人教大纲版高考数学题库考点29导数的应用

1、 考点 29 导数的应用 考点 29 导数的应用 1.（2010全国高考卷文科7）若曲线 2 yxaxb 在点(0, ) b 处的切线方程是10 xy ， 则（ ） （A）1,1ab (B)1,1ab (C) 1,1ab (D)1,1ab 【命题立意】本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程知识. 【思路点拨】由题意知，曲线 2 yxaxb在点(0, )b处的切线的斜率为 1，根据导数的几何意义得 y 在 x=0 处的导数为 1，再把（0，b）代入切线方程可以解出 a ，b 的值. 【规范解答】 选 A.2yxa , 在点(0, )b处的切线方程是10 xy ， 斜率为 1，所以1,010,a

2、b 所以1b . 2.（2010全国高考卷理科10）若曲线 1 2 yx 在点 1 2 , a a 处的切线与两个坐标轴围成的三角形 的面积为 18，则a （ ） （A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，考查考生的运算求解能力 【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标轴围成的三角形的面积. 【规范解答】选 A., 2 1 2 3 xy所以曲线 1 2 yx 在点 1 2 , a a 处的切线为 ,3x0, 2 3 0),( 2 1 y 2 1 2 3 2 1 ayayxaxaa 得，由得由,3x0, 2 3 0),

3、( 2 1 y 2 1 2 3 2 1 ayayxaxaa 得，由得由 所以，.64,183 2 3 2 1 2 1 aaa解得 .64,183 2 3 2 1 2 1 aaa解得 【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1） “在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导， 代入点的横坐标得到斜率.（2） “过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，再 求切点坐标. 3.（2010江西高考文科1）设函数 32 ( )63(2)2f xxaxax. （1）若( )f x的两个极值点为 12 ,x x，且 12 1x x ，求实数a的值； （2） 是否存在实数a，使得( )f

4、 x是(,) 上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明理由. 【命题立意】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算能力及用函数 思想分析解决问题的能力. 【思路点拨】 （1）先求导数，再借助于韦达定理建立方程求字母的值；（2）先求导数，再判断 导函数在(,) 上符号是否恒定. 【规范解答】 2 ( )186(2)2fxxaxa. （1）由已知有 12 ()()0fxfx，从而 12 2 1 18 a x x ，所以9a ； （2）由 22 36(2)4 18 236(4)0aaa ， 所以不存在实数a，使得( )f x是(,) 上的单调函数. 4.（2010

5、江西高考理科）设函数( )lnln(2)(0)f xxxax a （1）当1a 时，求( )f x的单调区间； （2）若( )f x在0,1上的最大值为 1 2 ，求a的值 【命题立意】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与最值等基础知识，考查运算能力 及用函数思想分析解决问题的能力. 【思路点拨】 （1）确定定义域，再求函数的导数，利用导数正负求函数的单调区间；（2）先求导，判断 其正负，找最值，最后求字母的值 【规范解答】函数)(xf的定义域为（0，2） ， 11 ( )9 2 fx xx a. （1）当1a时，, )2( 2 )( 2 xx x xf 所以)(xf的单调递增区

6、间为（0，2） ，单调递减区间为（2， 2） ； （2）当1 , 0 x时，a xx x xf )2( 22 )( 0,即)(xf在1 , 0上单调递增，故)(xf在1 , 0上的最大值 为,) 1 (af因此 2 1 a 5. （ 2010 重 庆 高 考 文 科 19 ） 已 知 函 数 32 ( )f xaxxbx （ 其 中 常 数, a b R ） ， ( )( )( )g xf xfx是奇函数. （1）求( )f x的表达式； （2）讨论( )g x的单调性，并求( )g x在区间1,2上的最大值与最小值. 【命题立意】本小题考查函数、奇函数的基础知识，考查函数的导数的基础知识，考

7、查函数的单调性的判 断方法，最值的求法，考查运算求解的能力，考查函数、方程的思想 【思路点拨】 （1）先求出导函数，再求出( )g x,利用奇函数的定义求出待定系数, a b； （2）利用导数的正负来判断函数的单调性，并根据单调性求函数的最值. 【规范解答】 （1）因为 32 ( )f xaxxbx，所以 2 ( )32fxaxxb， 所以( )( )( )g xf xfx 3222 32axxbxa xxb 3222 32axxbxa xxb 32 (31)(2)axaxbxb ， 因 为( )g x是 奇 函 数 ， 所 以()( )gxg x ， 即 对 任 意x都 有 3232 (31

