高三数学（文数）总复习练习专题四函数的图象、函数的应用

1、1(2015浙江，5，易)函数 f(x)cos x(x且 x0)的图象可能为() (x 1 x) 【答案】D(特值法)令 x，f()cos()0，排除 B，C.令 x，f() ( 1 ) cos 0，排除 A，故选 D. ( 1 ) 2(2015课标，12，中)设函数 yf(x)的图象与 y2xa的图象关于直线 yx 对称，且 f(2) f(4)1，则 a() A1 B1 C2 D4 【答案】C设 f(2)b，则 f(4)1b，点(2，b)，(4，1b)在 yf(x)上，则其关于 y x 的对称点(b，2)，(b1，4)均在 y2xa的图象上，分别代入得解得 a2，选 C. 2ab2， 2b1

2、a4，) 思路点拨：利用关于直线 yx 对称的两点坐标满足的关系，设出点的坐标，列方程组求解 3(2015安徽，10，难)函数 f(x)ax3bx2cxd 的图象如图所示，则下列结论成立的是() Aa0，b0，d0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0 Da0，b0，c0，d0 时函数值的情况，当 x 趋近于 0 cos 6x 2x2x 2xcos 6x 4x1 时，4x趋近于 1，4x1 趋近于 0，2x趋近于 1，cos 6x 趋近于 1，y 趋近于，故排除 B.综上可知选 D. 6(2014辽宁，10，中)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)则不等式 cos x，x 0， 1 2，

3、 2x1，x ( 1 2，)，) f(x1) 的解集为() 1 2 A. B. 1 4， 2 3 4 3， 7 4 3 4， 1 3 1 4， 2 3 C. D. 1 3， 3 4 4 3， 7 4 3 4， 1 3 1 3， 3 4 【答案】A当 0 x 时，令 f(x)cos x ，解得 x ；当 x 时，令 f(x)2x1 ， 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 解得 x ，故有 x .因为 f(x)是偶函数，由于偶函数的图象关于 y 轴对称，所以 f(x) 的解集为 1 2 3 4 1 3 3 4 1 2 ，故 f(x1) 的解集为，故选 A. 3 4， 1 3 1 3，

4、3 4 1 2 1 4， 2 3 4 3， 7 4 7(2014江西，10，难)在同一直角坐标系中，函数 yax2x 与 ya2x32ax2xa(aR)的图 a 2 象不可能的是() 【答案】B当 a0 时， 函数为 y1x 与 y2x， 排除 D.当 a0 时， y1ax2x a a 2(x 1 2a) 2 ，而 y2a2x32ax2xa，求导得 y23a2x24ax1，令 y20，解得 x1，x2 ，x1 1 4a a 2 1 3a 1 a 1 3a 与 x2 是函数 y2的两个极值点当 a0 时， ；当 a0 时， ，即二次函数 y1的对 1 a 1 3a 1 2a 1 a 1 3a 1

5、 2a 1 a 称轴在函数 y2的两个极值点之间，选项 B 不合要求，故选 B. 8(2014湖北，15，易)如图所示，函数 yf(x)的图象由两条射线和三条线段组成 若xR，f(x)f(x1)，则正实数 a 的取值范围为_ 【解析】由图可知 f(2a)af(4a)， 若xR，f(x)f(x1)， 则只需 x2a 时，x14a 即可 6a1，即 a0，0a0)的图象，可由 yf(x)的图象沿 x 轴方向向左(a)或向右(a)平移 a 个单位得到； yf(x)b(b0)的图象，可由 yf(x)的图象沿 y 轴方向向上(b)或向下(b)平移 b 个单位得到 (2)常见的对称变换 yf(x)与 yf

6、(x)的图象关于 y 轴对称； yf(x)与 yf(x)的图象关于 x 轴对称； yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称 (3)伸缩变换 ykf(x)(k0)的图象，可由 yf(x)的图象上每一个点的纵坐标伸长(k1)或缩短(0k0)的图象， 可由 yf(x)的图象上每一个点的横坐标伸长(0k1)为原来的 而 1 k 得到 (4)翻折变换 要得到 y|f(x)|的图象，可先画出 yf(x)的图象，然后“上不动，下翻上”即可得到； 由于 yf(|x|)是偶函数，要得到 yf(|x|)的图象，可先画出 yf(x)的图象，然后“右不动，左去掉， 右翻左”即可得到 进行图象变换时， 要合理选择变换

