DSP-6.ppt

1、本章主要内容 数字滤波器的基本概念 模拟滤波器的设计 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,数字滤波器(DF)的定义 输入和输出均是数字信号，通过一定运算关系(数值运算)，改变输入数字信号所含频率成份的相对比例或滤除某些频率成份的器件。 数字滤波器的特点(相对模拟滤波器)： 精度高、稳定、体积小、重量轻、不要求阻抗匹配。 数字滤波器处理模拟信号 通过A/DC和D/AC，使用数字滤波器对模拟信号的处理。,6.1 数字滤波器的基本概念,1、数字滤波器的分类 (1) 一般分类 经典滤波器：输入信号中的有用的频率成分和希

2、望滤除的频率成分占用不同的频带，通过选频滤波器达到滤波的目的。 现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠，要利用信号的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号，如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器和自适应滤波器等。 (2) 从滤波器的功能上来分类 分为低通、高通、带通、带阻滤波器,6.1 数字滤波器的基本概念,理想滤波器幅度特性,6.1 数字滤波器的基本概念,特点：(1)单位脉冲响应是非因果且无限长，不可能实现，只能尽可能逼近；(2)DF的传输函数是以2为周期，低通的中心频带处于2的整数倍处，高通的中心频带处于的奇数倍附近。,(3)从滤波器的实现网络结构或从单位脉冲响应分类 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器 有

3、限脉冲响应(FIR)数字滤波器：,6.1 数字滤波器的基本概念,在数字滤波器中，一般考察其半个周期=0，的频域特性； 在模拟滤波器中，通常考察其=0，范围内频率域的特性。,N阶IIR滤波器函数,N1阶FIR滤波器函数,2、数字滤波器的技术要求 这里介绍的数字滤波器属于选频滤波器 (1). 数字滤波器的传输函数H(ejw) |H(ejw)|系统的幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况。 Q()系统的相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。,6.1 数字滤波器的基本概念,Q(),(2)数字滤波器的幅频特性|H(ejw)|的指标,6.1 数字滤波器的基本概念,指标说明：

4、p：通带截止频率，通带频率范围：0 p ； S ：阻带截止频率，阻带频率范围：s ； C ：3dB截止频率；P：通带最大衰减；S：阻带最小衰减 1：通带内幅度响应误差范围；2：阻带内幅度响应误差范围；,通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，p和s分别定义为： 如将|H(ej0)|归一化为1，上两式则表示成 当幅度衰减到2/2倍时，所对应频率 c，此时P 3dB，称c为3dB截止频率。,6.1 数字滤波器的基本概念,3. 数字滤波器设计方法 IIR滤波器设计方法： (1)先设计模拟滤波器(AF)的传输函数Ha(s)；然后按某种变换，将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 (2) 借

5、助计算机辅助设计在频域或时域直接进行设计； FIR滤波器设计方法 (1)经常采用的是窗函数设计法和频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。,6.1 数字滤波器的基本概念,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器可以选择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,6.2 模拟滤波器的设计,各种理想模拟滤波器的幅度特性,1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 (1)模拟低通滤波器的设

6、计指标有：p、s、p、s 其中：p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率; p是通带(=0p)中的最大衰减系数， s是阻带s的最小衰减系数，,6.2 模拟滤波器的设计,p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：,6.2 模拟滤波器的设计,|Ha(j0)|2,|Ha(j0)|2,如果=0处幅度已归一化到1，即:|Ha(j0)|=1,图中c称为3dB截止频率，因,(2) 用模拟滤波器逼近方法设计数字IIR滤波器步骤： 给出模拟滤波器的技术指标 ； 设计传输函数 Ha(s)：使其幅度平方函数满足给定指标ap和as，|Ha(j)|2 = Ha(j)Ha*(j) = Ha(s)Ha(-s

