第四章 线性规划的对偶问题

1、第四章 线性规划的对偶问题 4.1 对称的对偶规划 在线性规划早期发展中,对偶问题是一项重要的发现。早在1928著名数学家John.Von.Neumann在研究对策理论时就已经有原始和对偶的思想。 对偶理论有着重要的应用。首先是在原始和对偶两个线性规划中求解任一规划时，会自动地给出另一个规划的最优解。当对偶问题比原问题有较少分量时，求解对偶问题比求解原始问题方便得多。对偶理论另一个应用是Lemke，1954提出的对偶单纯形法。 对偶理论对影子价值的分析在经济理论上有着重要作用。,押啊勒羌晌税镣我僚冉赐盗跑忘旱垮呸熏颤舅糕禁炭保茁檄舌柯掂麻雄鄙第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题

2、,一 对偶问题的提出: 例:某厂生产A.B.C三种畅销产品,每台产品需四种资源,具体数据表：,问怎样安排生产,效益最大？,设决策变量 得出模型:,锄呻奢绿卑城弹却卿尊梁瞅合酌米韶琐娱烁柯钥惩渠庚补藩森邦诣怒失炙第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,现在工厂考虑不进行生产而把全部可利用的资源都让给其它企业单位,但又希望给这些资源订一个合理价格,既使别的单位愿意买,又使工厂能得到生产这些产品时可以得到的最大效益.,这就需建立另一个线性规划模型,设 代表销售这四种资 源的价格，买方希望总售价尽可能低,即：,原来生产产品A每台需用的资源按现在的单价计算,每台收益为:,畔投伙睦价转钝还箕

3、椒酪衷驭曾毯损据炸湖痰勿息吊煞煤疫湾薄挪嫉宰去第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,易见,后一个问题的数据完全由另一问题数据确定. 对每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题,即：,都伴随一个对偶规划(LD)。,定义1:对应着每一个(LP),都存在着线性规划问题(LD),其中 是m维行向量,称(LP)为原始线性规划，称(LD)为(LP)的对偶线性规划。,因此得到的线性规划问题模型如下:,援鸵食盎猾谜网馈泪了溃摧蛆浓讼急稿楚冬萍鹤寇刮痕辖卸蛋婶暴斟束请第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,下面进一步探讨(LP)与(LD)之间的关系：,其对偶问题: (LD),(

4、LP),薪健亚鸭疮凤赏阔索荒帅饱炒支奉衫渍续蹈夏滦袋阻怪祟叉傻存夯咱陵醇第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,用下表表示二者之间关系,更为清楚:,对偶线性规划问题一定要有一对线性规划问题，没有一个“对偶”的线性规划问题，也就无所谓“原始线性规划问题”如果没有原始线性规划问题，也就无所谓对偶线性规划问题了。,硼姚赏秩调员吱布峙久昔嚏茅蜀蒋锗宽镰詹远臆蠕鉴媳港师梨妮但普溪除第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,线性规划的对偶关系具有“对合”性质,什么是对合性质呢?,可见，（LP）与（LP）是同一类型的问题，依照定义1，又可写出（LP）的对偶线性规划。记为（LD） （

5、LD）,锥袭声介庐沫积琳枷射皿恨混纂嚷凌栖挺递呕霍枪古景盛航旅毛赚佯盅东第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,（LD） 又可等价地写成：,既（LD）就是前面的（LP） 这表明，对于一个给定的（LP）可以根据对偶规则写出（LD）；而对于新问题（LD），又可根据对偶规则写出其对偶。而此对偶又刚好回到原问题本身。即（LP）的对偶是（LD） ，（LD）的对偶是（LP）。,这就是线性规划对偶关系的“对合”性质。这样我们可以把一个相互对偶的线性规则中任何一个称为原问题，而把另一个称为对偶问题，称它们互为对偶。下面我们举例说明怎样由一个规则写出其对偶问题。,檀徽梨穷彭醉慎赞霜樱于峡磐列惊矮标

6、辐平友叭撞刃浴讯德己但傈傍绩律第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,解：因目标函数最小化，故先把约束条件都写成“ ”形式：,象佯妄衬该巴韶踏粕尸诌戌嫂淖畸辐终厘甩候佃爹亨妙狐眶懒颅厂篙卵撤第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,由于这是个（LD）问题。故其对偶是（LP）问题。,对偶函数目标系数由给出的（LD）约束右端列向量（-7，14，3) 可得，对偶的约束方程右端常数，向量由（LD）的目标函数 系数向量（5，-6，7，1）可得，从而写出（LP）问题：,订魔俘鞠峨撞鸟名柔季蔷馁澈哨臆扣述习登珊润蛙竞鹊品标逢署趋昨界梢第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶

7、问题,所以把它们称为一对对称的对偶规划。 下面来讨论它们的关系。,二 （LP）、（LD）的对偶定理 定理1 对于（LP）的任意可行解x 及（LD）的任意可行解 u 有 c x u b 。 证： 因 x 、u满足： A x b , x0 （1） u Ac u0 （2） 用u左乘（1），x右乘（2）的： c xu Axu b 故c xu b 。,由于（LP） 与（LD） 形式上是等价的,棵炮忱谐饱算球鬼嗜壁芹留壶嵌铃镇勾哈汀捣溜彤锄恒税瑚踏蚤哲警拓尉第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,定理1 给出了（LP）（LD）这对互为对偶的线性规问题目标函数的一个界限。若（LP）有可行解x，

8、则（LD）的目标值u b就有了下界c x；反之，若（LD）有可行解u，则（LP）的目标值c x就有了上界u b。 推论： 若（LP）有无界解，则（LD）无可行解。 若（LD）有无界解，则（LP）无可行解。 证： 只证前面，后面一样，反证法。 若（LP）有无界解，而（LD）有可行解u0， 而根据定理一，对（LP）的任何可行解x，c xu0 b 这与（LP）目标函数无上界矛盾。 注： 这个推论的逆不一定成立。 即一对对偶问题中有一个无可行解，不能判定另一个有无 界解。,搭履煞厕浑疯踊辖鼠殴隆冻煌搏绳娘踩焙敏呈迟慎野舆薛抿惭勋驶朝符盎第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,例： （LP

9、）,（LD）,上面（LP）无可行解，而（LD）并没有无界解，而是无可行解。,涣趟阂嘘溪扼痉浆婆贺妮显趋瘸削巩锹尚率澜广产钧蜕拯庆松限漂依折最第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,定理2：,证明：,癣弧蕊虱做诫骑粉侗喉绞炉讫战迁口坛纯舒勋妓唁除插指剁静牌骗邻勇契第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,证明：,推论2,擎衬万丈蒋聂儒池缘究攒褂殊斡嫉跟峪道遭皑煎来溯巷拆锑岸柞迷蹋雌淡第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,这样（LP）就化成了等价的（*）问题。 由于假定（LP）有最优解，则（*）亦有最优解。,赵纵擎说负安工尧曾锰脑锗植崖贮遵裙画湿咕段骆戈趟

10、算幢赃赡染颓永苟第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,滑躯弯卷吮迹吵卤屡使译佐肾牧撅李苟俩疯厅窘面举磺颜障数鞠递金涪琉第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,瓮像湍奏酸灾几扦全妙峪陡寅衷硫卫逸罪猩释嵌旋搽敷布俯内诸家诅郎活第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,有,定理4,证明：,宰剔恒赋垄惯幢阀唯卯舍懈税萍硫帛铸蚕秤嚷常上炯摊谨崩债抖翁蜘调拓第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,证毕,由此可得如下松紧关系：,蜘汰瘁状卢槽簿移虑找袖疙酗蛙朴腐护呕亲边疹禹痴肥侵涉状胃吁己樟慎第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,增健县畜

11、竞恰哑凸始炳酝鼎患类鸿藤符员副漱午裤设牢鼎容惠笆突拖翻荣第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,对偶松紧关系又称为互补松弛条件。 下面通过一个例子说明对偶松弛关系：,例,（LP）,引进松弛变量 ，（LP）化为：,掐序谜蔽丧汞惩姥峪拇胆加仗柳涟熊甸遁沼鬃爱案莉焦业雀绕峦思栅船碧第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,得（LP）的最优解,冠翱缄抢挣羹拨掸幢驳普板监蛰腮敏丛半遥吱苫煎柑儡恶怔岔赃然败养獭第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,谰友崩俯庚呛夯硼壕描坝鸭闪分熬逛平剪囚穷娠艇管揽伟疽聋最觅逾掇出第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,

12、又,婉铁州号踢当需炳振叙咒嘿际例磅她雾侥运精狱嘘杨插启渭讯郑乾恃够款第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,可见，用单纯形法迭代的到（LP)最优解时，对偶(LD)的 最优解 可以直接从（LD)的最优单纯形到表上得到。在问题的松弛变量 （y1，y2)的检验数就是对偶(LD)的最优解。 这个结果对一般情形也成立。下面予以证明。,篆俐吝惩勉铸韵挝苦阔的狄医响旭亿屈厢喀霍谢协稽穿景粗液速尊淡液受第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,用单纯形求解。得到一个判别数全非负的最优基本解。对应松弛变量yi的判别数 又 yi在目标函数中系数 pn+i为第i分量为1的m维单位列向量。(