7、的顺序， 并进行适当的转化变形 例如， 要得到 y2|x1|的图象， 由于 y2|x1|，可将 y的图象先通过对称翻折得到 y的图象，再通 ( 1 2) |x1| ( 1 2 ) x ( 1 2) |x| 过平移得到 y的图象 ( 1 2) |x1| 2辨识函数图象 一般确定函数图象的过程为： (1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性、特殊点等) (1)(2014浙江，8)在同一直角坐标系中，函数 f(x)xa(x0)，g(x)logax 的图象可能是 () AB CD (2)(2013江西，10)如图，已知 l1l2，圆心在 l

8、1上、半径为 1 m 的圆 O 在 t0 时与 l2相切于点 A， 圆 O 沿 l1以 1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线 l2所截上方圆弧长记为 x，令 ycos x，则 y 与时间 t(0t1，单位：s)的函数 yf(t)的图象大致为() 【解析】(1)方法一：分 a1，0a1 两种情形讨论 当 a1 时，yxa与 ylogax 均为增函数，但 yxa递增较快，排除 C； 当 0a1 时，yxa为增函数，ylogax 为减函数，排除 A，由于 yxa递增较慢，所以选 D. 方法二：利用基本初等函数的图象的性质进行排除 幂函数 f(x)xa的图象不过(0，1)点，排除 A；B 项中由对

9、数函数 f(x)logax 的图象知 0a1，而 此时幂函数 f(x)xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故 B 错，D 对 ； C 项中由对数函数 f(x)logax 的图象知 a1，而此时幂函数 f(x)xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故 C 错 (2)如图，设MON，由弧长公式知 x. 在 RtAOM 中，|AO|1t，cos 1t， x 2 |OA| |OM| ycos x2cos212(t1)21.又 0t1，故选 B. x 2 【答案】(1)D(2)B 【点拨】解题(1)的关键，方法一：分类讨论，再结合函数图象的特点用排除法求解；方法二：利 用基本初等函数的性质；解题(2)

10、的关键是根据弧长公式求出解析式，然后再确定图象 寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法 (1)知图选式 从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； 从图象的变化趋势，观察函数的单调性； 从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； 从图象的循环往复，观察函数的周期性 利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项 (2)知式选图 从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； 从函数的单调性，判断图象的变化趋势； 从函数的奇偶性，判断图象的对称性； 从函数的周期性，判断图象的循环往复 利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项 (2013山东，8)函数 yxcos xsin

11、x 的图象大致为() 【答案】D(结合给出的函数图象，代入特殊值，利用排除法求解)当 x时，y10， 排除 C. 2 当 x时，y1，排除 B；或利用 yxcos xsin x 为奇函数，图象关于原点对称，排除 B. 2 当 x时，y0，排除 A.故选 D. 考向 2函数图象的应用 利用函数图象研究的几个方面 (1)利用函数的图象研究函数的性质：从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图 象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性 (2)利用函数的图象研究不可解方程的根的个数、求不等式的解集以及求参数的取值范围等 (1)(2011课标全国，12)已知函数

12、yf(x)的周期为 2，当 x1，1时，f(x)x2，那么 函数 yf(x)的图象与函数 y|lg x|的图象的交点共有() A10 个 B9 个 C8 个 D1 个 (2)(2012天津，14)已知函数 y的图象与函数 ykx2 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取 |x21| x1 值范围是_ 【解析】(1)在同一平面直角坐标系中分别作出 yf(x)和 y|lg x|的图象，如图又 lg 101，由 图象知选 A. (2)yx1，x 1或x 1， x1，1 x 1 时与直线 yx1 平行，此时有一个公共点，k(0，1)(1，4) 时，两函数图象恰有两个交点 【答案】(1)A(2)(0，1)

13、(1，4) 【点拨】解题(1)的关键是准确作出两函数的图象；解题(2)的关键是化简函数解析式，并作出其图 象 1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零 点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系 2利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程 f(x)0 的根就是函数 f(x)图象 与 x 轴的交点的横坐标，方程 f(x)g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象的交点的横坐标 3利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数

14、有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关 系问题，从而利用数形结合求解 若将典型例题 2(2)中“ykx2”改为“ykx” ，则 k 的取值范围是_ 【解析】函数可表示为 y图象为如图所示的实线部分，数形结合可知，要使两函数图象有两个 x1，x1或x 1， x1，1 x1， ) 交点，则 k(0，1)(1，2) 【答案】(0，1)(1，2) 1(2015河北邢台质检，4)函数 y的图象大致是() x2，x 0， 2x1，x 0) 【答案】B当 x0 时，函数的图象是抛物线；当 x0 时，只需把 y2x的图象在 y 轴右侧的 部分向下平移 1 个单位即可故选 B. 2(2014安徽合肥一