7、)|S=j 确定Ha(s)：系统Ha(s)应是稳定的系统，因此，极点应位于S 左半平面内。,6.2 模拟滤波器的设计,2、Butterworth 低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：,6.2 模拟滤波器的设计,c ，幅度迅速下降，N越大，幅度下降越快，过渡带越窄。,将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数：,6.2 模拟滤波器的设计,此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：,其中，k=0,1,(2N-1),2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上，间隔是/Nrad，左半平面N个点构成Ha(s)传输函数，右半平面N个点构成Ha(-s)传输

8、函数。,Ha(s)表示为：,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 ：,6.2 模拟滤波器的设计,只要知道滤波器的阶数N，可得归一化的传输函数，去归一化p=j=s/ c ,可得到实际的传输函数Ha(s),令s/c = j/c，=/c，称为归一化频率，令p=j，p称为归一化复变量，归一化巴特沃斯的传输函数为：,归一化极点pk=ej (+(2k+1)/2N)，k=0,1,N-1。,3 巴特沃斯滤波器的设计步骤 (1) 根据给出的技术指标P、S、p、S，求滤波器阶数N,6.2 模拟滤波器的设计,设:,用上式求出的N可能有

9、小数部分，应取大于等于N的最小整数。,10lg|H(jp)|2,(2) 求归一化极点pk，确定归一化传输函数Ha(p) 根据求极点公式： pk=ej (+(2k+1)/2N)，k=0,1,N-1。再带入： 或根据阶数N，查表P157 表6.2.1得到极点和归一化传输函数,6.2 模拟滤波器的设计,阻带指标有富裕度,通带指标有富裕度,(3)求3dB截止频率c 由:|H(j)|2=1/1+(/c)2N，= p时：1+(p/c)2N=10p/10。,(4)将Ha(p)去归一化，得到实际的滤波器传输函数Ha(s) 将p=s/c，代入Ha(p)中得：Ha(s)=Ha(p)| p=s/c。,6.2 模拟滤

10、波器的设计,表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,表示两极点P1、PN-2,6.2 模拟滤波器的设计,6.2 模拟滤波器的设计,【例】已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解：(1) 设计模拟滤波器的指标为 p=2fp=104(rad/s)， ap=2dB s=2fs=2.4104(rad/s)， as=30dB (2) 确定滤波器的阶数N,6.2 模拟滤波器的设计,(3) 求极点,6.2 模拟滤波器的设计,P0,P1,P2,P3,P4,代入归一化传输函数公式,pk=ej

11、(+(2k+1)/2N),最简便的方法：由N=5，直接查表得到： 极点形式：-0.3090j0.9511； -0.8090j0.5878; -1.0000 分母多项式的形式： 分母因式的形式：,(4) 将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c,6.2 模拟滤波器的设计,5,b0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361,(5) 将p=s/c代入Ha(p)中得到：,四、模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器的设计,6.2 模拟滤波器的设计,频率变换与模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 高通、带通、带阻滤波器的幅频响应曲线及边界频率分别如

12、图6.2.12(a)、 (b)和(c)所示。 低通、高通、带通和带阻滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减仍用 p和 s表示。图6.2.12中，ph表示高通滤波器的通带边界频率; pl和pu分别表示带通和带阻滤波器的通带下边界频率和通带上边界频率; sl和su分别表示带通和带阻滤波器的阻带下边界频率和阻带上边界频率。 ,图6.2.12 各种滤波器幅频特性曲线及边界频率示意图,从原理上讲，通过频率变换公式，可以将模拟低通滤波器系统函数Q(p)变换成希望设计的低通、高通、带通和带阻滤波器系统函数Hd(s)。在模拟滤波器设计手册中，各种经典滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的，并提供从低通到其他各种滤波

13、器的频率变换公式。所以，设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是: (1) 通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标转换为相应的低通滤波器指标； (2) 设计相应的低通系统函数Q(p)； ,(3) 对Q(p)进行频率变换，得到希望设计的滤波器系统函数Hd(s)。 设计过程中涉及的频率变换公式和指标转换公式较复杂，其推导更为复杂。幸好一些学者已经开发出根据设计指标直接设计高通、带通和带阻滤波器的CAD程序函数，只要根据设计指标直接调用CAD程序，就可以得到高通、带通和带阻滤波器系统函数。前面所提到的MATLAB信号处理工具箱函数butter, cheby1, cheby2和ellip都具有这样的

