自动控制原理第四章

1、第四章 线性系统的根轨迹法,根轨迹法的基本概念 常规根轨迹的绘制法则 广义根轨迹 系统性能分析,美国人W.R.Evans是根轨迹法的鼻祖。 他的两篇论文： Graphical Analysisof Control System, AIEE Trans. Part II,67(1948),pp.547-551. Control System Synthesis by Root Locus Method, AIEE Trans. Part II,69(1950),pp.66-69 基本上建立起根轨迹法的完整理论。,Evans所从事的是飞机导航和控制，其中涉及许多动态系统的稳定问题，因此其已经又回到

2、70多年前Maxwell和Routh曾做过的特征方程的研究工作。但Evans用系统参数变化时特征方程的根变化轨迹来研究，开创了新的思维和研究方法,开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。,第一节 根轨迹的基本概念,1.根轨迹的概念,特征方程为：,闭环传递函数：,系统开环传递函数为：,特征根为：,例：如图所示二阶系统,特征根为：, 当K=0时，s1=0,s2=-2, 是开环传递函数的极点, 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6, 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1, 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j, 当K=5时，s1=-1+3j,

3、s2=-1-3j, 当K=时，s1=-1+j,s2=-1-j,讨论：,稳定性 当开环增益从零变到无穷时，根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此系统对所有的K值都是稳定的。如果分析高阶系统的根轨迹图，那么根轨迹有可能越过虚轴进入s右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。,根轨迹与系统性能,稳态性能 由图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属I型系统，根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开环增益，而是所谓根轨迹增益。开环增益和根轨迹增益之间，仅相差一个比例常数

4、，很容易进行换算。对于其他参数变化的根轨迹图，情况是类似的。,根轨迹与系统性能,动态性能 由图可见，当0K0.5时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当K0.5时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较oK0.5情况为快；当K0.5时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K值的增大而加大，但调节时间的变化不会显著,根轨迹与系统性能,3.闭环零极点和开环零极点的关系,通常，前向通路传递函数G(s) 可表示为：,KG前向通路增益，KG*前向通路根轨 迹增益,闭环零极点和开环零极点

5、的关系,反馈通路传递函数H(s)可表示为：,KH*为反馈通路根轨迹增益,闭环零极点和开环零极点的关系,系统开环传递函数：,K*为开环系统根轨迹增益,闭环零极点和开环零极点的关系,系统闭环传递函数：,闭环零极点和开环零极点的关系,闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环系统根迹增益就等于开环系统根轨迹增益。 闭环零点由开环前向通路传递函数零点和反馈通路传递函数极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。,4、根轨迹方程,特征方程 ： 1+G(s)H(s) = 0,或表示为：,上式称为根轨迹方程,根轨迹方

6、程可用如下两个方程描述：,根轨迹的模值条件与相角条件,-1,模值条件与相角条件的应用,-0.825 =0.466 n=2.34,s1=-0.825 s2,3= -1.09j2.07,-1.09+j2.07,2.26,2.11,2.072,K*=,= 6.0068,92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= 180o,模值方程与相角方程的应用,3.826,39.9,1.826,68.3,5.576,147.9,1.826,13.826,21.826,111.7,160.3,164.4,4.2 根轨迹绘制的基本法则,法则1: 根轨迹的起点与终点：根轨迹起始于开环极 点，终止于开

7、环零点；,根轨迹绘制的基本法则,法则2: 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等，他们是连续的并且对称于实轴,法则3:根轨迹的渐近线：当开环有限极点数n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、 交点为 的一组渐近线趋于无穷远处,渐近线与实轴交点的坐标,而渐近线与实轴正方向的夹角,K=0,1,2,n-m-1,设控制系统如图所示：,确定根轨迹的渐近线,其开环传递函数：,开环零点：z=-1,开环极点：p1=0，p2=-4，p3=-1+j，p4=-1-j,由法则1：根轨迹起于开环极点p10，p2-4，p3-1+j和p4=-1-j；

8、终于开环有限零点z-l以及无穷远处。,由法则2，根轨迹的分支数有4条，且对称于实轴。 由法则3，有n-m3条根轨迹渐近线，其交点,根轨迹绘制的基本法则,法则4：根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一区域，若其右端开环实数零极点个数之和为奇数，则该区域必为根轨迹,例：设系统的开环传递函数为： 试求实轴上的根轨迹。,解：零极点分布如下：,红线所示为实轴上根轨迹，为：-10，-5和-2，-1 。注意在原点有两个极点，双重极点用“ ”表示。,法则1: 根轨迹的起点与终点：根轨迹起始于开环极 点，终止于开环零点,内容回顾,法则2: 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数