15、模，6)已知函数 yf(x)与 yg(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)g(x)的图象可 能是() 【答案】A(排除法)观察图象可知，yf(x)有两个零点 x1，x2，且 yg(x)在 x0 时， 2 2 函数值不存在，所以函数 yf(x)g(x)在 x0 时，函数值也不存在，排除选项 C，D.当 x时，y (0， 2) f(x)g(x)的函数值为负，排除选项 B.故选 A. 3(2014河南三市第二次调研，10)若实数 x，y 满足|x1|ln 0，则 y 关于 x 的函数图象的大致 1 y 形状是() 【答案】B 原式可化为 y e |x 1| ，它的图象是将 y ( 1 e) |x1

16、| ( 1 e) |x| 的图象向右平移一个单位得到的，故选 B. ( 1 e) x （x 0）， ex（x0） ) 4 (2015吉林一中质检， 8)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 9.5%， 要增长到原来的 x 倍， 需经过 y 年，则函数 yf(x)的图象大致为() 【答案】D设原来森林蓄积量为 a，因为某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 9.5%，所 以一年后，森林蓄积量为 a(19.5%)，两年后，森林蓄积量为 a(19.5%)2，经过 y 年，森林蓄积量为 a(1 9.5%)y，因为要增长到原来的 x 倍，需经过 y 年，所以 a(19.5%)yax，即 ylog1.0

17、95x，故选 D. 5(2015安徽六安一模，13)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数，当 x0，1时，f(x)x，且在1， 3内，关于 x 的方程 f(x)kxk1(kR，k1)有四个根，则 k 的取值范围是_ 【解析】由题意作出 f(x)在1，3上的示意图如图所示，记 yk(x1)1，函数 yk(x1) 1 的图象过定点 A(1，1)记 B(2，0)，由图象知，方程有四个根，即函数 yf(x)与 ykxk1 的图 象有四个交点，故 kABk0， k0. 1 3 【答案】(1 3，0) 6(2015福建福州联考，14)已知函数 f(x)若直线 ym 与函数 f(x)的图象有两 2x （x

18、0）， log2x （x0），) 个不同的交点，则实数 m 的取值范围是_ 【解析】如图， 在平面直角坐标系中画出函数 f(x)的图象， 可知当 0m1 时， 2 x （x0）， log2x （x0）) 直线 ym 与函数 f(x)的图象有两个不同的交点 【答案】(0，1) 7(2014江苏盐城模拟，12)若关于 x 的不等式 2x2|xa|至少有一个负数解，则实数 a 的取值范 围是_ 【解析】在同一坐标系中画出函数 f(x)2x2，g(x)|xa|的图象，如图所示若 a0，则其临 界情况为折线 g(x)|xa|与抛物线 f(x)2x2相切 由 2x2xa 可得 x2xa20， 由 14(a

19、 2)0，解得 a ； 若 a0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0，2)，此时 a2.结合图象可知， 9 4 实数 a 的取值范围是. ( 9 4，2) 【答案】(9 4，2) 1(2015湖北，13，中)函数 f(x)2sin xsinx2的零点个数为_ (x 2) 【解析】f(x)sin 2xx2，则原题可转化为求 f(x)0 的解的个数，即求 y1sin 2x 与 y2x2两函 数图象交点的个数，如图所示交点有两个 【答案】2 2(2015湖南，14，中)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_ 【解析】因为 yf(x)有两个零点， 所以|2x2|b0 有

20、两个实根 即|2x2|b 有两个实根 令 y1|2x2|，y2b，则 y1与 y2的图象有两个交点 由图可知 b(0，2)时 y1与 y2有两个交点 【答案】(0，2) 3(2015江苏，13，难)已知函数 f(x)|ln x|，g(x)则方程|f(x)g(x)|1 实 0， 0 1，) 根的个数为_ 【解析】|f(x)g(x)|1， g(x)f(x)1 或 g(x)f(x)1， 当 g(x)f(x)1 时， 由图可知，此时 yg(x)与 yf(x)1 的图象有两个交点， 即 g(x)f(x)1 有 2 个实根 当 g(x)f(x)1 时， 由图可知，此时 yg(x)与 yf(x)1 的图象有

