初等函数(数学师范必读).ppt

1、第三章 初等函数(1),内江师范学院 数学与信息科学学院 王亚雄,3.1 函数的一般概念,1. 函数概念的发展,（1）函数相关术语与记号的引入,函数这一名词德国数学家莱布尼兹(Leibniz 16461716)所首先采用的 在最初，莱布尼兹用函数一词表示变量x的幂，即x2，x3，其后莱布尼兹还用函数一词表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等所有与曲线上的点有关的量 欧拉(Euler 17071783)发明了函数的记号：f(x)柯西(Cauchy 17891857)引入了术语“自变量、因变量”,一、 函数概念发展与定义,（2）函数概念的演变,2. 函数的定义 定义1 如果两个变量按

2、照某一确定的规律联系着, 当 第一变量变化时，第二变量也随着变化，就把 第二个变量叫做第一个变量（自变量）的函数 定义2设 和 是两个集合，如果按照某种对应法则， 对于集合 中的任何一个元素，在集合 中都有 唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集 合 到集合 的函数,记作 定义3设 和 是两个集合， 是一个非空子集, 如果满足 对于任意 ,存在唯一的 使 则 称为 到 的一个函数,定义4 设 、 为非空集合，如果按照某种对应法则 ，对于 中任一元素 ， 中都有且仅有一个元素 与之对应，就称 是一个从集合 到集合 的映射，记 特别地，当 ， 都是实数集合时，则称从 到 的映射 为函数 函数通常记

3、作 ，当 对应 时称 是 的函数值，或 是 的函数值，或 是 的象， 记为 ，这时称 是 的原象,二、函数的三要素,定义域、对应法则、值域 在研究函数的抽象定义时，不妨把函数 比喻为一个“机器”加工的过程，输入 输出 ，而这关键的加工机制就是 定义5 （函数相等） 函数的相等 要求输入的 相同，加工 机制相同，输出的 也相同,x y,(x)=,三、函数的表示法,解析法（公式法） 列表法 图像法,定义6 设 、 是 的子集， 是 到 的函数， 则称 的子集 是函数 的图像,例 设f(x)是以实数集 为定义域的函数，且对任意实数x,y，均满足 求证： 当 时， 当 时，,四、反函数及其图像,满射：

4、 单射： 一一映射（双射）： 逆映射：,1. 逆映射和反函数：,定义 如果函数 是定义域 到值 域 上的一一映射，那么由它的逆映 射 所确定的函数，叫做函 数的反函数 反函数的习惯表示为:,2. 反函数的图像,定理1 函数 的图像和它的反函 数 的图像关于直线 对称,思考：为什么函数 的反函数 的图像关于 对称？,3.互反函数间的辩证关系,定理2 设函数 是一一映射， 是它的逆映射（反函数），则 （1） （表示B上的恒等射）； （2） 是一一映射的； （3） 是唯一的； （4） 的逆映射就是 ,例2 设 ， 的图像与 的像关于 直线 对称，求 ,第三章 初等函数(2),内江师范学院 数学与信息

5、科学学院 王亚雄,3.2 用初等方法讨论函数,一、关于函数的定义域和值域,1. 求函数的定义域,求函数的定义域，即求使解析式有意义的x的取值范围. 初等函数求定义域的常见情况:p104,例1 求下列函数的定义域：,例2 已知函数g(x)的定义域为(0,1,求下述函数定义域：,例2 求 的值域,2.求函数的值域,求值域的方法有： 观察法、直接法、图像法、配方法、反函数法、不等式法、判别式法、单调性法、换元法、数形结合法等.,（1）观察法,例1 求函数 的值域,（2）直接法,（3）图像法,例3 求函数 的值域,（4）配方法,例4 求函数 的值域,（5）反函数法,例5 求函数 的值域,（6）不等式法

6、,例6 求函数 的值域,（7）判别式法,例7 求函数 的值域,例8 求下列函数的值域：,（8）换元法,例9 求函数 的值域,例10 已知函数,（1） 若 时，函数均有意义，求x的取值范围；,（2） 若定义域为R，求实数m的取值范围；,（3） 若值域为R，求实数m的取值范围.,思考研究：,二、关于二次函数的一些典型问题,例11 已知y=f(x)为二次函数，,（1）若 f(x) 图像过两点(1,-3)和(0,-8)，且与 x 轴两交点的距离为2，求 f(x);,（2）若 f(-1)= f(2)=5,且 ymax=14,求 f(x).,二次函数的一般形式：,（2）若 f(x)在0,1内的最小值为g(

7、m),求g(m)的最大值.,例12 已知,例13已知函数,有公共点，求实数 a 的取值范围.,例14 已知二次函数 f(x) 满足条件：,三、函数的性质,函数的性质就是指因变量随自变量的变化 而变化的特征性质. 在初等数学里，主要是研究 函数的宏观性质（即全局特征），如函数的有界 性、单调性、奇偶性、周期性、最大最小值等. 而在数学分析中，则是进一步研究函数的微观性 质，即自变量在微小的范围内变化时，因变量的 变化情况，如函数的连续性、导数、微分等. 最终结合初等方法和分析的方法我们就能 够弄清楚函数全面的特征性质.,1. 函数的有界性,定义1 如果存在正数M，对于函数f(x)在其定 义域（或

