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文档简介

1、第3讲,函数的极限 与连续,两个极限存在的准则 两个重要极限 函数的连续与间断 初等函数的连续性 间断点的分类,一、关于极限存在的两个准则,1、夹逼定理,如果有三个数列xn，yn，zn 满足 xnynzn , 且 则,例1 求,=0,因为,对于函数,夹逼定理也成立,若对 a 附近的x(xa),恒有,且,则,利用夹逼定理,可以证明,2、单调上升有上界（或单调下降有下界）的数列有极限,例2 数列,单调下降有下界,有极限,男子100米世界纪录,利用这个定理可证明：,单调上升有上界（或单调下降有下界）的数列必有极限,e=2.718281,同时还可推出,今后常讨论：,二、两个重要极限,1、,2、,或,例

2、3 求,=13,=3,例4 求,例5 求,令,即,则原式=,=e3,三、函数的连续和间断,飘逸的浮云、飞泻的瀑布、川流不息的河水、绵绵的长城,三、函数的连续和间断,它有何含义？,曲线在什么情况下产生间断？,例6,f 1(x) 在x=1处没有定义，这就导致间断。,例7,不存在，这导致间断,例3,两者不等，这也导致间断,2、连续的概念,定义,若函数在点a及其附近有定义，且,则称函数在点 a 处连续,例9 对于f (x)=xn , n 为自然数,由于,即,故 f (x)=xn 在点a 处连续。,例10,因,=1,故函数在 x = 0 处连续,= f (0),可以证明，基本初等函数在其定义域内每一点处

3、是连续的,例如：,可以证明，基本初等函数在其定义域内每一点处是连续的,例如：,四、初等函数的连续性,可以证明,若两个函数在点x=a处连续，则它们的和、差、积、商（分母不为0）也在点x=a处连续。若u=g(x) 在点x=a处连续，y=f(u)在u=g(a)处连续,则复合函数y=f(g(a) 在点x=a处连续.,回忆,基本初等函数,初等函数,因此，若一个初等函数在某一区间内有定义，则它在该区间内每一点处连续。,例如，初等函数,的定义域为-1，0，故此函数在-1，0的每一点处连续。,（注：在端点x=-1：右连续。,在端点x=0：左连续）,五、间断点及其分类,连续,间断：函数在 a 无定义,或 不存在,或,a 是函数的间断点,设 a 是函数的间断点，,若 f (a0)、 f (a0) 存在,则称 a 是 f (x) 的第一类间断点,例如,设 a 是函数的间断点，,若 f (a0)、 f (a0) 至少有一个不存在,则称 a 是 f (x) 的第二类间断点,例如 x=0 是 的第二类间断点 , 因为,例如 x=0 是 的第二类间断点 , 因为,不存在,注1：若 f (x) 在点a 处连续，则,“连续”意味着符号lim 与 f 可以交换,例,解,例,解,注2 : 若 f (x) 在点 x0 处连续，,令,则 xx0，即x0 ，这时,成为,因此 , 函数 f(x)在点 x0

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