21、两个交点 即 g(x)f(x)1 有 2 个实数 综合，可知方程有 4 个实根 【答案】4 1(2012北京，5，易)函数 f(x)的零点个数为() ( 1 2) x A0 B1 C2 D3 【答案】B令 f(x)0，得，求零点个数可转化为求两个函数图 ( 1 2) x ( 1 2) x 象的交点个数，如图所示 由图可知，两函数图象有 1 个交点，故选 B. 思路点拨 ： 零点个数转化为图象的交点个数问题解决构造函数 y和 y，数形结合求 ( 1 2 ) x 解 2(2012湖北，3，易)函数 f(x)xcos 2x 在区间0，2上的零点的个数为() A2 B3 C4 D5 【答案】D令 f(

22、x)xcos 2x0， x0 或 cos 2x0， 即 x0 或 2xk，kZ. 2 x0，2， x0， ，故选 D. 4 3 4 5 4 7 4 3(2014湖北，9，中)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x，则函数 g(x)f(x) x3 的零点的集合为() A1，3 B3，1，1，3 C2，1，3 D2，1，377 【答案】D由已知可得，x0 时，f(x)x23x. g(x)x 24x3，x 0， x24x3，x 0.) x0 时，令 g(x)0，即 x24x30，得 x1 或 3； x0 时，令 g(x)0，即x24x30，得 x2或 x2(舍去)77

23、 综上，g(x)的零点的集合为1，3，27 4(2013天津，8，中)设函数 f(x)exx2，g(x)ln xx23.若实数 a，b 满足 f(a)0，g(b)0， 则() Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a) C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0 【答案】Af(x)exx2， f(x)ex10， 则 f(x)在 R 上为增函数， 且 f(0)e020，f(1)e10. 又 f(a)0，0a1. g(x)ln xx23，g(x) 2x. 1 x 当 x(0，)时，g(x)0，得 g(x)在(0，)上为增函数 又 g(1)ln 1220， g(2)ln 210，且 g(b)0， 1

24、b2，即 ab. f（b）f（a）0， g（a）g（b）0.) g(a)00，f(x)单调递增；x(x1，x2)时，f(x)0，f(x)单调递减； x(x2，)时，f(x)0，f(x)单调递增x1为极大值点，x2为极小值点方程 3(f(x)22af(x)b 0 有两个不等实根，f(x)x1，f(x)x2.f(x1)x1，由图知 f(x)x1有两个不同的解，f(x)x2仅有一 个解故选 A. 7(2014重庆，10，难)已知函数 f(x)且 g(x)f(x)mxm 在(1， 1 x13，x （1，0， x，x （0，1， ) 1内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是() A. B.

25、( 9 4，2 (0， 1 2( 11 4 ，2 (0，1 2 C. D. ( 9 4，2 (0， 2 3( 11 4 ，2 (0，2 3 【答案】Ag(x)f(x)mxm 在(1，1内有且仅有两个不同的零点就是函数 yf(x)的图象与 函数 ym(x1)的图象有两个交点， 在同一直角坐标系内作出函数 f(x)和 1 x13，x （1，0， x，x （0，1 ) 函数 ym(x1)的图象，如图， 当直线 ym(x1)与 y3，x(1，0和 yx，x(0，1都相交时 0m ； 当直线 ym(x 1 x1 1 2 1)与 y3，x(1，0有两个交点时，由方程组消元得3m(x1)， 1 x1 ym（

26、x1）， y 1 x13， ) 1 x1 即 m(x1)23(x1)10，化简得 mx2(2m3)xm20，当 94m0，即 m 时直线 y 9 4 m(x1)与 y3 相切，当直线 ym(x1)过点(0，2)时，m2，所以 m.综上， 1 x1( 9 4，2 实数 m 的取值范围是，选 A. ( 9 4，2 (0， 1 2 方法点拨：在求解函数零点问题时往往要转化为两曲线的交点个数问题，需要先画出函数的图象， 本题中在画分段函数的图象时要注意自变量的取值范围，在函数的定义域内画图，再利用直线 ym(x 1)过定点(1，0)，通过转动直线判断何时有两个交点，利用分界点处直线的斜率求解范围 8(