14、功能。 本节先简要介绍模拟滤波器的频率变换公式，再举例说明调用MATLAB信号处理工具箱函数直接设计高通、带通和带阻滤波器的方法。,后面的设计举例将说明, 如果低通滤波器Q(p)是关于某边界频率的 “归一化低通滤波器”, 则设计计算将大大简化。这里，“归一化低通滤波器”是指关于某个边界频率归一化的低通滤波器, 其系统函数就用Q(p)表示。归一化频率根据设计需要而定，对巴特沃斯滤波器关于3 dB截止频率归一化的系统函数称为巴特沃斯归一化低通原型（记为G(p)），而切比雪夫和椭圆滤波器的归一化低通原型一般是关于通带边界频率p归一化的低通系统函数（即Q(p)的通带边界频率为1）。,为了叙述方便，定义

15、p=+j为Q(p)的归一化复变量，其通带边界频率记为p，称为归一化频率。用Hd(s)表示希望设计的模拟滤波器的系统函数，s=+j表示Hd(s)的复变量。例如，一阶巴特沃斯低通原型系统函数为 显然, 其3 dB截止频率p=1, 是关于3 dB截止频率归一化的。 模拟滤波器设计手册中给出了各种模拟滤波器归一化低通系统函数的参数（零、极点位置，分子、分母多项式系数等）。 ,在虚轴(频率轴)上该映射关系简化为如下频率变换公式: 式中，ph为希望设计的高通滤波器HHP(s)的通带边界频率。频率变换公式（6.2.51）意味着将低通滤波器的通带0, p映射为高通滤波器的通带, ph，而将低通滤波器的通带p,

16、 0映射为高通滤波器的通带ph, 。,（6.2.51）,同样，将低通滤波器的阻带s, 映射为高通滤波器的阻带sh, 0，而将低通滤波器的阻带, s映射为高通滤波器的阻带0, sh。映射关系式（6. 2.50）确保低通滤波器Q(p)通带p, p上的幅度值出现在高通滤波器HHP(s)的通带ph|上。同样，低通滤波器Q(p)阻带s|上的幅度值出现在高通滤波器HHP(s)的阻带s, s上。,所以只要将（6.2.50）式代入（6.1.48）式，就可将通带边界频率为p的低通滤波器的系统函数Q(p)转换成通带边界频率为ph的高通滤波器系统函数: （6.2.52） 【例6.2.5】 设计巴特沃思模拟高通滤波器

17、，要求通带边界频率为4 kHz，阻带边界频率为1 kHz，通带最大衰减为0.1 dB，阻带最小衰减为40 dB。,解 (1） 通过映射关系式（6.2.51），将希望设计的高通滤波器的指标转换成相应的低通滤波器Q(p)的指标。为了计算简单，一般选择Q(p)为归一化低通，即取Q(p)的通带边界频率p=1。则由（6. 2.51）式可求得归一化阻带边界频率为 转换得到低通滤波器的指标为： 通带边界频率p=1，阻带边界频率s=4，通带最大衰减 p=0.1dB，阻带最小衰减 s=40 dB。 （2） 设计相应的归一化低通系统函数Q(p)。本例调用MATLAB函数buttord和butter来设计Q(p)。

18、,p=1，,（3） 用（6.2.50）式将Q(p)转换成希望设计的高通滤波器的系统函数HHP(s)。本例调用MATLAB函数lp2hp实现低通到高通的变换。lp2hp函数的功能可用help命令查阅。BH, AH=lp2hp(B, A, wph)将系统函数分子和分母系数向量为B和A的低通滤波器变换成通带边界频率为whp的高通滤波器，返回结果BH和AH是高通滤波器系统函数分子和分母的系数向量。实现步骤（2）和（3）的程序ep616.m如下: ,例6.2.5 设计巴特沃思模拟高通滤波器程序: ep625.m wp=1; ws=4; Rp=0.1; As=40; 设置低通滤波器指标参数 N, wc=b

