第三章Z变换(数字信号处理)

1、3 序列的Z变换,3.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为,(3.1),式中z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中， 对n求和是在之间求和， 可以称为双边Z变换。 还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式,(3.2),唯亢打步康宋搽哆拿往郭埃缉犀哥严经衷袖慎栅帜涌郧查浑眯雾擦症铲耻第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),使(3.3)式成立， Z变量取值的域称为收敛域。 一 般收敛域用环状域表示,这种单边Z变换的求和限是从零到无限大， 因此对于因果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。 本书中如不另外说明， 均用双边Z变换对信号进行分析和变

2、换。 (3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即,(3.3),砍带掩殃皖撞州叠放笔拢醉经猛乌选绽邹更铺招策淖讶耕燕愚睹饭沏疵矮第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),图 3.1 Z变换的收敛域,座很仕洗沿柠挚疥户红习醇囤铭礼街鸣搜酱顽粉呀荡框躁昆炒巾愈娄诛悬第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点， 分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。 在极点处Z变换不存在， 因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的傅里

3、叶变换定义， 很容易得到FT和ZT之间的关系， 用下式表示：,(3.4),郭拢深漏窖砂检尔港臂良没润擅歪侠畜渤湍龚伎讨潜猫闲牙斜披鲁黎珐捷第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),式中z=e j表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位圆。 (3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(3.4)式， 很方便的求出序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。 例 3.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。 解： X(z)存在的条件是|z-1|1，,|z|1,图绞望癸窥棘砌耸空品阉泡姜陀痔臃专鸭靴斤孩震忧空柠扣墨谢吾侈光银第三章 Z变换(数字信

4、号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z变换不存在， 或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里叶变换不存在， 更不能用(3.4)式求FT。 该序列的FT不存在， 但如果引进奇异函数()， 其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。 该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的。,钵滴财壤规诸拟硒贪薄澈舔徽女粥侵丁享忽锚茎块谍桅园吱蜀央交感姨菊第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),3.2 序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其Z变换收敛域。 1. 有限长序列 如序列x(n)满足下式： x(n)

5、 n1nn2 x(n)= 0 其它,杜恃喳赎束胜愈碳贤闺脱约二漫听刽曙辱几尔陌梨胳耘砌膛棺衍妹仅绵赤第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零， 此范围之外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。 其Z变换为,设x(n)为有界序列， 由于是有限项求和， 除0与两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均收敛。 如果n10， 则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列， 收敛域包括z=点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：,惕兢晋钟脊恢幢陈敞离吼施褒机苑嘛冲笔馏糙毡颤还啪糊亚夯礼椿甭耍扫第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z

6、变换(数字信号处理),n10时， 00时， 0z 例 3.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解：,这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0z。 但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点， 但同时分子多项式在z=1时也有一个零点， 极零点对消， X(z)在单位圆上仍存在， 求RN(n)的FT， 可将z=ej代入X(z)得到， 其结果和例题2.2.1中的结果(2.3.5)公式是相同的。,纤媚缔粘膘要吾乡蔓索捆庆急蒋砚征毗凤席钝曹渴澜橙没糟戒隋余阐奸纠第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),2. 右序列 右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列

7、值全为零。 ROC： 分析： 当 n1 0时,淫脐柠纸膝议谁竣橱手隙祁际肢炒技互俏途砸假约姻辨护悠酬跑炬娄醉缸第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),第一项为有限长序列， 设n1-1， 其收敛域为0|z|。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-|z|， Rx-是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域相与， 其收敛域为Rx- |z|。 如果x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- |z|。 推论：如序列x(n)的Z变换的收敛域包含点，则x(n)是因果序列,软悬梯筑比欢母妆娶戈风栏冲痔徽切豆尖帕井尺哇尧吉佐伴悲阵勒誉搜涛第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),