27、2014福建，15，中)函数 f(x)的零点个数是_ x22，x 0， 2x6ln x，x 0) 【解析】当 x0 时，由 x220 得 x； 当 x0 时，f(x)2x6ln x 在(0，)上为增函 2 数，且 f(2)ln 220，所以 f(x)在(0，)上有且只有一个零点综上可知 f(x)的零点个 数为 2. 【答案】2 考向 1函数零点的判断与求解 1函数零点的理解 函数 f(x)的零点方程 f(x)0 的根函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 2零点存在性定理 如果函数 yf(x)满足条件： (1)图象在闭区间a，b上连续不断； (2)f(a)f(b)0. 则 f(x)在开区间

28、(a，b)上存在零点(此处的零点仅指变号零点)，个数不定若仅有变号零点，则有奇 数个，反之不成立，即函数 f(x)在(a，b)上有零点，不一定有 f(a)f(b)0，这不是一个等价条件 零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点，并不能判断零点的个数，但如果函数在区 间上是单调函数，则该函数在区间上至多有一个零点 (1)(2014北京，6)已知函数 f(x) log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是() 6 x A(0，1) B(1，2) C(2，4) D(4，) (2)(2013天津，7)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为() A1 B2 C3 D4 【解

29、析】(1)因为 f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4) log24 0，所以函 3 2 1 2 数 f(x)的零点所在区间为(2，4)，故选 C. (2)易知函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数方程|log0.5x|的根的个数函数 y1 1 2x ( 1 2 ) x |log0.5x|与 y2的图象的交点个数作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个 ( 1 2 ) x 交点，故选 B. 【答案】(1)C(2)B 【点拨】解题(1)的关键是应用零点存在性定理分别计算区间端点 1， 2， 4 对应的函数值 f(1)， f(2)， f(4)，根据相应

30、的函数值的符号进行判断；解题(2)的关键是在同一坐标系中，画出两个函数的图象，有 几个交点，原函数就有几个零点 1.判断函数零点个数的常见方法 (1)方程法：解方程 f(x)0，方程有几个解，函数 f(x)就有几个零点； (2)图象法：画出函数 f(x)的图象，函数 f(x)的图象与 x 轴的交点个数即为函数 f(x)的零点个数； (3)将函数 f(x)拆成两个常见函数 h(x)和 g(x)的差， 从而 f(x)0h(x)g(x)0h(x)g(x)， 则函数 f(x) 的零点个数即为函数 yh(x)与函数 yg(x)的图象的交点个数； (4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式 来判

31、断 2判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上； (2)零点存在性定理法：利用函数零点的存在性定理判断函数零点所在的区间，应分别计算各区间端 点对应的函数值，并判断其正负号，如果区间端点对应的函数值异号，那么函数在该区间上存在零点 (3)数形结合法：画出函数的图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断 (1)(2012湖南，9)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2的偶函数，f(x)是 f(x)的 导函数当 x0，时，0f(x)0，则函数 yf(x)sin x 2(x 2) 在2，2上的零点个

32、数为() A2 B4 C5 D8 (2)(2011陕西，6)方程|x|cos x 在(，)内() A没有根 B有且仅有一个根 C有且仅有两个根 D有无穷多个根 (1)【答案】Bf(x)是最小正周期为 2的偶函数， f(x2)f(x)f(x)， yf(x)的图象关于 y 轴和直线 x对称 又0x0， 2(x 2) fx 0x时， 0. 2 fx 同理，x0. 2 fx 又0x时，0f(x)0)零点的分布 根的分布 (mnp 为常数) 图象满足条件 x1x2 0， b 2a 0) mx1 0， b 2a m， f（m） 0) x1mx2f(m)0 mx1x2 0， m b 2a 0， f（n） 0

33、 ) mx1nx2 0， f（n） 0 ) 只有一根在 (m，n)之间 0， m b 2a n) 或 f(m)f(n)a)以及实数 x(0x1)确定实际销售价格 cax(ba)这里，x 被称为乐观 系数经验表明，最佳乐观系数 x 恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中项据此可得，最佳乐观系 数 x 的值等于_ 【解析】依题意得 x，(ca)2(bc)(ba) ca ba bc(ba)(ca)， (ca)2(ba)2(ba)(ca)， 两边同除以(ba)2， 得 x2x10，解得 x. 1 5 2 0x1，x. 51 2 【答案】 51 2 5(2011江苏，17，14 分，中)请你设计一

34、个包装盒如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形 硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重 合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角 形斜边的两个端点设 AEFBx(cm) (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比 值 解：设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm. 由已知得 ax，h(30 x)，0x0；当 x(20，30)时，V