19、uttord(wp, ws, Rp, As, s); 计算低通滤波器Q(p)的阶数N和3 dB截止频率wc B, A=butter(N, wc, s); 计算低通滤波器系统函数Q(p)的分子分母多项式系数 wph=2*pi*4000; 模拟高通滤波器通带边界频率wph BH, AH=lp2hp(B, A, wph); 低通到高通转换,由系数向量B和A写出归一化低通系统函数为 由系数向量BH和AH写出希望设计的高通滤波器系统函数为 Q(p)和HHP(s)的损耗函数曲线如图6.2.13所示。,图6.2.13 例6.2.5 所得低通、高通滤波器损耗函数曲线,值得注意的是，实际上调用函数buttord

20、和butter可以直接设计巴特沃思高通滤波器。设计程序ep616b.m如下: 例6.2.5 设计巴特沃思模拟高通滤波器程序: ep625b.m wp=2*pi*4000; ws=2*pi*1000; Rp=0.1; As=40; 设置高通滤波器指标参数 N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); 计算高通滤波器阶数N和3 dB截止频率 BH, AH=butter(N, wc, high, s); 计算高通滤波器系统函数HHP(s)分子分母多项式 系数,程序运行结果: N=5 BH=1 0 0 0 0 0 AH=1 5.1073e+004 1.3042e+009 2.05

21、84e+013 2.0078e+017 9.7921e+020 分母多项式系数向量AH与程序ep616.m的运行结果相同。但是，分子多项式系数向量BH与程序ep616.m的运行结果有较大差别，这是由运算误差引起的。由于butter函数采用了归一化处理，所以计算误差小。本程序所得分子多项式系数向量BH与理论设计结果相同。所以实际中应当用程序p616b.m设计高通滤波器。由BH和AH写出希望设计的高通滤波器系统函数:,2 低通到带通的频率变换 低通到带通的频率变换公式如下: （6.2.53） 在p平面与s平面虚轴上的频率关系为 （6.2.54）,式中，Bw=pupl, 表示带通滤波器的通带宽度，p

22、l和pu分别为带通滤波器的通带下截止频率和通带上截止频率; 0称为带通滤波器的中心频率。根据式（6.2.54）的映射关系，频率=0映射为频率=0，频率=p映射为频率pu和pl，频率=p映射为频率pu和pl。也就是说，将低通滤波器G(p)的通带p, p映射为带通滤波器的通带pu, pl和pl, pu。同样道理，频率=s映射为频率su和sl，频率=s映射为频率su 和sl。所以将式（6.2.53）带入式（6.2.48），就将Q(p)转换为带通滤波器的系统函数，即 （6.2.55）,可以证明 （6.2.56） 所以，带通滤波器的通带（阻带）边界频率关于中心频率0几何对称。如果原指标给定的边界频率不满

23、足式（6.2.56），就要改变其中一个边界频率, 以便满足式（6.2.56），但要保证改变后的指标高于原始指标。具体方法是，如果plpuslsu，则减小pl（或增大sl）使式（6.2.56）得到满足。具体计算公式为,或,图6.2.14 低通原型到带通的边界频率及幅频响应特性的映射关系,【例6.2.6】 设计巴特沃思模拟带通滤波器，要求通带上、下边界频率分别为4 kHz和7 kHz，阻带上、下边界频率分别为2 kHz和9 kHz，通带最大衰减为1 dB，阻带最小衰减为20 dB。 解 所给带通滤波器指标为:,因为fplfpufslfsu，所以不满足（6.2.56）式。按照（6.2.57）式增大f