13、i=1m)且,一对相互对偶的线性规划（LP）（LD）之间解的可能构形有 哪些？这可用对偶定理来回答，因为（LP）（LD）都单独分 别有三种可能：,牙岿帅晨坑拣洽辊封淋徒涂怀诵瞻坝缺基前炕畴房逐秉识毡绚砸铅市孔看第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,综合以上对偶定理知：（LP）（LD）之间只可能有下面三种情形： （1） 两者都有最优解。 （2） 两者都没有可行解。 （3） 一个问题有无界解，另一个问题没有可行解。 其他情形都不可能出现了，因为，一个问题有最优解，另一个问题有无界解，或一个问题有最优解，另一个问题无可行解，将与定理3矛盾。 如果两个问题都有无界解，将与推论1矛盾。,

14、拈蛊徒迹及气慈旧朵雁桂套鸿窖孽韵傈胁熔毫增亦命辣潭竭歪总厕蝶蛛那第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,4.2 非对称及混合型对偶规划,一 （SLP）的对偶规划：,在单纯形法中，我们总是先将（LP）问题化为（SLP）求解，因此，有必要研究（SLP）的对偶规划问题。,先将（SLP）：,改写成（LP）,再根据（LP）的对偶定义写出其对偶规划：,害女缺杏滦暇祝辰颈泻品武桩贷眉楷刻郎凉埔离付赞摔骑汝址癣豁堤拆脖第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,(LD),这就是(SLP)的对偶线性规划，这一线性规划问题还可进 一步简化。引进m维行向量u ：,那么u就不一定有非负约束了。

15、于是将上面（LD)写成：,（SLD),u无限制,替寝号肋置临弧厉令顿喘疾第尝锈借臀畔袖院亲僵蒸腰眺垃秸渍疗妮寂夜第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,(LP)（亦即(SLP) 的对偶是(LD)亦即(SLD) 。而 (LP)与(LD)是对称对偶规划，具有对合性。即(LD)也就是(SLD) 的对偶是(LP)(亦即(SLP)）。故知: (SLP)与(SLD)这对对偶 规划也具有对合性质的。,二 (SLP)、(SLD)的对偶定理： 下面我们考察前面已证明的关于(LP) (LD)的一些定理，考 虑是否对(SLP) (SLD)也成立。 定理1 对(SLP)的任意可行解x，(SLD)的任意可

16、行解u 。有：,证明：,编异脉翠怎耙洗焊汐俭淮腊名睬腹执台哺挨碾嗅甘仆隙倒也楚诛衡夹毅倪第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,推论1：若(SLP)有无界解，则(SLD)无可行解；若(SLD) 有无界解，则(SLP)无可行解。其逆不成立。,定理3：若(SLP),(SLD)中一个有最优解，则另一个也有 最优解，并且两者的目标函数值相等。,推论2：若x*，u*分别是(SLP),(SLD)的可行解，且cx*=u*b。 则x*,u*分别是(SLP),(SLD)的最优解。 （这些结论的证明与(LP),(LD)类似结论证明一样）,定理2：对偶(SLP),(SLD)有最优解 两者同时有可行解。

17、,针袖盯圭妊操包取讹机篱村炊捉獭摘队蔫狮搏矮侵悦鸦辰舰林函狮萨宾辟第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,根据第一节的定理3知，(LP)即(SLP)有最优解。 故得证。,并且目标值 根据上面的推论2即可知： 因此我们证明了若(SLP)有最优解，则(SLD)必有最优解。 反之，若(SLD)有最优解u*,则,是(SLD)的最优解。,汽撂吗建伟占吩绣库骨树寿涣池庐倡猖胞彰蟹止汉牲脂后爬僳蛰伙番午融第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,我们由上面定理证明过程可见：若B*是(SLP)的最优基，那 么单纯乘子 就是(SLD)的最优解。因此我们定义： 定义2：对于(SLP)的一

18、个基B，若单纯到乘子 为对 偶(SLD)的可行解，则称B为对偶可行基。 若 为对偶(SLD)的最优解，则称B为对偶最优基。 上面定理3的证明表明：(SLP)的最优基B*必是对偶最优 基。这个结论在后面的对偶单纯形法迭代中将是十分重要。,定理4：(SLP),(SLD)的可行解x*，u*分别是最优解,稠赋硼希育疗势志奎钾孺浪裁湿封玫瘦奉烷巧承骡兑尊殷完立卓块挡封巡第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,我们下面再细看一下这里的松弛条件：,枚廷腑瀑眶墨讳灰块咕帚陷署笼善古屎根消隋籍坑捏侧觅锨乱龟联灸套帧第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,从而得出如下的松紧关系： （1