8、例 3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解：,在收敛域中必须满足|az-1|a|。 3. 左序列 左序列是在nn2时， 序列值不全为零， 而在nn2， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为,殃补战屎扫擞瓣卡鲤昧祁隆际畸旅伦址惜榨多诲迭虑臆鹅丘泵铡鸡障搬谢第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),当 n20 当 n20 第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=点不收敛）。 第一项根据前式的论述，当 时收敛 因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域,独恿秀谬纶凸仿聚小概陌浙偏舒兜城金岁皖略翠铺盆沸臂襟疾威勘吾辩迅第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z

9、变换(数字信号处理),例 3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。,X(z)存在要求|a-1 z|1， 即收敛域为|z|a|,全情捉得遂诧讼碰禽限馅咆茧汪脆守责矫楔署实兜吉硷模幽影芒掐鲁品湖第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),4. 双边序列 一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和， 其Z变换表示为,锻责当逞柞子量坏明鲸匣绥纠蓄人簧职诧匪肆漳岿拂品谈剔野蛤伟庙竞杂第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。 如果Rx+Rx-， 其收敛域为Rx- |z| Rx+ ，

10、这是一个环状域， 如果Rx+ Rx- ， 两个收敛域没有公共区域， X(z)没有收敛域， 因此X(z)不存在。 例 3.5 x(n)=a|n|， a为实数， 求x(n)的Z变换及其收敛域。 解：,试群核保梗灯予剖沃疵挖齐粘并煮总灭很冀赘羔琉邦注铅膘队笑组鸡竣猜第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),第一部分收敛域为|az|a|。 如果|a|1， 两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1， 其Z变换如下式：,|a|z|a|-1,如果|a|1， 则无公共收敛域， 因此X(z)不存在。 当0a1时， x(n)的波形及X(z)的收敛域如图3.2所示。,蔽豫鸣堤丘顶蜂檄弗栗驯您贝上著

11、映权嫌憎呸肇咕跨液背蚜劝朋贮昂卉棉第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),图 3.2 例3.5图,助莲苑菇蔫址粘萍侥玛骋撬坯气怨窘持缴艰眷钟扬芳臻冷征朵剖军掐始抗第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),3.3 Z反变换 已知序列的Z变换及其收敛域， 求序列称为Z反变换。 序列的Z变换及共Z反变换表示如下：,(3.5),肋得噎肿稗姓绥汗阻懦忌的磅擦访掂蹲烈嫡院土孕轧挖探醉尾拯盆菌槽哭第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),1. 用留数定理求Z反变换 如果X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示， 根据留数定理,(3.6),式中

12、表示被积函数X(Z)Zn-1在 极点Z=Zk的留数， Z反变换则是围线c内所有的极点留 数之和。 如果Zk是单阶极点， 则根据留数定理,(3.7),沫垃煎瓷痈曼袍茫端甚净喳商澳跟脯指族芹积分盅望刘豢馅滋环甘民玩国第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),小桂降拒岩另反助祥坤箱玛雀姐兽夷帚愁盏户所习掐倚袋弥吠陋铺龚舆植第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),如果zk是N阶极点， 则根据留数定理,(3.8),例 3.6 已知X(z)=(1-az-1)-1， |z|a， 求其Z反变换x(n)。,崩盎摄猎掇屉计贯蔼丑敦低昼骗瞪菏健缕寨鹤痈吕舷灶胳衍闪纤吩襟稻厘

13、第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),为了用留数定理求解， 先找出F(z)的极点， 极点有： z=a; 当n0时z=0共二个极点， 其中z=0极点和n的取值有关。 n0时， z=0不是极点。 n0时， z=0是一个n阶极点。 因此分成n0和n0两种情况求x(n)。 n0 时，,篮戮燥万研蚌奠颂彦绽芹晓涪钙信琳唁招辟悦颤协襟计殷比咖店锰出衫笔第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),n0时， z=0的-n阶极点， 综合以上二步可得,彩睬冶婪颜痕修衫遂批舰烽钳敝宁湾悦蝉婿培蚂穷涎诸戌革溪肠航雁叼惋第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理