24、sl，则 采用修正后的fsl，按如下步骤设计巴特沃斯模拟带通滤波器。, 通过映射关系式（6.2.54），将希望设计的带通滤波器指标转换为相应的低通原型滤波器Q(p)的指标。为了设计方便，一般选择Q(p)为归一化低通，即取Q (p)的通带边界频率p=1。因为=s的映射为sl，所以将p=1、=s和=sl代入式（6.2.54）可求得归一化阻带边界频率为 转换得到的归一化低通滤波器指标为: 通带边界频率p=1，阻带边界频率s=1.963，通带最大衰减 p= 1 dB，阻带最小衰减 s=20 dB。, 设计相应的归一化低通系统函数Q(p)。设计过程与例6.2.1完全相同，留作读者练习。 用式（6.2.5

25、5）将Q(p)转换成所希望设计的带通滤波器系统函数HBP(s)。 本例调用MATLAB函数buttord和butter直接设计巴特沃思模拟带通滤波器。设计程序ep626.m如下: ,例6.2.6 设计巴特沃思模拟带通滤波器程序: ep626.m wp=2*pi*4000, 7000; ws=2*pi*2000, 9000; Rp=1; As=20; 设置带通滤波器指标参数 N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); 计算带通滤波器阶数N和3dB截止频率wc BB, AB=butter(N, wc, s); 计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向量BB和AB,程序运行

26、结果: 阶数: N=5 系统函数分子多项式系数向量: BB=1.0e+021 * 0 0 0 0 0 6.9703 0 0 0 0 0 系统函数分母多项式系数向量: AB=1 7.5625e+004 8.3866e+009 4.0121e+014 2.2667e+019 7.0915e+023 2.5056e+028 4.9024e+032 1.1328e+037 1.1291e+041 1.6504e+045 由运行结果可知，带通滤波器是2N阶的。10阶巴特沃思带通滤波器损耗函数曲线如图6.2.15所示。,图6.2.15 例6.2.6巴特沃思模拟带通滤波器损耗函数,3 低通到带阻的频率变换

27、低通到带阻的频率变换公式为 （6.2.58） 在p平面与s平面虚轴上的频率变换关系为 （6.2.59）,式中，Bw=susl，表示带阻滤波器的阻带宽度，sl和su分别为带阻滤波器的阻带下截止频率和阻带上截止频率; 0称为带阻滤波器的阻带中心频率。根据式（6.2.59）知道, 是Q的二次函数,从低通滤波器频率到带阻滤波器频率为双值映射。 当从s p 0_时，从 su pu -,形成如图6.2.12(c)所示的带阻滤波器HBS(j)在(-， 0 上的频响；从 s1 +p1 0+,形成HBS(j)在(0+，0 上的频响。,所以将（6.2.58）式带入（6.2.48）式，就将阻带边界频率为s的低通原型

28、滤波器Q(p)转换为所希望的带阻滤波器的系统函数:,（6.2.60）,与低通到带通变换情况相同，有,（6.2.61）,由于带阻滤波器的设计与带通滤波器的设计过程相同，因此下面仅举例说明调用MATLAB 函数直接设计模拟带阻滤波器的设计程序。,【例6.2.7】 分别设计巴特沃思、椭圆模拟带阻滤波器，要求阻带上、下边界频率分别为4 kHz和7 kHz，通带上、下边界频率分别为2 kHz和9 kHz，通带最大衰减为1 dB，阻带最小衰减为20 dB。,解 所给带阻滤波器指标为,调用MATLAB函数buttord, butter, ellipord和ellip直接设计巴特沃思带阻、椭圆带阻模拟滤波器的

29、设计程序ep618.m如下: 例6.2.7 设计模拟带阻滤波器程序: ep627.m wp=2*pi*2000, 9000; ws=2*pi*4000, 7000; Rp=1; As=20; 设置带阻滤波器指标参数,设计巴特沃思模拟带阻滤波器 Nb, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); 计算带阻滤波器阶数N和3 dB截止频率 BSb, ASb=butter(Nb, wc, stop, s); 计算带阻(stop)滤波器系统函数分子分母多项式系数 设计椭圆模拟带阻滤波器 Ne, wep=ellipord(wp, ws, Rp, As, s); 计算带阻滤波器阶数N和3