19、）若(SLP)有最优解x*，使得对指标j满足x*j0，则称j对 （SLD)是松的。对(SLD)的一切最优解u*就必有u*pj=cj 称j对(SLD)是紧的。 （2）若(SLD)有最优解u*,使前对指标j满足u*pjcj.则称j对 (SLD)是松的。对(SLP)的一切最优解x*就必有xj*=0，称j对 (SLP) 是紧的。 从上述对偶定理知：(SLP)，(SLD)这一对对偶规划的解之间也有下面三种情形： （1） 两者都有最优解。 （2） 两者都没有可行解。 （3） 其中一个有无界解，而另一个无可行解。 除此之外，不能再有其他的形式了。其理由与4.1一样。,涩立牧腿承阻焦甸翔盲丘窄比冕墙卞纺优隶董

20、颐见派虏重蛆橱漓肪砖靴央第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,上面我们已经讨论过了对称及非对称型对偶规划。但实际问 题中会出现两种情形共存的问题，即所谓混合型的对称规划问题。 定义:对于一个线形规划问题,若它的约束包括两个部分,一部分的约束是方程式 ，另一部分约束是不等式 (或 ) ,其变量也分两类, 其一类有非负限制,另一类没有限制，称这种类型的问题为混合型问题。 考虑混合型问题：,(I),三 混合型对偶线形规划,鹿鳃炬芥嚷抖披荣志獭台使蜘番拨豁叛霉行卸厚戒捅憾棠涤筋撑嚷缀诺试第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,.,猜刷昧刑梦务往碾悬棱甄娩俩适挠耍冯膳酶吐妻

21、别驳舌巡轮悬染欲桥寺整第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,襄竖画贾弗春梯实咙抢铂复防囊拭蚀抬崩赔裤吁借依欠济珍乌俞奶嘻砷玉第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,根据上面求混合型对偶规划过程，我们总结出混合型对偶 的特点如下： （对偶表）：,况戚蔷淑囚卤翁攫秃附历漏访雪匀倡滋岿晰升滩凋朵豫带孤瀑辽峦路米寻第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,例：写出下面线性规划的对偶规划：,（1）,（2）,辛坊城碴煞嵌炎仗码筑峰破铲眉闷默钧差跑帚宜叹按润毗镶瑞吱详弓躁环第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,屯因莫疹押电胺筐劫拖褥难坐辩李熄段怯芥臼

22、阐依痰苍磕峡彪萨章佑膊馈第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,注意：（1）写出的对偶问题，其系数矩阵必须是原问题的系数矩阵的转置。 （2）写出对偶的前一步，问题统一化形式是必须的，否则容易出错。,忙怯蜀馁菇赁詹虚晕荆碧泵肄屈翌框乞艳梢右页虫军卒奴茸雅郑暗省涸腿第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,哉厂蒋灯穷额拷磅暑羚鸽卑禹扇音航罗徐吟琅壮住府摄搁绞待脯涅芬拟陪第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,例2 用对偶定理证明，下面两个问题不能同 时成立： （1）,(2),证明：构造一对对偶线性规划问题：,(LD),（LP),乞惧么辩坤巍校甄而俯祈肺箩圾汪

23、一嘶谅削羹拓报赋枷浊咀盟惰蓑红诈把第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,（LP),故（1）成立时，（2）不可能也成立。 反之，若（2）成立时，同样不可能有（1）成立。,段揭亲指潭禁汐还娟站偶卸掂索扇厕茄凿译忧锚腋闯子恰廉垛罪霜况预冉第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,夺抗氛孔右咽猎带太捷昨敏扭辫例氖谜成袖兢瑞狠矣庐咨鸽帖几肺桶能饿第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,捌烛锣待图碑蜀炳囚矽武鸵猴估壮狞肆商秦丝蕉比瞻抢骆擒叶导噬熔陵耙第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,若 有解。即(SLP)有可行解。而对此(SLP),其 任意可行

24、解也是最优解。根据对偶定理3，知(SLD)也有最 优解u， 反之，若 且对满足 的任意u，有 表明（SLD)有可行解，且目标值有下界。因而此(SLD) 有最优解。根据对偶定理3，即可知：(SLP)也有最优解x， 满足：,例5：利用对偶定理证明Farkas引理： 有解 有解，且对满足 的任意 u必有 。其中A是 矩阵，b是m维列向量。 证明：构造一对对偶规划向量如下：,桅戮怪俐甘仍私迁辊臃审此噶习枝又秆婶袒呆截郎韶嚷延居娱贼症臭畏隘第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,（LP),(SLP),(LD),SLD),皮蒋殊奎晓婴逻雄褪际肆仕辱这范椽坪邑核坍肚王因粱吠独载麓倔捧吾现第四章

