2020高中数学 第二章 圆锥曲线 椭圆第一课时教案 北师大版选修1-1（通用）

1、椭圆及其标准方程教学目标：(1)了解二次曲线的实际背景，感受二次曲线在描述现实世界和解决实际问题中的作用。(2)通过从具体情况中提取椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程和简单几何性质。(3)通过对椭圆和方程的研究，我们可以进一步理解数形结合的思想。教学重点：椭圆的标准方程；坐标法的基本思想。教学难点：椭圆标准方程的推导和简化；坐标法的应用。教学任务分析：(1)学生现有的知识结构学生学习了圆，理解了圆的定义，并根据圆的特点，经历了建立合适的坐标系和寻找圆的标准方程的过程。(2)建立新的知识结构与圆比较，找出椭圆上点所满足的条件，建立合适的坐标系，并求出椭圆的标准方程。回忆圆的定义，并与现有知

2、识联系起来总结和分配基本教学过程：通过绘图，提出了问题，介绍了椭圆的定义根据该条件，确定了椭圆的标准方程教学过程：问题设计意图师生活动评论1.复习圆的定义，让学生用准备好的工具画圆。学生开始画圆，结合图形，再现思维轨迹，为学习椭圆铺平道路。1.学生实验并说出圆的定义；画圆时，绳子的一端固定在纸板上，另一端系在钢笔上。学生可以再次体验笔尖到定点的距离不变的场景。2.把圆心分成两个，把绳子的两端固定在这两个固定点上，用笔钩住绳子，会画出什么样的曲线？提出新问题，激发学生的好奇心和学习兴趣。1.老师和学生一起画画，得到一个压扁的“圆”椭圆；2.教师演示课件：拱桥、橄榄球、天体运动轨迹等。让学生欣赏数

3、学之美，认识到数学与生活息息相关。3.在运动中，椭圆上的点满足什么几何条件？4.我们应该如何描述移动点m所满足的几何条件？1.找出曲线上各点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一。2.让学生体验类比思维，安排实验，抽象成数学问题。1.引导学生分析实验，找出两个确定的量定点和绳长，以及变量笔尖(即椭圆上的点)。2.再次演示画椭圆的过程，引导学生发现规律：椭圆上点到两个固定点的距离之和总是等于绳子的长度。在这里，我们应该给学生充分思考和讨论的机会，引导他们说出自己的发现，并逐步修正椭圆的定义。5.将两个学生画的椭圆投影到大屏幕上，然后问一个问题：当绳子长度相同时，为什么椭圆画得又圆又平？使学生认

4、识到椭圆的形状受两个固定点之间的距离的影响。1.老师：改变两个固定点之间的距离，画一个椭圆，观察图形。你发现了什么？学生：距离越近，椭圆越圆，距离越远，椭圆越平。6.如果你只改变绳子的长度而不改变距离，会发生什么让学生认识到椭圆的形状也受绳子长度的影响。老师：如果固定点的位置不变，只是绳子的长度变了，椭圆会怎么样？学生：绳子越短，椭圆越平，绳子越长，椭圆越圆。老师：让|=2C，| |=2a，如何用a和C来描述椭圆的扁率.学生：椭圆越小越圆，越大越平。7.椭圆与两个固定点的位置和固定线段的长度有关。给定线段的长度和两个固定点的位置，可以做一个椭圆吗？加深对概念的理解教师和学生一起讨论并演示课件，

5、展示2a2c，2a=2c和2a2c的轨迹。学生：当2a2c时，轨迹是椭圆形的。当2a=椭圆的明确定义：平面上两个固定点的距离等于常数2a(2a大于| |)的点的轨迹称为椭圆。这两个固定点称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距。8.事实上，椭圆在建筑、电子甚至航空航天中有着广泛的应用，因此有必要进一步探索它的性质和研究它的方程。解曲线方程的步骤是什么？如何建立合适的坐标系并求出椭圆方程？温故知新，有助于学生认识到合适的坐标系有利于简化，也使所得方程更简单。学生回答解曲线方程的步骤，教师指导学生讨论如何建立坐标系。通过分析曲线的特征对称性，得出以线段中点为原点，垂直平分线为Y轴建立直角坐

6、标系的结论。事实上，椭圆的美主要体现在均匀性和对称性上，应该充分引导学生讨论和发现这一点。系统的建立已经完成。假设M(x，y)是椭圆上的任意点，椭圆的焦距是2c(c0)，那么焦点的坐标是(-c，0)，(c，0)，并且假设点M和之间的距离之和等于常数2a(2a|)。根据定义，椭圆是P=M| |=2a的集合。|=，|=，=2a。你能同时把上面等式的两边都平方吗？我们应该如何处理两个根数的位置，哪个更有利于简化？在学生理解彻底简化的条件下，他们寻求解决具体问题的思路。请3-4名学生简化等式，老师在教室里走来走去观察学生的简化情况。组织学生对板的性能进行评估，让学生明确如果上述方程直接平方，简化过程复

7、杂，每项的频率很高；如果方程的两边都有两个根，平方后可以去掉X2、Y2和C2项，这简化了计算并强调了方法的选择。通过投影，简化过程呈现给学生。老师：让|=2c，| |=2a，观察图表能否找出a和c所代表的线段及其关系。结合图形，给出a和c的具体几何意义。学生：可以看出A和C是底边和底边一半的等腰三角形的腰。老师：让a2-c2=b2，那么方程可以简化为b2x2 a2y2=a2b2，两边可以同时被a2b2除。这是聚焦在x轴上的椭圆的标准方程。这里甲和乙是什么关系？学生：ab0。通过类比，让学生写出椭圆的标准方程，并根据方程来区分椭圆的焦点是在X轴上还是在Y轴上。教师用终结性语言引导学生重新理解椭圆方程；椭圆标准方程的形式：左边是两个分数的平方和，分母是正数，右边是1。椭圆的三个参数a.b.c满足。焦点是椭圆标准方程中系数小的轴。1教材中的例子1。补充练习2:椭圆方程被称为(1)a=b=c(2)焦点在轴上，其焦点坐标为，焦距为。(3)如果CD是穿过左焦点F1的和弦，则CF1F2的周长为0，而F2CD的周长为0。椭圆标准方程的应用。两个学生将玩例子1，补充练习将由学生回答。老师：如果椭圆方程变成=1，那么上面的问题(1)、(2)和(3)会发生什么变化？学生：(答案省略)摘要：(1)知识：概述椭圆的定义；讨论了椭圆的扁率。研