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文档简介

1、第五节 克莱姆(Cramer)法则,1、克莱姆法则 2、重要定理 3、小结及思考题,2,克莱姆悖论(Cramers paradox ),1744 年 9 月 30 日 Cramer 在给 Euler 的信中提出 9 个点唯一地确定 一条3次曲线 二条三次曲线相交于9个点（Bozout定理）；,克莱姆悖论：上述两个结论不能同时成立,Euler解答：1748 年， Euler 发表题为 “关于曲线规律中的一个明显的矛盾 ”,矛盾的源头， 9 个点不见得能唯一地确定出三次 曲线的方程,3,曲线上的 9 个点虽然给出了 9 个不同的方程，但有时它们并不能唯一地解出那 9 个未知数，因为有些方程是废的，

2、如,一个强大的数学新工具线性代数由此诞生,克莱姆（Gabriel Cramer， 1704.07.311752.01.04） 瑞士数学家,4,如果三元线性方程组,的系数行列式,对三元线性方程组,5,则三元线性方程组有唯一解为:,6,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,非齐次与齐次线性方程组的概念,7,一、克莱姆法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,8,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,9,二、重要定理,定理1 如果线性方程组(1)的系

3、数行列式 则(1)一定有解,且解是唯一的 .,定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.,10,齐次线性方程组的相关定理,定理3 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 只有零解.,11,有非零解.,系数行列式,12,例1 用克莱姆法则解方程组,解,13,14,15,例2 用克莱姆法则解方程组,解,16,17,18,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,19,1. 用克莱姆法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,2. 克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主

4、要适用于理论推导.,三、小结,20,思考题,当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克莱姆 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?,21,思考题解答,不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.,22,作业,P26: 5(2)(4) P31: 5 P32: 7(1), 10 P33: 13(2),23,补充1：行列式的几何意义,二阶行列式的几何意义； 三阶行列式的几何意义,24,补充2：Shamir密钥共享方案,将密钥k按下述方式分成n个共享 已知任意t个 值易算出k； 已知任意t-1个或更少个 ，则由于信息短缺而不能决定出k。,随机地选取一个t-1次多项式 使得该多项式的常数项恰为密钥k,即 ； 任意选取n个互不相同的非零数 ，计算 将 分别分配给n个共享用户，销毁多项式f(x)（从而也销毁了密钥k）；,25,重构密钥

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