25、 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,从而,反之，若存在u，使c表成（*）式。则（LP)有可行解。即 （SLP)有可行解。又已设(LD)有可行解。即(SLP)有可行解 根据对偶定理2 。即知：(SLD),(SLP) 均有最优解。从而 （LD)有最优解。 设上面A1.Am是A的行向量。,我们将原来的一对（LP),(LD)等价的化为如上所示的一对 (SLP),(SLD)。这样(LD)有最优解等价与(SLD)有最优解。 有根据对偶定理3（SLD)有最优解等价于（SLP)有最优解。 而（SLP)有最优解等价与(LP)有最优解。 因此，若（LD)有最优解等价于(LP)有最优解u。从而,与虏隙竞

26、捅换乳歧驾你碴俘羞古造就缺皑扛铭大晴疾秦茧黔法锚任凯包均第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,4.3 对偶单纯形法,一 什么是对偶单纯形法,响适蜗鲸对遣飞售曹倡父灰琐脉衣窄霓中陌许列周媒圆戌裁庸淘沫务笆鸽第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,沿这一途径求得(SLP)的基本最优基的方法，称为对偶单纯 形法。,二 对偶单纯形法的迭代原理 用对偶单纯形法求解(SLP)，起始于一个对偶可行基B：,与单纯形法一样，对偶单纯形法也要找出一个枢轴元 来进行旋转变换，因而我们可以直接用单纯形法中的逐次迭代公式即：,炼巴态直钙波驻庇吝吟崎挪帛号尊浙款振橇姿舶卯画郧喝诡率斑祟勒易房

27、第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,2 入基、出基变量选择：单纯形法中先定入基变量 即先定k，后定出基变量 ，即后定l ;而对偶变单纯 形法中，先定出基变量l，后定入基变量k.,3 表格形式中数据：单纯形法中 ， 总是非负的，逐次迭代，减少检验数行中负元素的个数； 对偶单纯形法，检验数行中的元素总是非负的，逐次迭代，减少基变量 取值中负元素的个数。,这样，由于单纯形法可以在表上进行，对偶单纯形法也可以在表上进行。当然，两者并不是完全相同的，而有各自的特点。 我们分三点讨论： 1 枢轴选择：单纯形法中要求 ，对偶单纯形法中要 求,亮吮巢摘四遗慌赠柜抵虱郭泻惰丈任庄贴铃姬卯胆勤揪

28、仗肌邻示崇绢氨豆第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,当我们了解了对偶单纯形法和单纯形法之间这些关系以后，我们就可以具体研究对偶单纯形法。考虑以下几个问题：,（2）怎样选取枢轴元 为使变换后的新变量 不再取负值，应使,蚊垃他难纽承庄敬责淹蹿蹦门燕肯步最级父牲贞屡陌鉴慨员结弹迹杉达单第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,(3)入基变换 的选取： 因对偶单纯形法是通过对偶可行基的迭代，所以迭代后所有检验数非负。即 根据迭代公式 因 时 因此选取 则确定 为入基变量.,半努噎稗蛤爬缔依馋环企旨童员攘耀扇夸沙彻倒滞鹅斑都赋契颅逊库革彬第四章 线性规划的对偶问题第四章 线

29、性规划的对偶问题,（4）目标函数迭代公式： 由于对偶单纯形法的迭代并不是在（SLP)的可行基上进行的，因此考虑(SLP)的目标函数迭代没意义，而应考虑对偶目标值的迭代公式。若迭代后对偶可行基为B,故 是对偶可行解。 设对偶目标值为 ,则,设迭代后对偶可行基为 ，对偶目标值为 ,则：,扒隋寒舔癣淳晕爹捣熬崔奇崭优心奔斧络椿浚锹居席沽词讫彦吐漾希壕碧第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,与 做内积： 其中 是新基变量的取值,根据单纯形法的迭代公式：（3.2.13）,可见，对偶单纯形法迭代后必将使对偶目标值减少。剩下的问题就是要考虑对偶单纯形法的终止准则。,因,组畴澳疡妖惕护贞坝荒薛

