江苏省无锡辅仁高级中学2019~2020学年高二下学期期中考试数学试题含答案

1、江苏省无锡辅仁高级中学20192020学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题1已知集合，则（ ）ABCD2已知，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD4在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定是（ ）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形5已知，则的大小关系为（ ）ABCD6已知，则等于（ ）ABCD17若是方程的解，则属于区间（ ）ABCD8已知函数的图象向左平移个单位后，其图象关于轴对称，则的值为（ ）ABCD9已知双曲线的中心在原点，离心率为，若它的一条准线与抛

2、物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是（ ）ABCD2110已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）ABCD11从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A210种B420种C630种D840种12在中，分别是边，的中点，与交于点，若，则面积的最大值为（ ）ABCD二、填空题13已知是奇函数，且当时，则_.14若对于任意的实数，有，则的值为_.15已知正实数满足，则的最大值是_.16规定，若函数在定义域上的值域是，则称该函数为“绅士风度”函数.已知函数（且）为“绅士风度”

3、函数，则的取值范围是_.三、解答题17如图，设点是单位圆和轴正半轴的交点，是坐标原点，是单位圆上的两点，.（1）求，求的值；（2）设函数，求的值域.18如图，在四棱锥中，平面，.（1）若直线与所成角的大小为，求的长；（2）求二面角的余弦值.19在中，角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）已知，求.20将名为高等代数、数学分析、概率论和复变函数的4本不同的书随机放入甲、乙、丙、丁4个书包中.（1）求4本书恰好放在4个不同书包中的概率；（2）随机变量表示放在丙书包中书的本数，求的概率分布和数学期望.21已知椭圆，若的面积为1，且过右焦点垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.（1）求椭圆的方程；

4、（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.22已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，求函数在区间上的最小值；（3）某高二学习研究小组通过研究发现：总存在正实数，使等式成立.试问：他们的研究成果是否确？若正确，请写出的取值范围；若不正确，请说明理由.参考答案1B 2A 3C 4C 5D 6B 7C 8A9B 10D 11B 12C1314151617解：（1）由已知可得，.（2）由已知得，.故的值域是.18解：（）分别以、所在直线为、轴建立如图所示的空间直角坐标系.，.设，则，.直线与所成角大小为，即，解得或（舍），则的

5、长为2；（）设平面的一个法向量为.，令，则，.平面的一个法向量为，二面角的余弦值为.19解：（1），又，即，等是两边同时除以得，.（2）由余弦定理，得，即，解得.20解：（1）将4本不同的书放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中，共有种不同放法，记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件，则事件包含个基本事件，4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为.（2）的可能取值为0，1，2，3，4，的分布列为：01234.21解：（）由已知，又，解得，.椭圆的方程为.（）设椭圆上一点，则.直线：，令，得.直线：，令，得.将代入上式得，故为定值.22解：（1）定义域为，令，则，当变化时，的变化情况如下表：+0的单调增区间为；单调减区间为.（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，即时，在上单调递增，；当时，在上单调递减，当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，.下面比较，的大小，若，则，此时；若，则