证明举例复习.ppt

1、19.2证明举例复习,一、知识梳理,（等角对等边）,1、要证明的线段和角在同一个三角形中常用的定 理、常添的辅助线.,（等边对等角）,（底边上的高 或中线 或顶角的平分线）,辅助线用虚线,（SAS）,（ASA）,（AAS）,（SSS）,一、知识梳理,2、在两个三角形中证明线段和角相等，常要证明 三角形全等,（HL）,一、知识梳理,3、有线段中点的条件时，常添的辅助线.,将中线延长一倍，构造成中心对称的三角形,一、知识梳理,4、当有角平分线时，常添的辅助线.,在ON上截取OAOB, 构造全等三角形 .,A,延长BP交ON于点A， 构造等腰三角形.,A,二、知识应用,例1、 已知，如图BD=CE，

2、1=2， 求证：（1）AB=AC （2）联结ED，试判断BC与ED的位置关系，并证 明你的判断,ABDACE （A.A.S）,两个三角形不一定全等,AD=AE,3,4,3=4,A+24=1800,A+2ACB=1800,4=ACB,BC/DE,例1、 已知，如图BD=CE，1=2， 求证：（1）AB=AC （2）联结ED，试判断BC与ED的位置关系，并证 明你的判断,3,4,证明：（1）1=2（已知）， AEC=ADB（等角的补角相等）.,在ABD与ACE中,AEC=ADB（已证）,A=A（公共角）,BD=CE（已知）,ABDACE （AAS）.,AB=AC（全等三角形的对应边相等）.,（2）

3、答：ABED 证明：ABDACE（已证）, AE=AD（全等三角形的对应边相等). 3=4（等边对等角）. 同理：ABC=ACB. A+3+4=180, A+ABC +ACB =180（三角形的内角和为180）. 3+4=ABC +ACB（等式性质）. 23=2ABC. 3 =ABC（等式性质）. BCED（同位角相等，两直线平行）.,例2 已知：如图,在ABC中, ADBC于D，AD=BD，点H 为AD上一点， AC=BH 求证：ABC=BCH,二、知识应用,D,RtBDHRtADC（ H.L）,DH=DC,D,C,BCH=450,450,例2 已知：如图,在ABC中, ADBC于D，AD=

4、BD，点H 为AD上一点， AC=BH 求证：ABC=BCH,二、知识应用,证明：ADBC（已知）， ADB=ADC=90(垂直的意义) 在RtBDH和RtADC,RtBDHRtADC（H.L） DH=DC（全等三角形的对应边相等）， DCH=CHD（等边对等角）， DCH=45（三角形内角和为180）. 同理：ABC=45.,ABC=BCH（等量代换）,反馈练习,已知，如图，AECD于E，BFCD于F， AD=BC， CE=DF. 求证:AO=BO,1,3,2,4,证明：AECD（已知）， AED是直角三角形（直角三角形的定义）. 同理：BFC是直角三角形 CE=DF（已知）， CF=DE（

5、等式性质）,在RtAED与RtBFC中， AD=BC（已知）， DE =CF（已证）， RtAEDRtBFC（H.L） AE=BF（全等三角形的对应边相等） AECD，BFCD已知）， 1=2=90（垂直的意义）,在AEO与BFO中， 1=2（已证） 3=4 （对顶角相等） AE=BF（已证） AEOBFO（A.A.S） AO=BO（全等三角形的 对应边相等）.,直角三角形全等的证明方法除了（H.L）外，还有（S.A.S）；（A.A.S）（A.S.A）,例3：已知，如图，在ABC中, D是BC的中点, 且AB=5， AC=3，求AD的取值范围,二、知识应用,问1、需要添置辅助线吗？如何添？,5

6、,3,E,在ACD与EBD中,问2、可以得到什么结论？,答2：可证明ACD与EBD全等， 得到EB=AC.,3,问3、AD的取值范围如何确定呢？,答3：在ABE中，AB=5，BE=3，22AD8 , 得到1AD4.,证明:延长AD到点E,使DE=AD,联结BE.,ACDEBD(S.A.S).,BE=AC=3(全等三角形的对应边相等).,设AD=x，, 2 2 x8,解得：1x4. 1 AD4,答1：需要添辅助线，延长AD到E， 使得DE=AD，联结BE.,辅助线添置方法是倍长中线法添置的目的是把分散的条件集中到一个三角形中,二、知识应用,变式：已知，如图，在ABC中, D是BC的中点, 且AB

7、=m，AC=n，求AD的取值范围,例3：已知，如图，在ABC中, D是BC的中点, 且AB=5， AC=3，求AD的取值范围,反馈练习,已知，如图， D是BC的中点, 若BED=CAD， 求证:BE=AC；,1,2,F,能直接证明BE=AC吗？,证明:延长AD到点F,使DF=AD,联结BF.,在ACD与FBD中,ACDFBD(S.A.S).,BF=AC, F= 2(全等三角形的对应边,对应角相等).,1=2(已知），, F= 1（等量代换）.,BF=BE(等角对等边）.,BE=AC(等量代换）.,G,若条件有中点或中线，但是不能直接推出结论时-添加辅助线， 本质:利用某个图形绕线段中点旋转18

8、0，作出 中心对称图形. 目的：使分散在不同三角形中的已知条件转化到 同一个三角形中.,适时小结,例题4 已知：如图，在ABC中，CD是ABC的角 平分线，BC=AC+AD 求证：A=2B,问：条件BC=AC+AD使我们想到把线段 AD、AC转化到线段BC上， 怎样转化呢？,E,ACDECD,DE=AD, A=DEC,BC=CE+BE=AC+AD,DE=BE,B=BDE,A=2B,例题4 已知：如图，在ABC中，CD是ABC的角 平分线，BC=AC+AD 求证：A=2B,E,证明：在CB上截取CE=CA,联结DE CD是ABC的角平分线， 1=2. 在ACD与ECD中,AC=CE 1=2 CD

9、=CD ACDECD （S.A.S）. DE=AD, A=DEC(全等 三角形的对应边，对应角相等). BC=CE+BE=AC+AD. BE=AD(等式性质) .,DE=BE, B=BDE(等边对等角). DEC=B+BDE=2B (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和). A=2B,添置辅助线的两种常见方法：“截长法“和”补短法”.,例5：求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于 顶角的一半.,D,已知: 如图，ABC是等腰三角形， AB=AC，BDAC，垂足为点D.,求证：A=2DBC.,问：如何找到A的一半？,E,1,2,证明：作AEBC，垂足为点E. AB=AC , AEBC. BAC=21(等腰三角形的三线合一). AEBC.(已知), C+1=900（直角三角形的两个锐角互余）. 同理C+2=900.