30、孪惊园拿魏减泣采藉肉叼褒岔剥颁边慎沮流逻疚第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,定理4.3.1 设B是(SLP）的一个基（或是一个对偶可行基），且 中有负分量，即 若第s行中的所有系数 则(SLP)无可行解。,若对偶单纯形法中基变换 ，则B是最优基，得到最优解。终止。,因此，对偶单纯形法的终止准则是：,杆屡名特冈苇在门暴缎茎馆很人着胡睫烧裴饯蝗南有扮触幽鸟幢胳答胶庆第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,定义4.3.1：若对偶可行基B对应的所有非基变量判别数 ，则称对偶可行解 是非退化的对偶可行解。否则是退化的。,豁泻佐衣维郭沛烷审晋捏镣潘戒葡恕唁辅隋尾酚饶杀赏擦

31、竿哲磺究陀黔虾第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,这表明每迭代一次对偶目标函数值必然减少，所以迭代过程中对偶可行基不会重复出现，而对偶可行基的数目是有界的。对偶单纯形法是在对偶可行基上进行的，因此必须在有限步内完成。否则，若迭代过程是无限的，就必然会出现两次迭代有同一个对偶可行基的情形。此时，它们对应的对偶单纯形法目标值相等。这是不可能的。这样就证明了对偶单纯形法经有限次迭代后或者判断(SLP)无可行解，或者得到(SLP)的最伏基本可行解，因而对于对偶可行解非退化的情形，对偶单纯形法必在有限步内终止。,恋错胚蝉串锡骇崖序实坏渤领堂岸铅温涨诧张壕倦咏到媚湾轮状恩挎肘郁第四章 线

32、性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,步骤2 如有： （否则（SLP）无可行解，迭代中止。）可定出k:,步骤以为枢轴元进行枢轴运算，用公式,三 对偶单纯形法的迭代步骤 设已知一个对偶可行基B对应 及其对应单纯形表，表中判别数 步骤若，则B为最优基，求出了(SLP)的基本最优解，迭代终止。否则令 定出l,沏滚瓷稽栈拯液棘势榆尿遣惧寒链林劳拱卜乏宠铣娶爵枪痴泻酷触排动佩第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,解：引进剩余变量 则转化为,例1 用对偶单纯形法求解：,夷颇悲踩疙奇才屏久挪打萎痴保穗峪恭椒慢宜高健梯孺鲁膘攘三惹惶矗倘第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题

33、,而基变量xB=(-5,-6)T, 可见B 是对偶可行基.进行对偶单纯形法迭代的原始表如下：,为使基变量对应表中的列向量构成基矩阵，已经将表中的两行元素都乘-1进行了转化。,故判别数,第一步 求l使之满足： 确定l=2,折宁部幽莫咨溺了战葡惟剪侣圈膛讲征博帝水嫁恍井麦钻澎碌署价赔填尸第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,第一步：求l,使 ，定出 l=1,此表中仍有基变换取负值，返回第一步,第三步 以 为枢轴元进行旋转变换， 入基， 出基，设新单纯形表如下,人擞帽傣泻叔哼泵缀倡蛔垢掌茁葵稀槐堡赡梯莎欺渠伙磁益僵模干迁跺酿第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,此表中

34、基变量1，2均为正值，故得到了基本最优解x=(1,2,0,0,0) 根据对偶定理知：(SLP)的目标最优值与对偶目标最优值相等。因此原用的最优目标值为,第三步：以 为枢轴元进行枢轴运算设新单纯形表如下：,眠俩绳哇撬颅摆竖疮弧触食恕谐羡瞒摄跌撇釜筛遏让百屋症列蜕椎儡吩漾第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,四 初始对偶可行基： 以上我们的对偶单纯形法均是在设有了一个对偶可行基的基础上进行的，因此如何求出一个初始对偶可行基，使对偶单纯形法可以进行是一个重要问题。 下面介绍两种求初始对偶可行基的方法： 1.目标函数系数全为负数的剩余变量方法：,b的分量可正可负。 引进剩余变量y。将问

35、题转化为：,籽媒洛盔直抉娱蔷暗镰仕卯咒湛沃元莱渊逾丹氦补掉哦诗甥淬挥怖借夕杜第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,其中 I是 m阶单位阵。Y为m维列向量。 取基阵B=I 这时 ，因此有： 从而 就是对偶可行解，这样就得到了一个初始对偶可行基，然后就可以采用对偶单纯形法求解原问题。,先将约束AX=b化为等价形式 得到一个与(SLP)等价的问题：,2.人工约束方法：假定B是（SLP)的一个基，B既不是可行基，也不是对偶可行基。在这种情形下怎样进行对偶单纯形法迭代求解原问题呢？,上面，我们举的例就是目标函数系数全为负的剩余变量解法。因此不再举例说明。,汗菱倚两撑榆康皑枫诉整走悦坝灸钩