8、)(2)(31)(2)axaxbxbaxaxbxb ， 即 2 2(31)20axb对任意x都成立，所以31=0a且20b ，所以 1 3 a ,0b , 所以 32 1 ( ) 3 f xxx . （2）由（1）可得 3 1 ( )2 3 g xxx ，所以 2 ( )2(2)(2)g xxxx ,令0( )g x，则 2x 或2x ；所以当2x 时，( )0g x，函数( )g x是减函数； 当22x时，( )0g x，函数( )g x是增函数；当2x 时，( )0g x，函数( )g x是减函数； 综上可知，函数( )g x在区间(,2) 和( 2,)上是减函数，在区间(2,2)上是增函

9、数.函数 ( )g x在区间1，2内有极值点2x ，所以函数( )g x的最大值与最小值只能在1,2,2x 三点处取得， 因为 54 24 (1), ( 2), (2) 333 ggg，所以函数( )g x在区间1,2上的最大值是 4 2 3 ，最小值是 4 3 . 6.（2010重庆高考理科8）已知函数 1 ln1 , x f xx xa 其中实数1a . （1）若2a 2，求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程； （2）若 f x在 x=1 处取得极值，试讨论 f x的单调性. 【命题立意】本题考查曲线的切线方程的求法，考查用函数的导数求极值的方法，判断函数的单调性的方 法，考查分类讨

10、论的思想方法. 【思路点拨】 （1）先由函数的导数求出切线的斜率，再由点斜式求切线方程；（2）由函数的极值求法求 出a的值，再根据导数的正负讨论函数的单调性. 【规范解答】因为 1 ln1 , x f xx xa 所以 2 (1)1 ()1 xax fx xax 2 11 ()1 a xax ； （1）当2a 时， 2 2 117 (0) (02)0 14 f ，又因为 1 (0) 2 f ，所以曲线( )yf x在点(0,(0)f 处的切线方程是 17 ()(0) 24 yx ，即7420 xy； （2）因为1a ，所以 2 1111 (1) (1)1 112 a f aa ，又因为( )f

11、 x在1x 处取得极值，所以 (1)0 f ，即 11 0 12a ，解得3a ，所以 1 ( )ln(1) 3 x f xx x ，其定义域是( 1,3)(3,)， 且 22 3 11(1)(7) ( ) (3)1(3) (1) xx fx xxxx ， 令( )0fx，则 1 1x ， 2 7x ， 所以当11x 或7x 时，( )0fx；当17x，且3x 时，( )0fx； 所以由以上讨论可知，函数( )f x 在区间 ,( 1,17,)上是增函数；在区间(1,3)，(3,7)上是减函数. 【方法技巧】本小题采用先总后分的解答格式，即先求出导函数，再分别求解两问. 7.（2010全国高考

12、卷文科21） 已知函数 f（x）=x 3 -3ax 2 +3x+1. （）设 a=2，求 f（x）的单调区间； （）设 f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围. 【命题立意】本题考查了函数的单调性、极值等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形 结合思想、化归与转化思想. 【思路点拨】第一问代入 a=2，对 f（x）求导，由的递减区间。得递增区间，0)(0)(xfxf得递减区间. 第二问可利用数形结合方法转化为上有根解决。，在（) 320)(f x .注意根据单调性对 a 分类讨论. 【规范解答】 （）当2a 时， 32 ( )631f xxxx ， 22 312

13、33(41)( )3(23)(23)fxxxxxxx. 当 x单调递增，在时)32 ,()(, 0)(,)32 ,(xfxf 当 x单调递减，在）时，)32 , 32()(, 0)(,3232(xfxf 当 x单调递增，在时，)32()(, 0)(,)32(xfxf 综上，f（x）的单调增区间是），），（3232 ,，f（x）的单调减区间是），（323-2 . 因此 a 的取值范围是). 3 5 , 4 5 ( 8.（2010全国高考卷理科22）设函数 1 x f xe （）证明：当x-1时， 1 x f x x ； （）设当0 x 时， 1 x f x ax ，求a的取值范围 【命题立意】本