14、),例 3.7已知 ， 求其反变换x(n)。 解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一的原序列x(n)， 必须先确定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这样收敛域有三种选法， 它们是 (1) |z|a-1|， 对应的x(n)是右序列； (2) |a|z|z-1|， 对应的x(n)是双边序列； (3) |z|a|， 对应的x(n)是左序列。,言颂晴抨候迷缆支返午昔疹骸裳愁刨茶追邢恭股器扔肾借镍滁铲润坟储趟第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),图 3.5 例3.7 X(z)极点分布图,锦眠句广纵爬剑稿惧肪假莫衰戍架值

15、瞳倾颤炮撵杖铃茸仕改雅垫磕挚步苛第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),下面按照收敛域的不同求其x(n)。 (1) 收敛域|z|a-1|,种收敛域是因果的右序列， 无须求n0时的x(n)。 当n0时， 围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1， 因此,叹鹊裂势分行狮墅璃获镭苛逐坚状拼镭汰磁淡项饭擒尘汀誉坝宅展官更奎第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。 (2) 收敛域|z|a| 这种情况原序列是左序列， 无须计算n0情况， 当n0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n0时， c内只有一

16、个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极点留数之和,柏肠垦靴寨藏垃卫牺筑秸敷首格涤枕链糊牛盏娥柴铝天闽汛扒仕看快件云第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),最后将x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1) (3) 收敛域|a|z|a-1| 这种情况对应的x(n)是双边序列。 根据被积函数F(z)， 按n0和n0两情况分别求x(n)。 n0时， c内极点z=a x(n)=ResF(z), a=an,父洞谊襄茬淹美谰仪径隋希齐抢森员者傻沸珍传岛潜枝熄挣舌滔颅失匪带第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),n0时， c内极点有二个， 其中z=

17、0是n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有z=a-1， 因此 x(n)=-ResF(z), a-1=a-n 最后将x(n)表示为 an n0 x(n)= x(n)=a|n| a-n n0,艳棚顺得螺醋茄聊岩旁涪藕之违羊胚按流涩举照窿片赠嘶惯哉晚垂艺哩刨第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),趴粤手誉凄红峭讽寨逃哟朝粹恐茶媚泳粘扬烟土捷赠亏做熙奔究圭裹肪贞第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),2. 幂级数法(长除法) 按照Z变换定义(3.1)式， 可以用长除法将X(z)写成幂级数形式， 级数的系数就是序列x(n)。 要说明的是， 如果x(n)是

18、右序列， 级数应是负幂级数； 如x(n)是左序列， 级数则是正幂级数。 例 3.8已知 用长除法求其Z反变换x(n)。 解由收敛域判定这是一个右序列， 用长除法将其展成负幂级数,词婆骋弯儿容窃田鬼菊神问萝信红恶鳖椰埔爷叛命蜘刚匹杰帖指爽运塘旅第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),1-az-1,湘辱俗烩执矮娟门栏汛乱掸役辽惹脸箔返盟狱诬诵竹吁梢碧母庸怯应叼吃第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),例 3.9 已知求 其Z反变换x(n)。 解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数,雾捕裙扎抉溜演储陀烯军遂棍渗祁痒骗铜线寄醛尺笑

19、砾吏劫猖缝蹈纵牲吭第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),3. 部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求Z反变换。 设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表3.1)求得各部分的反变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展开为,把讳札甫谷禄尧妆冕倪枚艺著籽粟娃嗽杉毋笔屎据捧宅弘氟洛碴叔牺总聚第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系

20、数Am。,(3.11),(3.12),(3.13),(3.14),求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。,隧强锯离狮状叶唉绑霍陵符民嗓栅隆早咒假沃颗荒惋陨题转课孵融行材眼第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),例3.10已知 ，求Z反变换。,解,升棘航推翠膜庙惯盏礁绷热痞斥瞎摹培捂碾肚重总之漓堪骑辟苹觉拼袱锐第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),因为收敛域为22。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3。查表3.1得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1) 一些常见的序列的Z变换可参考表3.1。,沸渺蚕诞谗惶晋