30、dB截止频率 BSe, ASe=ellip(Ne, Rp, As, wep, stop, s); 计算带阻滤波器系统函数分子分母多项式系数,程序运行结果: 巴特沃思模拟带阻滤波器阶数: Nb=5 巴特沃思模拟带阻滤波器系统函数分子多项式系数向量: BSb=1.0e+021 *0 0 0 0 0 6.9703 0 0 0 0 0 巴特沃思模拟带阻滤波器系统函数分母多项式系数向量: ASb=1 7.5625e+004 8.3866e+009 4.0121e+014 2.2667e+019 7.0915e+023 2.5056e+028 4.9024e+032 1.1328e+037 1.1291e

31、+041 1.6504e+045 椭圆模拟带阻滤波器阶数: Ne=3,椭圆模拟带阻滤波器系统函数分子多项式系数向量: BSe=1 1.9827e011 3.9765e+009 0.0918 4.3956e+018 6.1168e+0071.3507e+027 椭圆模拟带阻滤波器系统函数分母多项式系数向量: ASe= 1 6.9065e+004 5.3071e+009 2.2890e+014 5.8665e+018 8.4390e+0221.3507e+027 由运行结果可知，带阻滤波器也是2N阶的。10阶巴特沃思带阻滤波器和6阶椭圆带阻滤波器损耗函数分别如图6.2.16(a)和(b)所示。,图

32、6.2.16 例6.2.7的巴特沃思、椭圆模拟带阻滤波器损耗函数,利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计过程：,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,设计技术成熟 有相当简便的 公式和图表,要求DF特性 模仿AF的特性,实际上是个映射问题 Mapping,转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,满足上述转换关系的映射方法有：,脉冲响应不变法和

33、双线性变换法,一、脉冲响应不变法的基本思想 使h(n)模仿ha(t)，让h(n)正好等于ha(t)的采样值 二、变换方法 1、设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)时域采样h(n)ZTh(n)H(z),所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法,si为Ha(s)的单阶极点,LT-1Ha(s),U(t)为单位阶跃函数,对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 结论:(1) S平面的

34、单极点s=si映射到Z平面的极点z=esiT。 (2) Ha(s)部分分式的系数与H(z)部分分式的系数相同。,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,2、Ha(s)有共轭复数对极点 Ha(s)的极点si一般是一个复数，以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。 AF二阶基本节形式一：,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,极点-1j1,AF二阶基本节形式二：,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,极点-1j1,三、S平面和Z平面之间的映射关系 1、采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系： (1) 设ha(t)的采样信

35、号表示为: (2) 对 进行拉氏变换，得到,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,2、模拟信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系： 模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足： 结论：采样信号的拉氏变换是原模拟信号的拉氏变换在S平面沿虚轴以s=2/T为周期进行的周期延拓；,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,将s=j代入上式，得：,说明：采用脉冲响应不变法将AF变换为数字DF时 Ha(s)沿虚轴以s=2/T为周期进行周期延拓; 再经过Z=eST的映射关系映射到Z平面上，从而得到H(z) 上面的这种转换是否满足对转换关系

36、提出的2点要求: 设：S=j，Z=rejw 脉冲响应不变法标准映射关系： Z=eST rejw=e(j)T=eTe jT 得到：r= eT； w=T,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,频率域的坐标变换是线性的,因果稳定 模仿频响,由采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系：,0时，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外(r=|z|1) 以上分析结论：若Ha(s)是因果稳定的，则转换后的H(z)也是因果稳定的。,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,r= eT,因果稳定的分析,当不变，模拟角频率变化2/T整数倍，映射值不变，S平面上每一条宽度为2/T的水平

37、横带都重迭地映射到Z平面的整个全平面上 每条水平横带的左半部分映射到Z平面单位圆内； 水平横带右半部分映射到Z平面的单位圆外 j虚轴上每2/T段都对应着单位圆一周,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,z=esT是周期函数,由上面分析结果： S平面与Z平面的映射关系满足转换条件； 但存在着多值(s)单值(z)映射关系,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,(3) DF的频响是AF频响的周期延拓,频率混叠,只有AF频响限于/T之内，DF频响才不失真地复现AF频响，否则，设计出来的DF在w=附近产生频率混叠。,(2) 采样信号的拉氏变换是其模拟信号的拉氏变换以2/T为周期，