14、题考查了函数的单调性、极值等知识，结合不等式考查推理论证能力、运算求解能力， 考查分类讨论思想、化归与转化思想 【思路点拨】 （）可以构造函数，利用导数求单调性，求当x-1时的最值证明不等式成立 （）可结合（）的结论和方法证明，要注意对 a 分类讨论. 【规范解答】 （）当1x时， 1 )( x x xf当且仅当x x 1e 令1)(xexg x ， 则 . 1 )( x exg 当0 x时， )(, 0)(xgxg 是增函数； 当0 x时，)(, 0)(xgxg是减函数； 于是 g(x)在 x=0 处达到最小值，因而当Rx时，)0()(gxg即.1xe x 所以当 x-1 时，. 1 )(

15、x x xf （）由题设0 x ，此时0)(xf 当 a 2 1 时，由知 x)(xf， )()12()()()()()()()()(xfaxaxfxafxaxfxafxfaxxaxfxafxh， 当 a a x 12 0 时，h(x)0，所以 h(x)h(0)=0，即. 1 )( ax x xf 综上，a 的取值范围是0, 2 1 . 9.（2010湖北高考文科21）设函数 32 1 bc 32 a f xxxx（ ）=，其中a0，曲线yf x （ ）在点 (0,(0)Pf处的切线方程为y=1. （）确定 b，c 的值. （）设曲线yf x （ ）在点（ 11 xf x，（ ）及（ 22 x

16、f x，（ ）处的切线都过点（0,2） ，证明：当 12 xx时， 12 ()()fxfx. （）若过点（0,2）可作曲线yf x （ ）的三条不同切线，求a的取值范围. 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、极值、反证法等，同时考查考生综合应用数 学知识进行推理论证的能力 【思路点拨】 （）利用导数的几何意义和切点的双重性即可求出b，c的值. （）用反证法进行论证. （） 利用切点的双重性将过点（0,2） 可作曲线yf x （ ）的三条不同切线转化为方程有三个不同的实根， 然后利用函数的单调性、极值加以解决. 【规范解答】 （）由题意得：(0)fc， 2 ( )fxxaxb，

17、由切点(0,(0)Pf既在曲线 32 1 bc 32 a f xxxx（ ）=上又在切线y=1 上知 (0)0 (0)1 f f 故0,1bc. ， ， （）由 2 ( )fxxaxb，则曲线yf x （ ）在( ,( )t f t处的切线方程为:( )( )()yf tf txt,由点 （0,2）在切线上，故2( )( )()f tf tt， 化简得: 32 2 10 32 a tt .下面用反证法证明结论. 假设 12 ()()fxfx，因曲线yf x （ ）在点（ 11 xf x，（ ）及（ 22 xf x，（ ）处的切线都过点（0,2） ， 则 32 11 32 22 22 1122

18、2 10(1) 32 2 10(2) 32 (3) a xx a xx xaxxax ， 由 （ 3 ） 得 12 xxa， 由 （ 1 ） - （ 2 ） 得 222 1122 3 (4) 4 xx xxa, 由 （ 4 ） 得 22 1212 3 () 4 xxx xa， 从 而 2 12 1 4 x xa， 所 以 22 121212 ()()4xxxxx x=0，即 12 xx.与题设 12 xx矛盾，所以假设错误，从而 12 ()()fxfx. （）由（）知过点（0,2）可作曲线yf x （ ）的三条不同切线，等价于方程 32 2 10 32 a tt 有三个 不同的实根.设 32

19、2 ( )1 32 a g ttt，则 2 ( )2g ttat2 () 2 a t t.由a0 知t的值变化时( )g t， ( )g t的变化情况如下表： t (,0) 0 (0,) 2 a 2 a (,) 2 a ( )g t +0-0+ ( )g t 增极大值 1减 极小值 3 1 24 a 增 由( )g t的单调性知：要使( )0g t 有三个不同的实根，当且仅当 3 1 24 a 0， 即 3 2 3a ，所以a的取值范围是 3 (2 3,). 【方法技巧】1、可导函数求“在”某点的切线时，切线的斜率就是函数在该点处导数的值；求“过”某 点的切线时，该点不一定是切点，此时可设切点

20、为 P 00 (,)p xy，利用函数在 P 00 (,)p xy点处导数的值及已知点 可得到过已知点切点为 P 00 (,)p xy的切线方程，由切点既在切线上又在曲线上（简称：切点的双重性） 则可 求出 P 00 (,)p xy点坐标，从而求出“过”某点的切线. 2、 过点( , )m n可作曲线yf x （ ）的几条不同切线 （设切点为( ,( )t f t） 等价于方程( )( )()f tnf t tm 有几个不同的实根. 3、已知方程( )( )()f tnf t tm有几个不同的实根求参数的范围问题可转化为曲线 ( )( )()yf tf t tmn与x轴有几个不同的交点问题，然