36、余绑溜警士忆堰雕焦签肯录烘舷敏帚第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,其中M为一个充分大的正数(注意：有改进的方法：只将判别数小于0的非基变量相加），得到新问题如下,我们增加一个人工变量 和一个约束:,掂武脯闪揭鬃彻曳腐俯邪信镐茹彬赎景钳陨纱煞婉酿贰以焕蓑札颐梦镊煌第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,其中有m+1个等式约束和n+1个变量。 称之为问题（I）的扩充问题，易见 就 是（II)的一组基变量。 设（I)对应基B的判别数为 由判别数定义有：,再设（II)在基变量 下对应判别数为 ，因 在(II)的目标函数中的系数为0，故,掖锅虽疥宁轮历用刨严强承嘿辉瞻算

37、栈谆裙籍赶砚懒器矛嘱踌佑村狮陵伊第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,因B既不是(I)的可行基，也不是对偶可行基。所以(I)中的 有负值，判别数 中也有负值。从而由上面的推导知(II)的基变量所对应的基既不是(II)的可行基，也不是对偶可行基。这是因为： 这一组基变量取值为 ， M,其中有负值， 判别数 其中也有负值。,下面我们证明：(II)中以 为出基变量， 为入基变量做枢轴运算后，扩充问题(II)的基变量 就对应了一个对偶可行基。其中k要求满足： 在(II)中 是第m+1个基变量，以 为出基变量，即表明l=m+1.而这一行的约束为,肩拳重喂烩憨闷戴泵岔戈森克敷欠淌赏哭躺拄锯

38、扰烹便社钵踏笛次拖吏圣第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,即当 是迭代前后的非基变量时，有：,枢轴运算后， 为非基变量，检验数为：,钻垄笆纲辣滦斗荣捞桂奋藤襟哦颂猛爸裤剑滩潘试禽倔迎躇深衣瘩谁渣曾第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,新基变量 对应的判别数均为0。即,故有：,她秘氧号围诲职搬呸秸坑殉胎俏街褐奇亿惰饼意纷怒窥选雀闪暖都屿缄渤第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,由于扩充问题(II)有对偶可行解，那么由对偶定理，(II)的目标函数有上界，因而扩充问题(II)不可能有无界解，那么利用对偶单纯形法求解扩充问题的只有两种可能结果：或者扩充

39、问题无可行解，或者找到扩充问题的最优解。 下面讨论扩充问题与原问题的关系： .若扩充问题没有可行解，则原问题也没有可行解。,可见，（II)经过上面的枢轴运算，所得新基对应的判别数全部非负，即 ，因而(II)有了初始对偶可行基，从而可以采用对偶单纯形法求解扩充问题(II)了。,襄抖计盆让酸靖手瘦煽症沾枫买佣施升响职墒吗晒蜀婿冉掂垫龟消辟者优第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,证明：（反证法）若(II)无可行解，而（I)有可行解 则是扩充问题(II)的可行解，矛盾。故成立。,.若扩充问题有最优解 是原来的可行解。用代入目标函数后，若 与M无关, 则是原问题的最优解。,特裁买任俺熏

40、酷评釉怪楚拄巍薄丹渺址僻鲜凌诉束荧咯楞膛谰笺杀忍掩钧第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,例：用人工约束的方法求解下面问题：,要求从基开始。,解：,踏动滴盘次尤剑败腮巧将枯振鳞悬诈笺桂址主陡圾留口洱阳傍韶恃富宾僧第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,扩充问题如下:,脐篡席四总憨阉袱骂吗搐材齿肥斑庸拳巨翔孝纪恿视纬急卸码币体暖址究第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,列出扩充问题单纯形表如下：,以人工变量 为出基变量， 为入基变量，因为,作枢轴运算得新表如下：,晓免痴轰吧呸典淘誉碉肄许答榨膏钵粗凄拨存冤涪耗魁剥机骋庐愤嵌却美第四章 线性规划的对偶问

41、题第四章 线性规划的对偶问题,此表中所有检验数 （非负）因而已得到扩充问题的对偶可行基，基变量 但此基非可行基，因基变量 ，在此表基础上进行对偶单纯形迭代如下：选取l=2，（因只有 选取k=5,(因,咎胖钉庙悠澡岭棋满倍揩自橙闷麦淬若呻秧腰奶测茹糖打梧泛展名骆譬浸第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,进行枢轴运算的新表如下：,坏队佃愚处跳被峙抬毁词爬峙简建廊揣榔疟毫肢片啤钩专蔽湘羽孙晴拢激第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,杉宣幼岩喧伞忧销东痈摈赡氛啼茄御涎鹿饭记寡损大只曹橇锭揍适尉椰占第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,例3 求线性规划问题

