质点的角动量

1、第五章 角动量 关于对称性 （Chapter 5 Angular momentum ,大小：,称力臂,SI单位：N m,力臂乘以力,5.1 质点的角动量,力的作用效果，不仅与力的大小 magnitude 有关，还与力的方向 direction 和力的作用点 acting point 有关。力矩是全面考虑这三要素的一个重要的概念。,1、力矩定义（对O点） torque,合力矩等于各分力矩的矢量和:,即 ：,力矩与参考系的选择有关；,定义：任取一点o, 建立坐标系oxyz，设质点A的质量为m，速度为 ，矢径为 ，则质点A对o点的角动量(或动量矩)为：,2、质点对固定点的角动量 angular mo

2、mentum,方向：由右手螺旋定则确定， right hand screw rule,大小：,2、质点对固定点的角动量 angular momentum,角动量与参考系的选择有关.,把位置矢量和动量矢量结合起来;,角动量与参考点O的选择有关；, 说明力矩和角动量时，须指明对哪一个点而言.,又称动量矩(moment of momentum),SI 单位: kgm2/s or Js,例：质点作直线运动,对O点：,角动量的几何含义：,角动量的大小与掠面速度成正比,位矢 在单位时间内扫过的面积，称为它的掠面速度，即,质点以角速度 作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量,大小：,例：,方向：,与角速度 的

3、方向相同。,解：两球的角速度相等,故3m质点线速度为：,总角动量为：,方向：沿转轴方向, v ,二. 质点对固定点的角动量定理 angular momentum theorem,1、 推导过程：,由牛顿第二定律,由于:,于是:,于是:,为角动量,为力矩.,则:,又,2、角动量定理 angular momentum theorem,在直角坐标系中的分量形式：,质点对参考点的角动量定理,对同一参考点，质点（转动物体）所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内质点（转动物体）角动量的增量。,3、另一种表述：,将 变形为,式中,称为外力矩的冲量矩 impulse torque (角冲量 angular im

4、pulse）,冲量矩,冲量矩,冲量矩：反映在一段时间内力矩的时间积累作用.,说 明,力矩和角动量须是对于惯性系中同一固定点而言的 .,质点角动量定理,力矩的时间累积效应,力的时间累积效应,例: 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上),然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度.,解 小球受重力和支持力作用, 支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里,由质点的角动量定理,考虑到,得,由题设条件积分上式,三、质点角动量守恒

5、定律 law of conservation of angular momentum of particle,由角动量定理可知，,若：,（条件),则：,或,（结论）,即：,(constant vector),角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，和动量守恒定律一样，它不仅适用于宏观物体的运动，而且对于牛顿第二定律不能适用的微观粒子的运动，它也适用。,质点对参考点的角动量守恒定律,有两种情况: 或 通过参考点O .,注：,-,即：,(2) 质点在有心力场 中运动，其角动量守恒,3. 行星围绕太阳的椭圆运动中,相对于太阳的角动量 保持不变. 因为受到的是有心力.,1. 匀速直线运动质点相对任意

6、固定点的角动量守恒,2. 匀速圆周运动质点相对圆心的角动量守恒.,Notes:,开普勒第二定律：行星对恒星的矢径的掠面速度不变 .,例：行星受力方向与矢径在一条直线上（有心力），故对心的角动量守恒.,=常数,1) 对固定点O，质点m所受合外力矩:,则对O 点角动量守恒(大小、方向均不变),2) 对固定点O，质点m 所受合外力矩:,对O点角动量,方向随时间变化,*合外力矩、角动量均对同一点而言,大小 Lo=mvl,例：如图, 圆锥摆. 摆球 m 对O和O点的角动量是否守恒？,不守恒,以逆时针为正,例: 如图, 圆锥摆.,m 对于 o 点的角动量是否守恒?,m 对于 o 点的角动量是否守恒?,m

7、动量是否守恒?,(是),(否),(否),质点绕行半周时间内的绳的张力冲量是多少? (A点-B点),解: 绕行半周时间,由动量定理:,绕行半周动量增量为:,例： 用细绳系一小球在光滑的水平面上作圆周运动, 圆半径 r0 , 速率 v0 . 今缓慢地拉下绳的另一端, 使圆半径逐步减小. 求圆半径缩至 r 时, 小球的 速率 v 是多大?,解：小球相对圆心所受力矩,零,所以，小球相对圆心的角动量守恒,（有心力),例题: 人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球中心为椭圆的一个焦点，已知地球平均半径 R = 6378 km，近地距离 L1= 439 km , A1 点速度 v1 =8.10 km , 远地距

8、离 l2 =2384 km , 求A2 点的速度v2 = ?,解：卫星在运行时只受地球对它的引力，方向始终指向地心o, 力的大小只依赖于两点距离（这种力称为有心力），对于O点，力矩为零，,故卫星对地心的角动量守恒。,卫星在近地点A1 的角动量：,卫星在远地点A2 的角动量:,因角动量守恒，所以：,于是：,例:,已知地球半径R=6378km, L1=439km,L2=2384km.若卫星在A1处的速度V1=8.1km/s，则卫星在A2处的速度V2= .,解：,卫星对地球中心的角动量守恒,于是 V2= V1(R+L1)/(R+L2)= 6.3 km/s,A2处, mV2(R+L2),A1处, mV

9、1(R+L1),能否用机械能守恒求解？,思考,因为卫星在运行时只受地球对它的引力，是有心力，属于保守内力，系统（卫星和地球）的机械能守恒：,在地球表面,思考,能否用牛律求解？,因为卫星在运行时只受地球对它的万有引力，该力提供了向心力：,答： 可以.,（ 为曲率半径）,一般情况下，卫星所在处的曲率半径并不是其到地心的距离；若已知卫星绕地运动的椭圆轨道方程，可根据高等数学的知识求解卫星所在处的曲率半径 .,四、质点对轴的角动量定理和守恒定律,以参考点o为原点, 建立坐标系oxyz，则质点A对o点的角动量在 z 轴的投影为：,质点对z 轴的角动量对时间的变化率等于质点所受到的合力对同一轴线的力矩。,

10、将力 和分解为平行于z 轴方向和在所作平面内的两个分量:,过质点作一与 z 轴垂直的平面.,质点A对轴上一点o点的力矩在 z 轴的投影:,将位矢 分解为平行于和垂直于z 轴的两个分量:,为自 z 轴端观察由 逆时针转至 转过的角度.,此即力对 z 轴的力矩：等于受力质点到轴的垂直距离与力在与z 轴垂直的平面上的分力的矢积.,此即力对 z 轴的力矩：等于受力质点到轴的垂直距离与力在与z 轴垂直的平面上的分力的矢积.,力对 z 轴上任一点的力矩在 z 轴上的投影就等于力对z 轴力矩.,如果参考点变为 o，则力对 z 轴的o点和 o点的力矩是不同的，但它们在 z 轴上的投影相等.,力对 z 轴的力矩：等于受力质点到轴的垂直距离与力在与z 轴垂直的平面上的分力的矢积.,如果质点的位矢和所受的力均在与 z 轴垂直的平面内，则力对 z 轴的力矩为：,质点m对轴上一点o点的