35、0. 所以当 x20 时，V 取得极大值，也是最大值 此时 ，即包装盒的高与底面边长的比值为 . h a 1 2 1 2 思路导引：分别建立侧面积 S(cm2)、容积 V(cm3)关于 x 的函数，用配方法或导数工具求最大值 考向 1分段函数模型的应用 1解决应用问题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型； (2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实 际问题化为数学问题； (3)求解：求解数学问题，得出数学结论； (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案 解函数应用题常见的错误：不会

36、将实际问题抽象转化为函数模型，或转化不全面；在求解过程 中忽略实际问题对变量参数的限制条件 2分段函数模型 (1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租 车的票价与路程的函数就是分段函数 (2)分段函数的主要特征是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段 的变化规律分别找出来，再合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值 (3)构建分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏 (2011湖北，17，12 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一 般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)

37、是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密 度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时研究表明：当 20 x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 (1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的表达式； (2)当车流密度 x 为多大时， 车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数， 单位 ： 辆/小时)f(x)xv(x) 可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时) 【解析】(1)由题意，当 0 x20 时，v(x)60； 当 20x200 时，设 v(x)axb， 再由已知得解得 2

38、00a b0， 20ab60，) a1 3， b 200 3 .) 故函数 v(x)的表达式为 v(x) 60， 0 x 20， 1 3 （200 x）， 20 x 200.) (2)依题意及(1)可得 f(x) 60 x， 0 x 20， 1 3x （200 x）， 20 x 200.) 当 0 x20 时，f(x)为增函数， 故当 x20 时，f(x)取得最大值， 其最大值为 60201 200； 当 201)ylogax(a1)yxn(n0) 在(0，) 上的单调性 单调增函数单调增函数单调增函数 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随 x 增大逐渐表现 为与 y 轴平行 随

39、x 增大逐渐表现 为与 x 轴平行 随 n 值变化而不同 (2015湖南八校联考，18，12 分)某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的 剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲 线 (1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 yf(t)； (2)据进一步测定， 每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效， 求服药一次后治疗疾病有 效的时间 【解析】(1)由图象，设 y kt（0 t 1）， ( 1 2 ) ta （t 1），) 当 t1 时，由 y4 得 k4； 由4 得 a3. ( 1 2 ) 1a 所

40、以 y 4t（0 t 1）， ( 1 2 ) t3 （t 1）.) (2)由 y0.25 得或 0 t 1， 4t 0.25 ) t 1， ( 1 2 ) t3 0.25，) 解得t5. 1 16 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5(小时) 1 16 79 16 【点拨】解答本题的关键是设出正确的函数模型，利用待定系数法确定函数解析式，然后解不等 式 三种函数模型的应用技巧 (1)与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模 型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、银行利 率有关的问题都属于指数函数模

41、型 (2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式， 再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数 (2013上海，20，14 分)甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10)，每一小时可获得的利润是 100元 (5x1 3 x) (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利 润 解：(1)根据题意，得 2003 000，1x10，解得 3x10. (5x1 3 x) (2)生产 900 千克

42、该产品，获得的利润为 90 000，1x10. (5 1 x 3 x2) 记 f(x) 5，1x10， 3 x2 1 x 则 f(x)35，当且仅当 x6 时取到最大值， ( 1 x 1 6) 2 1 12 61 12 所以获得最大利润为 90 000457 500(元) 61 12 因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产，可获得最大利润为 457 500 元 1(2015河北石家庄高三月考，8)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位 ： 万元)分别为 L1 5.06x0.15x2和 L22x，其中 x 为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的 最大利润为()

43、A45.606 万元 B45.6 万元 C45.56 万元 D45.51 万元 【答案】B设在甲地销售 x 辆车，则在乙地销售(15x)辆车，获得的利润为 y5.06x0.15x2 2(15x)0.15x23.06x30， 当 x10.2 时， y 最大， 但 xN*， 所以当 x10 时， 3.06 2 （0.15） ymax1530.63045.6，故选 B. 2(2014广东汕头一模，6)一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所 示出水口的出水速度如图乙所示，某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示 给出以下 3 个论断：0 点到 3 点只进水不出水；3 点到

44、 4 点不进水只出水；4 点到 6 点不进水 不出水则一定正确的是() A B C D 【答案】A由甲、乙两图可知进水速度为 1，出水速度为 2，结合丙图中直线的斜率，只进水不 出水时，蓄水量增加速度是 2，故正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是 2，故不正确；两个进 水一个出水时，蓄水量减少速度也是 0，故不正确 3(2014北京东城期末，9)某企业投入 100 万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 0.5 万元， 此外每年都要花费一定的维护费，每一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上 一年增加 2 万元为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()