9、n中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴,法则3:根轨迹的渐近线,法则4：根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一区域，若其右端开环实数零极点个数之和为奇数，则该区域必为根轨迹,5,为来会合的根轨迹条数,根轨迹的分离点与分离角,k= 0,1,2, ,倒数法,两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分开的点称为根轨迹的分离点。,分离点的坐标d是下列方程的解:,求分离点的几个例题(补充),错啦！,应该是,例4-1 已知系统开环传函为,试绘制系统的根轨迹。 解：,d = 2.47,d = 2.5 左= 0.67 右= 0.4 d = 2.01 左= 0.99 右= 99.49 d = 2.25 左= 0

10、.8 右= 3.11 d = 2.47 左= 0.68 右= 0.65,-3,-1,-2,关于分离点(补充),a=b,ab,对应的根轨迹,ab,零极点微小变化(补充),d=-3,d1=-2.73,d2=-3.37,结论：由两个极点(实数极点或复数极点)和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K从零变到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分。,法则6: 根轨迹的起始角和终止角。起始角根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以 标志；终止角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，

11、称为终止角，以 表示。,“加零去余极”,“加极去余零”,（1）相角要注意符号：逆时针为正，顺时针为负； （2）注意矢量的方向。,注意：,例：设单位负反馈系统的开环传递函数为,试绘制系统的概略根轨迹,19o,37o,56.5o,59o,90o,108.5o,79o,149.5o,79o,149.5o,根轨迹图,法则7: 根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交则交点上的K*值和值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的s=j , 然后分别令其实部和虚步为零求得。,例44 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为：,试绘制闭环系统的概赂根轨迹。,解 按下述步骤绘制概略根轨迹： 1)确定实铀上的根轨迹

12、。实轴上0，-3区域必为根轨迹。 2)确定根轨迹的渐近线。由于n-m=4，故有四条根轨迹渐近线。,3)确定分离点。,4)确定起始角。量测各向量相角，算得起始角=-71. 6,5)确定根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程式为：,应用劳思判据，有：,s4 1 8 K* s3 5 6 0 s2 34/5 K* s1 (204-25K*)/34 s0 K*,得：,-3,-2.5,j1.1,-j1.1,-1.25,K*=8.16,法则8: 根之和： 若n-m=2，则有,各种说法(补充),已知单位反馈系,d1=0.366,k1=0.0718,d2= -1.37,k2=13.9,s=0.7j,k1=0.332,

13、统根轨迹如图所示,1 求闭环出现重根时,(s)的零极点表达式,2 求欠阻尼状态下单位斜坡输入时ess的范围,解：1,k1=0.0718 k2= 0.332 k3= 13.9,火星漫游车PID校正(补充),PID控制器在工业生产过程中得到了广泛的应用，它能在不同的工作条件下保持较好的工作性能，而且功能简单，便于使用。 “逗留者号”传递函数为：,授控对象,PID控制器,称k3为控制器增益,，试研究控制器增益k3对系统性能的影响,MATLAB研究过程(补充),回车,选中,抓住,边拖动边看图,根轨迹作图步骤,（1）标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺； （2）实轴上的根轨迹； （3）n-m条渐近

14、线； （4）根轨迹的分离点 （5）根轨迹的起始角与终止角； （6）根轨迹与虚轴的交点； 结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之和及之积等性质画出根轨迹。,对于特定K值下的闭环极点，可用模值条件确定。一般说来，比较简单的方法是先用试探法确定实数闭环极点的数值，然后用综合除法得到其余的闭环极点。如果在特定K值下，闭环系统只有一对复数极点，那么可以直接在概略根轨迹图上，用上述方法获得要求的闭环极点。,2. 闭环极点的确定,分离点的特性,根轨迹的分离点或位于实轴，或以共轭形式出现在复平面中。 如果根轨迹位于实轴上的两个相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极点），

15、则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同理，如果根轨迹位于实轴上的两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之间至少存在一个分离点,例4-1 设系统结构图与开环零、极点分布如图所示，试绘制其概略根轨迹。,由法则2，该系统有三条根轨迹分支，且对称于实轴。 由法则1，一条根轨迹分支起于开环极点(0)，终于开环有限零点(-1)，另外两条根轨迹分支起于开环极点(-2)和(-3)，终于无穷远处(无限零点)。 由法则3，两条终于无穷的根轨迹的渐近线与实轴交角为90和270，交点坐标为：,由法则5，实轴区域-2，-3必有一个根轨迹的分离点d，它满足下述分离点方程：,取d=-2.47 画