8、其子集）内的一切x的值，都有 则称f(x)为定义域（或其子集）上的有界函数. 如 果上述M不存在，则称这个函数是无界的.,类似地可以定义有上界函数和有下界函数.,显然，有界函数的图像介于直线 和 之间.,函数的有界性与函数的值域有本质的联系.,例15 讨论函数 的有界性.,分析：可通过观察法进行分析.,例16 证明下列命题：, 函数 是有界函数；, 函数 是无界函数.,分析：利用定义证明.,2. 函数的单调性,定义2 对于给定区间E上的函数f(x)，如果对 于任意 ，有,则称f(x)在区间E上是增函数（或者说是单调递增 的）. 反之，如果,则称f(x)在区间E上是增函数（或者说是单调递增 的）

9、.,增函数的图像特征是从左至右上升的，减函 数的图像特征是从左至右下降的.,例17 讨论函数 的单调性,并作出 它的图像.,可以证明函数的单调性有如下结论：, 单调函数f(x)与f(x)+c（c是常数）依同向 变化. 单调函数f(x)与cf(x)（c是常数），当c0 时依同向变化，当c0时依反向变化. 若两个单调函数 与 依同向变化 则两函数的和也和他们依同向变化., 若两个正值（或负值）单调函数 与 依同向变化，那么这两个函数的乘积与它们 依同向（或反向）变化., 单调函数f(x)与 在f(x)不等于零的同号 区间里依反向变化., 单调函数f(x)和它的反函数 依同向变化., 如果单调函数y

10、=f(u)和单调函数u=g(x)依同 向（或反向）变化，那么复合函数y=f g(x)是单调 递增（或递减）的.,证明：设y=f(u)于u=g(x)都是增函数.在复合 函数y=f g(x)的定义域内任取 ，则有 ，即 . 又因 f(u)也是增函数，故有 ，即 . 所以y=f g(x)是增函数. 同样，若y=f(u)于u=g(x)都是减函数. 也易证明 y=f g(x)是增函数.,定理的剩余部分的证明.留给同学们自己完成.,例18 讨论函数 在区间 1 , +)上 的单调性.,解法一：,（用单调性的定义）,解法二：,可将原函数改写成,，再利,用结论和.,例19 讨论函数 的单调性和有界 性.,例2

11、0 已知点M(1,2)既在函数,的图像上，又在其反函数的图像上., 求反函数 ；, 证明 在其定义域上是减函数.,分析：,利用结论,分析：,利用结论,例21 已知函数,在区间 上是减函数，求实数a的范围.,3. 函数的奇偶性,定义3 设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意 xD，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对 于任意的xD，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.,奇函数和偶函数反映了函数图像的某种对称特 征.,不难证明奇函数与偶函数的如下结论：, 两个奇(偶)函数的代数和仍然是奇(偶)函数., 两个奇(偶)函数的积是偶函数；一个奇函数 与一个偶函数的积是奇

12、函数., 如果奇函数的反函数存在，且定义在对称于 原点的数集上，那么这个反函数也是奇函数., 奇(或偶)函数得倒数函数(分母不为零)仍为 奇(或偶)函数., 设函数y=g(x)是函数y=f(u)和u=g(x)的复合 函数，定义在对称于原点的数集S上： 若g(x)是奇函数，则当f(u)是奇(偶)函数时， 复合函数y=f g(x)是奇(偶)函数； 若g(x)是偶函数，则不论f(u)是奇函数或偶 函数，复合函数y=f g(x)都是偶函数.,以上结论留给同学们自己证明.,例22 判断函数 的奇偶性.,例23 已知函数, 判断函数f(x)的奇偶性； 根据其性质作出f(x)的图像； 依据f(x)的图像写出

13、它的单调区间.,例24 判断函数 的奇偶性.,例25 讨论函数 的奇偶性.,4. 函数的周期性,定义4 设f(u),例9 若定义在R上的函数f(x)对任意实数x，恒有f(x+a)=f(x+b) 成立，试证明：该函数为周期函数.,例10 已知f(x)是定义域为R的函数，且满足f(1)=0，,是周期函数，并求出它的一个周期.,1 证明 的最小正周期是,2 判断函数 是否为周期函数,3 讨论函数 的 周期性,练习,3.3 基本初等函数,一、基本初等函数,三角函数(六个) 反三角函数,二、初等函数及其分类,1. 初等函数 2. 初等函数的分类 有理整函数 有理函数 初等代数函数 有理分函数 初等函数

14、无理函数 初等超越函数 3.代数函数的广义定义 凡能作为代数方程的解的函数都叫做代数函数,3.4 函数的思想方法,例1 已知函数 其中 为 的导函数 （）对满足 的一切 的值，恒有 ，求实数 的取值范围 （）设 ，当实数 在什么范围内变化时，函数 的图象与 只有一个公共点,2006年四川文21题 例2 求 的图像的交点坐标 例3 设 是绝对值小于1的实 数，证明： ,谢谢,第三章 初等函数(3),3.3 函数方程（选学）,1、函数方程相关定义,含有未知函数的等式叫函数方程,使等式成立的函数叫做函数方程的解.,2、关于函数方程的问题,解函数方程,判断函数方程中的函数的性质,求函数方程中的函数的某些特殊值,3、解函数方程的方法,换元法 递归法 柯西法 待定系数法 ,换元法,将函数方程中的变量进行适当的换元，得到一个新的函数方程，再与原函数方程构成一个方程组，然后解此方程组就可求出原