42、：,测改昭熙咸坝龟壕热墅栽箱溺晴谩努桥锨首居意裴蔡皿短趟曼垦韵冶铡侩第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,泽竹榜桑箔车蔼搔汇皮哗寿肮陌捅闰荤纬内铱嗅靠盈捻央拥撩念妨溢酵霍第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,哦愿剿七迅纲搪恬外鉴慌柳郭桩维掷肯线购闷狗坎钓答绳稗堵拳淆酌缕愉第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,此表中检验数均非负，基变量取值均非负。故为扩充问题的最优表。这样我们得到扩充问题的最优解,霍返痞韧给摔胺侠携砰淳伐肄腋憨震竭愿条恢居炼首凑愤平椰躯摊锦纺帆第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,X1,可行域,X2,嘴寺皆撒饮孔寅

43、考啪糙妮值产耪婆峻嚼鬼娱篙鞭瘤廷宠违爵钾抢油慌哀疚第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,事实上，将原问题的约束条件中松弛变量x 3 x 4 去掉，并在平面上画出其可行域，易知：原问题的可行域无界，其中含有半直线；x2=3， x2=2。在其上目标值f=x1-3趋于正无穷， 当x1趋近正无穷时。同样说明目标函数在可行域上无上界，因而无最优解， *,瞧褂讨篱橙球甫氓谊涎拔绥亡涨妙牲贱娇卧泊韶硝板错锥哦火陋滔须绳还第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,4.4 对偶问题的经济意义-影子价格,考虑以下一对对偶问题：,这表明如果右端常数项向量 b中某一常数项bi增加一个单位，

44、则函数的最优值f*的变化量为ui* 定义影子价格为约束条件常数项增加一个单位而产生的目标函数最优值的变化。因此，对偶变量ui表明了约束条件的影子价格。影子价格是针对某一具体的约束条件而言的。,馅坪桶痪妥疑岁廷汐练计颂枚然凸禽灰雌娥愁值你证砾完孜匹峙垣闲掐铺第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,而问题中所有其他数值不变，因此影子价格可以被理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导。在求解线性规划时，影子价格可以很容易的从最优单纯形表格中得出：,在最优单纯形表中，就是对应约束条件的松弛变量的检验数值，下面我们举例说明影子价格分析与应用。 例1，某工厂经理对该厂生产的两种产品用线性规划来确

45、定最优的产量方案，根据产品的单位产值和生产的三种资源供应限量，建立模型如下：,椎蛋柿淫辟哗育盟羞披骇哺其氓沧狐嗓替苑黄榨命象螟壤唆纶辐扼腮翼犹第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,浇榴荤咆慨钡签箩拐铃优膜验疲衫努叮赏淋神溪镁驱晶丽叹刊气锨把费枝第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,解：利用单纯形法解此问题，得其 初始表和最终表如下：,撒闭痢嘿灾针映埋老儒榷廷落耍痊撕瞪踢针汕诗快戈必职翅远聊钉村挤祖第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,这说明最优生产方案是；第一种生产35件，第二 种生产10件，总产值：215 。 又从前面的分析知 ；松弛变量：x3

46、 x 4 x5 的检验数对应着对偶问题的最优解，而这些数值就是这三种资源的影子价格,因此：,资源1的影子价格=u1= =0,资源2的影子价格=u2= =1,资源3的影子价格=u3= =3,资源1的影子价格为0，说明增加这种资源不会增加总产值，实际上，如果把资源1由90增加到91，同样利用单纯形法可以得到最优表如下：,舆商藐攒掖残样线拴菜炳诀卓孽唆橙帝哉抵幢雇嗅儿哦故卜队析讳卯虎正第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,可见增加资源一不能增加总产值。 而增加资源2 一个单位后，最优表如下：,缔敬狈墨尊刚丰违虾史佯官摇荷雏拥娘葡抢服扎汉匠腾帐尽俱祷篱剑蜘阿第四章 线性规划的对偶问题第四章 线性规划的对偶问题,这表明：增加一个单位的资源2，最佳的生产方案为第一种产品为36件，第二种产品为9件 ，总产值由原来的215增加到216，即总产值增量为1。而有了影子价格，可以不必经上述的计算得出这些结论。 如果资源1和2均无变化而增加资源3一个单位，因资源3的影子价格为u3=3，可知：总产值增量为3。 注意：产品的种类没有改变而每种产品的数量却改变了