瞬时变化率与导数.ppt

1、瞬时速度与导数,郭 金 梅,教学目标：,1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的 思想及其内涵； 3会求函数在某点的导数,瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念,教学重点：,教学难点：,在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点。,复习回顾,1.函数的平均变化率,2.函数平均变化率的几何意义,过曲线 上的点 割线的斜率。,导数与微分,导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,英国数学家 Newton,描述物质运动的工具(从微观上

2、研究函数),牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .,数学史话,莱布尼兹(1646 1716),德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人 ,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿 .,他还设计了作乘法的计算机 ,系统地阐述二进制计,数法 ,并把它与中国的八卦联系起来 .

3、,2) 既然不能描述运动员的运动状态,那我们应该用什么来描述呢?,1) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,思考?,3) 如何求运动员的瞬时速度?,先引入一个变量t，计算从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,如我们要计算2秒时的瞬时速度,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当t趋近于0

4、时,平均速度有什么变化趋势?,当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个确定的值 13.1.,表示“当t =2, t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值 13.1”.,2s时刻 的瞬时速度,思考1：运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?,t0时刻 的瞬时速度,思考2：函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?,定义:,或 , 即,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,注意,如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可

5、导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数f (x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作,思考：求函数y=f(x) 在点 x0处导数的方法是什么？,(1)求函数改变量 y = f（x0 + x）f（x0）,(2)求平均变化率,(3)求极限,例 1：求函数 在 处的导数,变式1：求函数 在 处的导数,变式2：求函数 的导函数,例 1：求函数 在 处的导数,例2.火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火

6、箭向上的速度为0,解：火箭的运动方程为,设t0时刻向上速度变为0，平均变化率为,当 时,熄火后10.2s火箭向上的速度为0,当 时,小结：,1求物体运动的瞬时速度： (1)求位移增量s=s(t+t)-s(t) (2)求平均速度 (3)求极限,2由导数的定义可得求导数的一般步骤： (1)求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2)求平均变化率 (3)求极限,1求物体运动的瞬时速度： (1)求位移增量s=s(t+t)-s(t) (2)求平均速度 (3)求极限,2由导数的定义可得求导数的一般步骤： (1)求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2)求平均变化率 (3)求极限,2由导数的定义可得求导数的一般步骤： (1)求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2)求平均变化率 (3)求极限,作业：,10页A组：1 B组：2,巩固练习,3. 物体作自由落体运动,运动方程为： ,其