45、A10 B11 C13 D21 【答案】A设该企业需要更新设备的年数为 x，设备年平均费用为 y，则 x 年后的设备维护费用 为 242xx(x1)，所以 x 年的平均费用为 yx1.5.由均值不等 1000.5xx（x1） x 100 x 式得 yx1.521.521.5，当且仅当 x，即 x10 时取等号，所以选 A. 100 x x100 x 100 x 4(2014吉林长春外国语学校模拟，4)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽 快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输 任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t

46、的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间 的运输量)逐步提高的是() 【答案】B由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故 函数的图象应一直是下凹的，故选 B. 5(2014山东青岛二模，6)某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历 了 n 次涨停(每次上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑 其他费用)为() A略有盈利 B略有亏损 C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况 【答案】B设该股民购这只股票的价格为 a，则经历 n 次涨停后的价格为 a(110%)na1.1n

47、， 经历 n 次跌停后的价格为 a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故该股民这 只股票略有亏损 6(2015浙江金华十校联考，14)某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次性购物付款总额： (1)如果不超过 200 元，则不给予优惠； (2)如果超过 200 元但不超过 500 元，则按标价给予 9 折优惠； (3)如果超过 500 元，则 500 元按第(2)条给予优惠，剩余部分给予 7 折优惠 某人单独购买 A，B 商品分别付款 100 元和 450 元，假设他一次性购买 A，B 两件商品，则应付款是 _元 【解析】设商品总额为 x 元，应付金额为

48、y 元， 则 y x，0 x200， 0.9x，200 x 500， 0.7x100，x500， ) 令 0.9x450，得 x500， 则 0.7(500100)100520(元) 【答案】520 7(2015河南郑州一模，17，12 分)小王于年初用 50 万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用 需支出 6 万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出 2 万元，假定该车每年的运输收入均为 25 万 元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 x 年年底出售， 其销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年) (1)大货车运输到第几年年底，

49、该年运输累计收入超过总支出？ (2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年利润最大？(利润累计收入销售收入总支出) 解：(1)设大货车到第 x 年年底的运输累计收入与总支出的差为 y 万元，则 y25x50(0 x10，xN)， 6x x（x1） 2 2 即 yx220 x50(0 x10，xN) 由x220 x500，解得 105x105， 22 而 21053，故从第 3 年开始运输累计收入超过总支出 2 (2)利润累计收入销售收入总支出， 销售二手货车后，小王的年平均利润为 y(25x) y 1 x (x219x25) 1 x 19， (x 25 x) 而 191929， (x 25

50、 x) x25 x 当且仅当 x5 时等号成立 即小王应当在第 5 年将大货车出售，才能使年平均利润最大 8(2014山东德州一模，18，12 分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等 稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知 投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元 (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系； (2)若该家庭有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最 大收益是多少万元？ 解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为 f(x)k1x，g(x

51、)k2. x 由已知得 f(1) k1， 1 8 g(1) k2， 1 2 所以 f(x) x(x0)， 1 8 g(x)(x0) 1 2 x (2)设投资债券产品为 x 万元，则投资股票类产品为(20 x)万元 依题意得 yf(x)g(20 x) (0 x20) x 8 1 2 20 x 令 t(0t2)， 20 x5 则 y t (t2)23， 20t2 8 1 2 1 8 所以当 t2，即 x16 时，收益最大，ymax3 万元 (时间：90 分钟_分数：120 分) 一、选择题(共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1(2014山东烟台模拟，3)函数 f(x)x3的零点所在的

52、区间为() ( 1 2) x2 A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4) 【答案】Bf(1)10，f(2)70， f(1)f(2)0.又函数 f(x)在定义域上单调递增，由零点存在性定理得 f(x)零点所在区间为(1，2) 2(2014甘肃天水一模，4)函数 f(x)loga|x|1(0a1)的图象大致为() 【答案】A令 x 趋近于或，则 f(x)趋近于，故排除 B，C.又 x1 时，f(1)loga1 11.故选 A. 3(2012天津，4)函数 f(x)2xx32 在区间(0，1)内的零点个数是() A0 B1 C2 D3 【答案】B方法一：令 f(x)0，即 2xx320

