反z变换。,5.5利用z变换求解差分方程,N阶LTI离散系统的差分方程一般形式为,当,是因果序列，

10、已知初始（边界）条件,时，可利用z变换求解上式。对上等式两边取,z变换，利用单边z变换的位移性，得到,零状态响应是仅由激励引起的响应。当激励,1、零状态响应,序列时，系统初始条件为零,是因果,，则,上式为,得零状态响应为,令,式中,为系统（传输）函数，零状态响应还可表,示为,Z,Z,例5-14 已知一离散系统的差分方程为,，求,。,其中,解 因为,，,，是零状态响应。对方程两边取zT,2、零输入响应,零输入响应是仅由系统初始储能引起的响应，与初始,（边界）条件,密切相关。此时激励,，零输入响应变的z变换为,其中,为系统的初始（边界）条件，,Z,例5-15 差分方程同例5-14，,，,求,，,。

11、,解 激励,，是零输入响应。,对差分方程两边取z变换,3、全响应,与拉氏变换相似，利用z变换，不需要分别求零状态响应,与零输入响应，可以直接求解差分方程的全响应。,=Z,例5-16 差分方程、激励同例5-14，,，求,。,解 先求出边界条件,将,代入原方程迭代,解出,，此时的,是全响应。,对差分方程两边取zT,例5-17 已知某离散系统模拟如图5-9所示，,求系统函数,及冲激响应,解,。,5.6 z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系,信号的拉氏变换与采样序列的z变换联系起来，引进了复,傅氏变换、拉氏变换以及z变换是前面讨论过的三种变换。,下面讨论这三种变换之间的内在联系与关系。,要讨论z变换与拉氏

12、变换的关系，先要研究z平面与s平面,的映射（变换）关系。5.1节通过理想采样我们将连续,变量z，它与复变量s有下面的映射关系,或,z平面与s平面的映射（变换） 关系，将,为了研究,代入，得,因此得到,是数字域频率。,式中,是采样间隔,，对应的采样频率,式中,或,。,具体讨论,与,平面的映射关系,(1) s平面的虚轴（,）映射到z平面的单位圆,s平面左半平面（,）映射到z平面单位圆内,； s平面右半平面,位圆外,。,映射到z平面单,，,(2),时，,，s平面的实轴映射到z平面上的正,实轴。s平面的原点,映射到Z平面单位圆,的点。,(3) 由于,是,的周期函数，当,由,时，,由,，幅角旋转了一周，

13、映射了整个z平,面，且,每增加一个采样频率,，,旋转一周，z平面重叠一次。,就重复,所以,平面的映射关系不是单值的。s平面上宽度为,到,的带状区就映射为整个z平面，如图5-10所示。Z,平面对应为无穷多s平面上宽度为,的带状区。,由以上,到,平面的映射关系，再利用理想采样作为桥,梁，可以得到连续信号,的拉氏变换,序列z变换的关系为,与采样,傅氏变换是双边拉氏变换在虚轴（,，,）上,的特例，,映射到z平面,，是单位圆。将此,关系带入上式，可以得到z变换与傅氏变换关系,此式说明，采样序列,的频谱是连续信号,的频,谱,以,为周期重复的周期频谱，如图5-11,所示。,除此之外，由上式还可以引出新的变换

14、在单位圆上,进一步讨论。,是序列的频谱函数。有关序列的傅氏变换在下节还要,的Z变换。单位圆上的Z变换定义为序列的傅氏变换，,5.7 序列的傅氏变换及其性质,5.6中我们知道s平面与z平面的映射的关系为,当,时，不难得到此时,，,，对应的,是单位圆上的z变换。因此定义单位圆上的z变换是离散,序列的傅氏变换，它表示序列的频谱。一般简写为,DTFT。,如上所述，将单位圆,一、序列的傅氏变换,代入z变换的定义，得到序列,的傅氏变换定义为,上式表明,可以展开为傅氏级数，系数是,。,序列的傅氏反变换也可将,代入z反变换的公式得到,由此得到序列的傅氏正反变换对，可记为,或 DTFT,IDTFT,不难证明序列

15、的傅氏变换,是周期函数，因为,上式说明,是频率,的周期连续函数，周期为,既然,。,是以,为周期的周期函数，所以只需要在,或,内标明,前面的分析一致，定义周期频谱的,就足以。为了与,基带频带，其余的为各次谐波频带。与连续时间信号,区间为,的分析相似，一般给出基带区间,之内的,特性就足以。,在这一频带内，靠近零处的频率是“低频”，而靠近,处的频率是“高频”。因为基带频带与相差,各次谐波频带的频率无法区分，所以可以认为 “低频”是,整数倍的,靠近,的频率，“高频”是靠近,点的频率。特别的,处频谱对应的是直流分,量，而最高频率在,处。,解,，求其傅氏变换,。,例 5-18 已知,0 1 2 3 4 5

16、 6 7,特别的 N=4,1,例5-19 已知某序列的周期频谱函数为,，求序列,。,解,1,01 2,例5-19 的频谱与序列如图5-13所示。,1）序列是绝对可和的，满足,2）能量有限的序列，满足,序列傅氏变换的存在也是有条件的。有两类序列满足序,列傅氏变换存在的充分条件：,式收敛的，所以这类序列的傅氏变换存在。如例5-19的,绝对可和的序列一定是是能量有限的序列，但能量有限,的序列未必满足绝对可和。能量有限的序列虽不满足绝,对可和，但因其能量有限，级数是以均方误差为零的方,氏变换存在。,2、,与,与,的关系,上节利用理想采样信号讨论z变换与傅氏变换的关系时，,已经涉及序列DTFT与连续信号