16、出系统概略根轨迹：,0,-1,-2,-3,例42 设单位反馈系统的开环传递函数为,试绘制闭环系统根轨迹。,解 首先将G(s)写成零、极点标准形式：,结论：由两个极点(实数极点或复数极点)和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K从零变到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分。,概略根轨迹：,例：如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的出射角。,解：,（1）相角要注意符号；逆时针为正，顺时针为负； （2）注意矢量的方向。,注意：,-3,-2.5,j1.1,-j1.1,-1.25,K*=8.16,例45 在图

17、413上， 试确定K4的闭环极点。,图413,根轨迹示例1(补充),j,0,根轨迹示例2 (补充),根轨迹示例3 (补充),j,0,j,0,j,0,根轨迹示例4 (补充),j,0,根轨迹示例1,根轨迹示例2,j,0,4.3 广义根轨迹,参数根轨迹 附加开环零点的作用,1.参数根轨迹,在负反馈系统中， K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他情况下的根轨迹称广义根轨迹。通常有参数根轨迹和零度根轨迹。,参数根轨迹 以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹。,解题关键：将开环传函变形，将非开环增益的参数变换到开环增益的地位。,例4-6:设位置随动系统如图4l 6所示。图中，系统I为比例控制系统

18、，系统为比例微分控制系统，系统为测速反馈控制系统，Ta表示微分器时间常数或测速反馈系数。试分析Ta对系统性能的影响，并比较系统和在具有相同阻尼比0.5时的有关特点。,解: 原系统的闭环特征方程为,G1(s)H1(s)就是新的开环传函 ，而Ta相当于新的开环增益。,将和参数有关的各项归并在一起，上式可写为,D(s)=1+G(s)H(s)=s(5s+1)+5(Tas+1)=0,5s2+s+5+5Tas=0,令：,j,1,1,-1,-1,= 0.5,Ta= 0.8,Ta= 1.8,2.附加开环零点的作用,在控制系统设计中，附加位置适当的开环零点可改善系统的性能,例：设开环系统传递函数为：,令z1为不

19、同数值可得闭环根轨迹如下：,j,0,-1+j,-1-j,j,0,0,-1+j,-1-j,z1=-3,(b) Z1 =-3,j,0,-1+j,-1-j,z1=-2,(c) Z1 =-2,j,0,-1+j,-1-j,(d) Z1 =0,附加开环零点的作用,附加开环负实数零点，可使根轨迹向s坐半平面弯曲，或者说，附加开环负实数零点，可使根轨迹图发生曲向附加零点方向的变形，从而改善系统性能。附加具有负实部的共轭零点，其作用与负实数零点的作用完全相同。 开环零点的位置应兼顾系统的稳定性和动态性能两方面。,j,j,1.增加开环极点：重心向右移，相对稳定性变差。,增加开环零极点对根轨迹的影响,2.增加开环零

20、点： 重心向左移，相对稳定性变好。,4-4 系统性能的分析,主导极点与偶极子 系统性能的定性分析,1. 主导极点与偶极子,（1）主导极点：对整个时间响应过程起主要作用的极点,（2） 偶极子,定义：相距很近的闭环零极点称为偶极子。分实数偶极子和复数偶极子。,条件：如果闭环零极点之间的距离比他们本身的模值小一个数量级，则这一对闭环零极点就构成偶极子。,对系统性能的影响：接近原点的偶极子对系统动态性能的影响必须考虑。远离原点的偶极子可忽略,增加开环偶极子： 在原点附近增加开环偶极子，系统的动态性能变化不大，稳态性能得到提高。,（3）主导极点法,主导极点法：采用主导极点代替系统全部闭环极点估算系统性能

21、指标的方法。 主导极点的确定：在全部闭环极点中，选留最靠近虚轴而又不十分靠近闭环零点的一个或几个闭环极点作为主导极点，略去不十分接近原点的偶极子，以及比主导极点距虚轴远六倍以上的闭环零、极点,注：在应用主导极点法分析系统性能时不能改变系统的稳态误差,2.系统性能的定性分析,稳定性：如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统是稳定的，即稳定性只与闭环极点的位置有关，而与闭环零点的位置无关。 运动形式：如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点为复数极点，则时间响应一般是震荡的。,系统性能的定性分析,超调量：取决于闭环复数主导极点的衰减率 ，并与 其他闭环零极点接近坐标原点的程度有关。,调节时间：取决于最靠近虚轴的闭环极点的绝对值（附近没有相应的闭环零点）,实数零极点的影响：零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。他们的作用，