21、后利用函数的单调性和极值进行解答。 10.（2010湖北高考理科21）已知函数 f(x)= b axc x (a0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方 程为1yx. ()用a表示出 b,c; ()若 f(x)ln x在1,+)上恒成立，求a的取值范围； ()证明：1+ 1 2 + 1 3 + 1 n (n+1)+ 21 n n (n1). 【命题立意】本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查考生综合运用数学知识进行 推理论证的能力和分类讨论的思想 【思路点拨】()利用导数的几何意义和切点的双重性找出a，b，c的关系. () f(x)ln x在1,+)上恒成立( )( )lng

22、 xf xx0 在1,+)上恒成立 min ( )0g x0. ()利用()的结论得 1 2 a 时 11 ( )()ln 2 f xxx x lnx，令 1k x k ，采用累加的办法即可证（或利用数 学归纳法加以证明）. 【规范解答】() 2 ( ) b fxa x ，由题意有: 解得： 1 1 2 ba ca , . ()由()知： f(x)= 1 1 2 a axa x ，令( )( )lng xf xx= 1 1 2 a axa x ln x , 1,)x，则(1)0g， 2 11 ( ) a g xa xx 2 1 (1)() a a xx a x ， （） 当 1 0 2 a时，

23、 1 a a .若 1 1 a x a ，则( )0g x，( )g x为减函数，所以( )(1)0g xg， 即( )lnf xx，从而( )lnf xx在1 ，+ )上不恒成立.（）当 1 2 a 时， 1 a a 1，若 1x ， 则( )0g x，( )g x是 增 函 数 ， 所 以( )(1)0g xg， 即( )lnf xx， 故 当1x 时 ， ( )lnf xx. 综上所述，所求a的取值范围为 1 2 ，+ ). ()方法一：由()知：当 1 2 a 时( )lnf xx(1)x ，令 1 2 a ，有 11 ( )()ln 2 f xxx x (1)x ， 且当1x 时，

24、11 ()ln 2 xx x ，令 1k x k ，则有，即： k+11 k+1k1 11 ln()=(+) k2kk+12 kk+1 - 1 11 ln(1)ln() 21 kk kk ，1,2,3,kn.将上述n个不等式相加得 11111 ln(1)() 2232(1) n nn ，整理得： 111 1ln(1) 232(1) n n nn . 方法二：用数学归纳法证明如下： （1）当1n 时，左边1，右边=ln2+ 1 ln21 4 ，不等式成立. （2）假设nk时，不等式成立，就是： 111 1ln(1) 232(1) k k kk ，那么当1nk时, 11111 1ln(1) 231

25、2(1)1 k k kkkk = 2 ln(1) 2(1) k k k .由()知：当 1 2 a 时( )lnf xx(1)x ，令 1 2 a ，有 11 ( )()ln 2 f xxx x (1)x ，令 2 1 k x k ，得 121 () 212 kk kk 2 ln 1 k k =ln(2)ln(1)kk， 2 ln(1) 2(1) k k k 1 ln(2) 2(2) k k k ， 11111 1ln(2) 2312(2) k k kkk ，即当1nk时，不等式成立. 根据（1）和（2）可知不等式对任何nN 都成立. 【方法技巧】1、可导函数求“在”某点的切线时，切线的斜率就

26、是函数在该点处导数的值；求“过”某 点的切线时，该点不一定是切点，此时可设切点为 P 00 (,)p xy，利用函数在 P 00 (,)p xy点处导数的值及已知点 可得到过已知点切点为 P 00 (,)p xy的切线方程，由切点既在切线上又在曲线上（简称：切点的双重性） 则可 求出 P 00 (,)p xy点坐标，从而求出求“过”某点的切线. 2、不等式在某区间恒成立或有解问题，一般都可通过构造函数转化为求相应函数的最值问题. 3、证明较复杂的与正整数n有关的不等式问题，通常也可通过构造函数，利用函数的单调性和极值（最 值） ，转化为求相应函数的最值大于（小于）零的问题. 11.（2010四

