二维随机变量及其联合分布函数

1、二维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量 两个常用的二维连续型分布 小 结,5 二维随机变量及其联合分布函数,一、二维随机变量及其分布函数,定义1 设在试验E的样本空间=w上定义了两 个随机变量X、Y,称向量(X,Y)为二维随机 变量或二维随机向量.,实例1 炮弹的弹着点的位置 (X,Y) 就是一个二维随机变量.,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量(H,W).,说明,因此,不能试图通过单独研究随机变量X,Y 而来

2、了解二维随机变量(X,Y),必须将(X,Y)作 为一个整体来研究.,类似于一维随机变量,我们也可利用“分布 函数”来研究二维随机变量(X,Y),并且分别就离 散型与连续型来加以分析.,注 意,定义2 设(X,Y)为二维随机变量,称二元函数,分布函数 在点 处的函数值就是事件 “随机点(X,Y)落在以点 为右上顶点的角形区 域”的概率.,定义域为全平面,为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随机变量X和Y的分布函数或联合分布函数。,分布函数具有下列基本性质: （1）,且对于任意固定的y，,对于任意固定的x，,即,（2）,是关于x或y是单调不减的；,即对固定的y，,对固定的x，,（3）,是关于x

3、或y均是右连续，,即,（4）,对于任意,有,随机向量落在矩形区域的概率,事实上,故,二、二维离散型随机变量 1、概念,定义3 如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值为有 限个或可列无限个点,则称(X,Y)为二维离散 型随机变量。,2、二维离散型随机变量的分布律,定义4 设离散型二维随机变量(X,Y)的所有可能取 值点为,称为离散型二维随机变量(X,Y)的概率分布 分布律（分布列）或随机变量X和Y的联合 分布律。,分布律满足:,分布律可用表格表示:,X,Y,概率的非负性,概率的规范性,已知离散型二维随机变量(X,Y)的概率分布,则其分布函数为,例1 设袋中有a+b个球，其中a个红球，b只白球.

4、今从中任取一球，观察其颜色后将球放回袋 中，并加入与所取求相同颜色的球c只，然后 再从袋中任取一球，设,求二维随机变量(X,Y)的分布律.,解：X的可能取值为0，1；Y的可能取值为0，1， 利用乘法公式有：,用表格表示即为：,二维离散型随机变量的分布列形象化解释,设想将一单位质量的物质分配在（X，Y）所 有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概 率值。,这样一来，随机变量取值落在某个平面区域 G上的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。,三、二维连续型随机变量,1、概念,定义5 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为,如果存在非负函数,，使得对任意的X，,Y均有,则称(X,Y)为连续型二维随机

5、变量，其中称为二维随机变量(X,Y)的概率密度或随机变量X和Y的联合概率密度。,2、概率密度及其性质,设G为平面xoy上的一个区域,则随机点 (X,Y) 落在G内的概率为:,曲顶柱体体积,确定待定参数, 若 在点 处连续,则有,由分布函数求概率密度,由概率密度求分布函数,说 明,（1）几何上，,表示空间一个曲面.,（2） 表示介于 p(x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,（3）,的值等于以G为底，以曲面,为顶面的曲边柱体的体积.,例3 设r.v.(X,Y)的概率密度为,解:由概率密度性质得,(1) 因为,所以,（1）求C值；（2）分布函数,（3）求概率,故,(2)由概率

6、密度求分布函数.,解题思路,画出联合概率密度的 非零区域;, 点(x,y)在全平面范围 内取值;, 综合上述两点得出就 (x,y)的分段情形.,本例中分布函数应分为两段来计算:就x0,y0 与“其它”。,利用重积分对积分区域的可加性,只保留非零积分,(3)求概率PYX.,只需在概率密度f的非零 区域与事件区域 G=(x,y)|yx 的交集D上积分.,由公式,得:,本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计 算的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零 区域与所求概率的事件区域G来处理这类问题。,解,练习题,1、均匀分布,设 D 是平面上的有界区域,其面积为 A,若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度,则称( X , Y )在 D 上服从 均匀分布.记为(X,Y)U(G),四、两个常用的二维连续型分布,设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为,2、二维正态分布,其中 均