38、沿虚轴进行周期化。,脉冲响应不变法的应用受限 只适合设计带限滤波器，如：低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,假设 没有频率混叠现象，即满足：,按照上式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到：,数字滤波器的频响可以很好模仿模拟滤波器的频响,四、脉冲响应不变法的优缺点 优点： 1、频率变换是线性关系; w=T ，模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特性； 2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好； 缺点： 1. 有频谱混迭失真现象；(S平面到Z平面有多值映射关系) 2. 由于频谱混迭，使应

39、用受到限制。(T失真，但运算量,实现困难),6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,【例】 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z) 解：首先将Ha(s)写成部分分式： 极点为： 根据： ，H(z)的极点为：,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,按照： ，经过整理，得到 当：T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则： 将Ha(j) 、H1(ejw)、 H2(ejw)的幅度特性用它们最大值归一化后，得到它们的幅度特性曲线，如下图所示：,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,6.3

40、 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,很轻的混叠现象,严重的混叠现象,脉冲响应不变法的主要缺点:产生频率谱混迭现象。 原因：模拟低通的最高频率超过了折叠频率/T，数字化后在w= 形成频谱混叠现象。 解决方法：采用非线性压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到/T 之间，而后再用 Z=eST 转换到 Z 平面上。,6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,一双线性变换法消除频谱混迭的原理 1、非线性压缩：(S平面S1平面映射) 双线性变换法用正切变换实现非线性频率压缩，设Ha(s)，s=j，经过非线性频率压缩后用Ha(s1)， s1=j1 表示。则： 上式表明：当1从/T经过0变化到

41、-/T时，则由经过0变化到-，这样实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的/T之间的转换。,6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,T：时域采样间隔；,由上面可得：(-，+)，1(-/T，+/T) ；,6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,2、S平面到Z平面的映射,将S1平面映射到Z平面上，用标准映射Z=eS1T。代入上式,3、双线性不变法的映射关系 映射过程：从s平面映射到s1平面，再从s1平面映射到z平面。 S平面与Z平面是一一对应的单值映射关系，消除了脉冲响应不变法的多值映射关系，消除了频谱混迭现象。 只要模拟滤波器Ha(s)因果稳定，其极点应位于S左半平面，转

42、换成的H(z)也是因果稳定的，位于单位圆内。,6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,二、模拟频率和数字频率之间的关系 将：Z=ej ，S=j，代入SZ平面映射关系式：,6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,说明：s平面上 与z平面的成非线性正切关系，当增加时， 增加得很快，当 趋于 时，趋于，由于这种非线性关系，消除了频率混叠现象。 代价：影响数字滤波器频响逼真模拟滤波器的频响的逼真度，存在幅度失真和相位失真。,三、双线性变换法特点 1、优点 消除了频谱混迭失真；频率映射 表明S平面与Z平面是一一对应的单值映射关系，避免了脉冲响应不变法的频谱“混迭”现象。 2.缺点 以频率

43、变换的非线性为代价，模拟域和数字域进行非线性映射，其瞬时响应不如脉冲响应不变法好。,6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,四、双线性变换法的幅度失真和相位失真情况 如果的刻度是均匀的，通过非线性正切关系，映射到z平面的刻度不均匀，随增加越来越密，即边界频率发生畸变。 如果模拟滤波器具有片段常数特性，则转换到z平面仍具有片段常数特性。适于片段常系数滤波器的设计。,6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,幅度特性失真,相位特性失真,五、双线性变换法的预畸变 对边缘临界频率点产生的畸变，可通过频率的预畸变加以校正。 例：数字低通滤波器的两个截止频率： p和s，如果按照线性变换所对应的模拟滤波器的截止频率分别为： 再利用非线性的频率变换公式，得到的数字滤波器的截止频率就不等于原来的频率 。 解决方法：数字频率转