27、川高考文科22）设 1 ( ) 1 x x a f x a （0a 且1a ） ，( )g x是( )f x的反函数. （I）求( )g x； （II）当2 6x,时，恒有 2 log (1)(7) a t g x xx ( )成立，求t的取值范围； （III）当 1 2 0a时，试比较(1)(2).( )fff n 与4n的大小，并说明理由. 【命题立意】本题考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合、构造函 数等数学思想，以及推理论证，分析与解决问题的能力. 【思路点拨】 （I）先求原函数的值域，即反函数的定义域，再反解x. （II）根据对数函数的性质，首先去掉对

28、数的底数，因a与1的大小不定，故需要分1a ， 01a进行讨论. 1a 时，可得 2 0(1) (7)txx ，2 6x,恒成立；01a时， 可得 2 (1) (7)0txx，2 6x,恒成立. 若令 232 ( )(1) (7)9157,2,6h xxxxxxx ，便可利用导数求函数在闭区间上的最值.求 出t的取值范围. （III）比较(1)(2).( )fff n 与4n的大小，首先建立(1)(2).( )fff n和n的关系，但 1 ( ) 1 n n a f n a 很难建立关系，故需要转换，考虑到 1 0 2 a，即 1 2 a ，故可以设 1 1(1)p p a ，则 1 1 1(

29、1)12 ( )1 1(1)1(1)1 1 1 n nn nnnn apa f n app a ， 便可根据题目的目标和二项式定理进行放缩了. 【规范解答】 （I）由题意，得 1 0 1 x y a y ，则1y 或1y ， 故 1 ( )log,(, 1)(1,) 1 a x g xx x . （II） 2 1 ( )loglog 1(1)(7) aa xt g x xxx ， 当1a 时， 2 1 0 1(1)(7) xt xxx ， 又2 6x,， 2 0(1) (7)txx ， 令 232 ( )(1) (7)9157,2,6h xxxxxxx ， 2 ( )318153(1)(5)h

30、 xxxxx ， 列表如下 x2 (2,5) 5 (5,6) 6 ( )h x 0 ( )h x 5极大值3225 由表可知( )5h x 最小值 ，05t . 当01a， 2 1 0 1(1)(7) xt xxx ， 又2 6x,， 2 (1) (7)0txx， 由知 2 ( )(1) (7)2,6h xxxx，的最大值为32， 32t . 综上，当1a 时，05t ；当01a时，32t . （III）设 1 1 a p ，则1p ， 当1n 时， 2 (1)135f p . 当2n 时，设2,kkN ， 则 (1)12 ( )1 (1)1(1)1 k kk p f k pp 122 2 1

31、 . kk kkk C pC pC p ， 12 2444 1( )111 (1)1 kk f k CCk kkk ， 从而 44 (2)(3).( )11 21 fff nnn n . (1)(2).( )(1)14fff nfnn ， 综上(1)(2).( )4fff nn. 12.(2010四川高考理科22）设 1 ( ) 1 x x a f x a （0a 且1a ） ，( )g x是( )f x的反函数. （）设关于x的方程 2 log (1)(7) a t g x xx ( )在区间2 6 ,上有实数解，求t的取值范围； （）当ae（e为自然对数的底数）时，证明： 2 2 2 21

32、 n k nn g(k ) n(n) ； （）当 1 2 0a时，试比较 1 ( ) n k f kn 与4的大小，并说明理由. 【命题立意】本题主要考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查转化和化归思 想、函数与方程思想解决不等式问题，分类整合等数学思想方法、以及推理论证、分析与解决问题的能力. 【思路点拨】 （I）首先由反函数概念求出( )g x的解析式，然后化简整理方程可得 2 (1) (7)txx在区间2 6 ,上有实数解，即直线yt和曲线 2 (1) (7)yxx在区间2 6 ,上有公共 点，转为为求一元三次函数 2 (1) (7)yxx在2 6 ,上的最值问题，三次函数常用导数求解. （II）先求出 2 (1) ( )ln 2 n k n n g k ，不等式即为 2 (1)2 ln 22 (1) n nnn n n 2 (1)2 ln 22 (1) n nnn n n ， 即 2 (1)2 ln0 22 (1) n nnn n n 0，也即 (1) 1 (1) 2 ln0 2(1) 2 n n n n n n 0， 令 (1) 1) 2 n n z z （，则不等式可化为 2 2 1 ln0 2 z z 0， 2 1-z z 若令 2 2 1 ( )ln