高考数学复习练习第1部分专题五第三讲第二课时预测演练提能

1、1.(2013重庆高考)如图，椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，离心率 e，过左焦 2 2 点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 A，A两点，|AA|4. (1)求该椭圆的标准方程； (2)取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P，P，过 P，P作圆心为 Q 的圆， 使椭圆上的其余点均在圆 Q 外求PPQ 的面积 S 的最大值，并写出对应的圆 Q 的标准 方程 解 ： (1)设该椭圆的方程为1(ab0)，由题意知点 A(c,2)在椭圆上，则 x2 a2 y2 b2 c2 a2 22 b2 1，从而 e21，又 e，故 b28，从而 a216. 4 b2 2 2 4 1e2 b2 1e

2、2 故该椭圆的标准方程为 1. x2 16 y2 8 (2)由椭圆的对称性，可设 Q(x0,0)又设 M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2 y2x22x0 xx 8 (x2x0)2x 8(x4,4) 2 0 ( 1 x2 16) 1 2 2 0 设 P(x1，y1)，由题意知，点 P 是椭圆上到点 Q 的距离最小的点，因此，当 xx1时|QM|2 取最小值，又 x1(4，4)，从而 x12x0，且|QP|28x . 2 0 由对称性知 P(x1，y1)，故|PP|2y1|， 所以 S |2y1|x1x0| 2 |x0| 1 2 1 2 8 ( 1 x2 1 16) 2 4x2

3、 0 x 2 0 2x2 0 2 24. 故当 x0时，PPQ 的面积 S 取得最大值 2.22 此时对应的圆 Q 的圆心坐标为 Q(，0)，半径|QP|，28x2 06 因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x)2y26，(x)2y26.22 2.如图，椭圆 C0：1(ab0， a， b 为常数)， 动圆 C1： x2y2 x2 a2 y2 b2 t ，bt1a.点 A1， A2分别为 C0的左，右顶点，C1与 C0相交于 A，B，C， 2 1 D 四点 (1)求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程； (2)设动圆 C2：x2y2t 与 C0相交于 A，B，C，D四点，其中 b

4、t2a，t1t2. 2 2 若矩形 ABCD 与矩形 ABCD的面积相等，证明：t t 为定值 2 12 2 解 ： (1)设 A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知 A1(a,0)，A2(a,0)，则直线 A1A 的方程为 y y1 x1a (xa)， 直线 A2B 的方程为 y(xa) y1 x1a 由得 y2(x2a2) y2 1 x2 1a2 由点 A(x1，y1)在椭圆 C0上，得1.从而 y b2，代入得1(xa， x2 1 a2 y2 1 b2 2 1 ( 1x 2 1 a2) x2 a2 y2 b2 y0)到直线 l：xy 20 的距离为.设 P 为直线 l 上的点，过点 P

5、 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A， 3 2 2 B 为切点 (1)求抛物线 C 的方程； (2)当点 P(x0，y0)为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； (3)当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF|BF|的最小值 解：(1)依题意，设抛物线 C 的方程为 x24cy(c0)， 则，结合 c0，解得 c1. |0c2| 2 3 2 2 所以抛物线 C 的方程为 x24y. (2)抛物线 C 的方程为 x24y，即 y x2，求导得 y x. 1 4 1 2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线 PA，PB 的斜率分别为 x1， x2. ( 其中y1x 2

6、 1 4 ，y2x 2 2 4) 1 2 1 2 所以切线 PA 的方程为 yy1 (xx1)，即 y x y1，即 x1x2y2y10. x1 2 x1 2 x2 1 2 同理，可得切线 PB 的方程为 x2x2y2y20. 因为切线 PA，PB 均过点 P(x0，y0)，所以 x1x02y02y10，x2x02y02y20. 所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程 x0 x2y02y0 的两组解 所以直线 AB 的方程为 x0 x2y02y0. (3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21， 所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1. 联立方程Error!消去

7、 x 整理得 y2(2y0 x )yy 0， 2 02 0 由根与系数的关系可得 y1y2x 2y0，y1y2y ， 2 02 0 所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1y x 2y01. 2 02 0 又点 P(x0，y0)在直线 l 上，所以 x0y02. 所以 y x 2y012y 2y052 2 .2 02 02 0 ( y01 2) 9 2 所以当 y0 时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为 . 1 2 9 2 5.如图，经过点 P(2,3)，且中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆 M 的离心率为 . 1 2 (1)求椭圆 M 的方程； (2)若椭圆 M 的弦 PA，PB 所

8、在直线分别交 x 轴于点 C，D，且|PC|PD|，求证 ： 直线 AB 的斜率为定值 解：设椭圆 M 的方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 则1，且 e2 ， 4 a2 9 b2 a2b2 a2 1 4 解得 a216，b212. 故椭圆 M 的方程为1. x2 16 y2 12 (2)证明：由题意知，直线 PA 的斜率必存在，故设直线 PA 的方程为 yk(x2)3， A(xA，yA)，B(xB，yB)，由|PC|PD|可知，直线 PB 的方程为 yk(x2)3. 由方程组Error!可得(4k23)x28k(2k3)x4(2k3)2480. 又方程有一实根为 2，故另一实根为，

9、 42k3248 24k2 3 22k3224 4k23 24k212k3 4k23 故 xA. 24k212k3 4k23 同理，xB. 24k212k3 4k23 所以 xAxB，xAxB4， 44k2 3 4k23 24 4k23 xAxB. 48k 4k23 所以直线 AB 的斜率 kAB ，即直线 AB 的斜率为定值 yAyB xAxB kxAxB 4 xAxB 1 2 6已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大 值为 3，最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l：ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B

10、不是左右顶点)，且以 AB 为直 径的圆过椭圆 C 的右顶点 D.求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 解：(1)由题意设椭圆的标准方程为： 1(ab0) x2 a2 y2 b2 由已知得 ac3，ac1， 所以 a2，c1， 所以 b2a2c23， 因此椭圆 C 的标准方程为 1. x2 4 y2 3 (2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立Error! 得(34k2)x28mkx4(m23)0，则 Error! 又 y1y2(kx1m)(kx2m) k2x1x2mk(x1x2)m2 . 3m24k2 34k2 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)， 所以 kADkBD1，即1. y1 x12 y2 x22 故 y1y2x1x22(x1x2)40. 即40. 3m24k2 34k2 4m2 3 34k2 16mk 3