17、FT的关系，现在进一步,明确序列的,、,的关系，建立数,字域频谱的概念。由(5-43)式,定义,为数字频率，是模拟频率的归一化频率，,将,代入上式，得到数字域频谱,为,0,0,0,例5-20：已知模拟,，如果,，以采样频率,号的频谱,对其采样，求连续信,、采样信号的频谱,、数字域频,谱,。,解：,3、 序列傅氏变换的的性质,(1)、线性,若,则,(2)、时移与频移,(3)、频域微分,若,则,证,(4)、时域卷积定理,，,若,则,证明,(5)、频域卷积定理,，,则,用与时域卷积相似的方法可证。,是数字域的能量谱密度函数。,式中,(6)、帕斯瓦尔定理,若,序列傅氏变换的对称性是傅氏变换性质中的一大

18、类，所以,将其单独列出。利用序列傅氏变换的对称性可以简化序列,的运算，是非常有用的。这里先介绍一些对称的定义，,再讨论有关性质。,的共轭对称与共轭反对称序列,4、序列傅里叶变换的对称性,(1),（5-55）,（5-56）,共轭反对称序列,共轭对称序列,列之和,式中,是实部为偶对称，虚部为奇对称的序列；,是实部为奇对称，虚部为偶对称的序列。,任意一个复序列总可以分解成共轭对称与共轭反对称序,解以上方程组可得：,证明,不难得到,同理可得,的共轭对称分量又可分为实部与虚部,且：,共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。,的共轭反对称分量也可分为实部与虚部,共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函

19、数。,函数。,的条件，所以是共轭对称序列。,，满足共轭对称序列,的对称性,例5-21 分析,解：因为,将这个共轭对称序列分解为的实部与虚部，可得：,表明，确实共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇,所以也称对称序列为共轭偶序列。,所以也称反对称序列为共轭序序列。,为实序列时，其共轭对称序列有,当,共轭反对称序列，其共轭反对称序列有,当,为实因果序列这时的,可表示为,例5-22已知,解,求,的共轭对称与共轭反对称序列,共轭反对称函数,同理可定义,共轭对称函数,式中,的实部为偶函数，虚部为奇函数；,的实部为奇函数，虚部为偶函数,（2）、对称性,1）,2）,证：,3）,证：,证：,4）,5）,证,6）

20、、,7）、,证：,证：,8）、,证：,特别是,为实因果序列时，其傅氏变换只有共轭对,称部分，共轭反对称部分为零。所以实序列傅氏变换的,实部是偶函数，虚部为奇函数，即：,显然，实序列傅氏变换的模为偶函数，相位为奇函数。,与连续实信号的FT结论相同。,可以用单位脉冲响应,表示 LTI离散系统的输入输出,关系,对应的z变换为,定义LTI离散系统输出z变换与输入z变换之比为系统函数,5.8 离散系统的频域分析,1、系统函数,复频域描述线性非移变系统的数学模型,式为,系统函数是系统单位脉冲响应,的z变换。,特别的,2、系统函数与差分方程,线性非移变系统的数学模型是常系数差分方程，一般形,令,解出,两边取

21、z变换（零状态），可得：,（5-77）,由上式可见，除了系数A，,可由其零、极点确定。,与连续系统相似，系统函数由有理分式形式分解为零、,极点形式，有时并不容易，而用MATLBA可以很方便的,确定零、极点并作零、极点图。,其中,的零点；,的极点；,例5-23 已知某系统的系统函数为,求其零、极点并绘出零、极点图。,解 例5-23 MATLBA程序及结果如下,b=0.2 0.1 0.3 0.1 0.2; %分子多项式系数,a =1 -1.1 1.5 -0.7 0.3; %分母多项式系数,r1=roots(a) % 求极点,r2=roots(b) % 求零点,zplane(b,a) % 画零、极点

22、图,答案,r1 =,0.2367 + 0.8915i 0.2367 - 0.8915i 0.3133 + 0.5045i 0.3133 - 0.5045i,r2 =,-0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 0.2500 + 0.9682i 0.2500 - 0.9682i,3、系统函数收敛区与系统特性关系,(1)、因果系统,由因果系统的时域条件,时，,，以及,只有z的 负幂项，其收敛区为,的定义，可知此时,。所以,的收敛区包含无穷时，,必为因果系统。,收敛区必包含单位圆。其收敛,。所以收敛区包,综合上述(1)、(2)情况，当,，且,时，系统是因果稳定系统。,(2

23、)、稳定系统,(3)、因果稳定系统,含单位圆时，必为稳定系统。,区为,且,氏变换DTFT存在，,可知系统的傅,由稳定系统的时域条件,例5-24 已知某离散系统的系统函数为,解 根据系统稳定的条件，将系统函数写成零极点形式,判断该系统的稳定性。,式中极点的模,断系统的稳定性。对一个复杂系统来说，求极点并不容,所有极点均在单位圆内，所以是稳定系统。,此例是通过求解系统极点，由其是否均在单位圆内，判,易，有时是相当繁的（如本例）。所以判断连续系统是,稳定往往是利用劳斯（Jury）准则等。,否稳定往往是利用罗斯(Routh)准则，判断离散系统是否,极点图所有极点在单位圆内，所以是稳定系统。,程序可作出其零、极点图，直观作判断。 例5-23零、,可以直接判断系统的稳定性，或如例5-23利用MATLAB,圆外（上）。而利用MATLAB程序得到系统特征根，,右半平面（包括虚轴），或是否有