53、，则 2x2x3. 在同一坐标系中分别画出 y2x2 和 yx3的图象， 由图可知两个图象在区间(0， 1)内只有一个交点， 函数 f(x)2xx32 在区间(0， 1)内有一个零点， 故选 B. 方法二：因为 f(0)1021，f(1)22328，即 f(0)f(1)0，且函数 f(x)的图象在(0，1) 内连续不断，故 f(x)在(0，1)内的零点个数是 1. 4(2011课标全国，10)在下列区间中，函数 f(x)ex4x3 的零点所在的区间为() A. B. ( 1 4，0) (0， 1 4) C. D. ( 1 4， 1 2)( 1 2， 3 4) 【答案】C显然 f(x)为定义在

54、R 上且图象连续的函数如图，作出 yex与 y34x 的图象， 由图象知函数 f(x)ex4x3 的零点一定落在区间内 (0， 3 4) 又 f 20，f 10.故选 C. ( 1 4) 4 e ( 1 2) e 5(2015湖南永州二模，6)已知 f(x)ax2，g(x)loga|x|(a0 且 a1)，若 f(4)g(4)0，则 y f(x)，yg(x)在同一坐标系内的大致图象是() 【答案】B由 f(4)g(4)a2loga40，得 0a1，因此指数函数 yax2(0a1)的图象即 可确定，而 yloga|x|(0a1)的图象结合函数的奇偶性即可作出 6(2011天津，8)对实数 a 和

55、 b，定义运算“”：ab设函数 f(x)(x22)(x a，ab 1， b，ab1.) 1)，xR，若函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是() A(1，12，) B(2，1(1，2 C(，2(1，2 D2，1 【答案】Bf(x)x 22，1 x 2， x1，x1或x2.) f(x)的图象如图所示 函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点， 函数 yf(x)与 yc 的图象有两个交点， 由图象，可得2c1 或 1c2. 7(2012福建，12)已知 f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0. 其中正确结论的序号

56、是() A B C D 【答案】C由题设知 f(x)0 有 3 个不同零点 设 g(x)x36x29x， f(x)g(x)abc，f(x)有 3 个零点，需将 g(x)的图象向下平移至如图所示位置 由图象观察可知，f(0)f(1)0.故选 C. 8(2011课标全国，12)函数 y的图象与函数 y2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐 1 1x 标之和等于() A2 B4 C6 D8 【答案】D函数 y和 y2sin x 的图象有公共的对称中心(1，0)，画出二者图象 1 1x 1 x1 如图所示， 易知 y与 y2sin x(2x4)的图象共有 8 个交点，不妨设其横坐标为 x1，x2，

57、x3，x4， 1 1x x5，x6，x7，x8，且 x1x2x3x4x5x6x7x8.由对称性得 x1x8x2x7x3x6x4x52，x1 x2x3x4x5x6x7x88，故选 D. 9(2015山东枣庄质检，8)若函数 f(x)x3axb(bR)有 3 个零点，分别为 x1，x2，x3，且满足 x1 1，x21，x31，则实数 a 的取值范围是() A(，3) B(，2) C(，1) D(，0) 【答案】Af(x)3x2a，f(x)有三个零点， a0.令 f(x)0，得 x.a 3 x21，x31，由图象，得1，a 3 a3. 10(2015安徽芜湖一模，10)已知定义在 R 上的函数 f(

58、x)满足：f(x)且 x22，x 0，1）， 2x2，x 1，0），) f(x2)f(x)，g(x)，则方程 f(x)g(x)在区间5，1上的所有实数根之和为() 2x5 x2 A5 B6 C7 D8 【答案】C由题意知 g(x)2，函数 f(x)的周期为 2，则函数 f(x)， 2x5 x2 2（x2）1 x2 1 x2 g(x)在区间5，1上的图象如图所示： 由图形可知函数 f(x)，g(x)在区间5，1上的交点为 A，B，C，易知点 B 的横坐标为3， 若设 C 的横坐标为 t(0t1)，则点 A 的横坐标为4t. 方程 f(x)g(x)在区间5，1上的所有实数根之和为3(4t)t7. 二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 11(2014广东揭阳月考，9)若函数 f(x)x2axb 的两个零点是2 和 3，则不等式 af(2x)0 的 解集是_ 【解析】由题意得，2 和 3 是方程 x2axb0 的两个根，由根与系数的关系得 a1，b6 23a， （2） 3b) f(x)x2x6. 故不等式 af(2x)02x2x30， 解得 x1. 3 2 【答案】(3 2，1) 12(2015河南安阳一模，14)已知函数 f(x)有 3 个零