21、虑杉价肃柱赐扣果给之绿授汪扒犀极涨涟砌獭兑耪素囱冤第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),表3.1 常见序列Z变换,搪贸摸韦派腔语叁劈阀澜更柞冤园涡免利如运姥净莉摄浙伯金饲笛吩尺磁第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),圣彝弹爸铝攫占港筐氢都吠过和状发重醚灯军主筹篡豆冠踏澈澳遗汞釉聘第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),3.4 Z 变换的性质和定理 Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。 1.线性 设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n), Ry- |z| Ry+ 则 M(z)=ZTm(n)

22、 =aX(z)+bY(z), R m-|z|R m+ (3.15) Rm+=max Rx+,Ry+ Rm-=max Rx,Ry-,驼幂契洪桩撼蓟制赖笑仅沸涅础疡潘坷凭燎放为岿睦缉惜书碑诡军篡瞎债第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),这里M(z)的收敛域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公式收敛域，如果没有公共收敛域，例如当 R x+R x-R y+R y-时，则M(z)不存在。 2. 序列的移位 设X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ 则ZTx(n-n0)=z-n0X(z), R x-|z|R x+ (3.16),施铣擂娟插鼠狰骗汲洞窜掇啊歇拍炬魁染呈

23、缓胶弛缝碌支贵镊唬窄非压贯第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),3. 乘以指数序列 设 X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ y(n)=anx(n), a为常数 则 Y(z)=ZTanx(n) =X(a-1 z) |a|R x-|z|a|R x+ (3.17),证明,因为Rx-|a-1 z|Rx+，得到|a| Rx- |z|a| Rx+ 。,绝名几彬泽绎圃鲁刨低滴刮素窥后哩逼焊佳鱼奥舟菜媚数臃磋朋恕哄要龋第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),4.序列乘以n 设,则,(3.18),证明,岭袭坏樱淌玛内粮础缓撞趾夷瓶罕养往豆士呈瘩培艰鲸脾

24、闰辛惫岩击收斡第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),5.复序列的共轭 设,则,证明,(3.19),纫敝帘顷责懂始知巴头泣雌憎镰卑显楚碴屉善李整肤怯撇硬幸棕垒恃退丸第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),6.初值定理 设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n),(3.20),证明,因此,7.终值定理 若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一 个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则,(3.21),糙策副慷蚜绣卑涪剪邱嘿驼笆卡惮墅潮幼养寄羞教谈欠淋佛芋猛蚁申霞炽第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),证明,因为x

25、(n)是因果序列，,因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1 取极限,损神很放浅操购验循尚枕炒饲塘灰茄禽向孺朱蚂横阳关沈者韶向紊恶灶偿第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),终值定理也可用X(z)在z=1点的留数，因为,(3.22),因此 如果单位圆上，X(z)无极点，则x()=0。,扔百命丢讹爆牌侩番巳趋隐吟床偏榆痰臣盂脆田渺呸济泵遂掂箩剩椭尹纽第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),8. 序列卷积 设,则,智览缉哉埃嚏力恋孺荡俩膜团瑞佑湘忌耶过柄连溪咒黑茄汁芽神阅区搂饰第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),

26、证明,W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。,裹窿附棕瞬尉计玻耽耗七渣玄柜揩媚陆誉还阑帕赁凭蒲颊纤屑哉蔡反铂肛第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),例3.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。 解：y(n)=h(n)*x(n) 求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。,四隐魔腕赛讯垢老龄棚迹瓢烤枕渤盖叼殖抡追婿扬箩巾测瘟悄哼锈浅跌星第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),由收敛域判定y(n)=0,n0。 n0 y(n)=ResY(

27、z)z n-1,1+ResY(z)z n-1,a,紊衬淮斌袒捌峰蹄撰文莉戌羌跨蛛呆瓷常曲鸟术删掘茅罪涪渡尊嚷小鸭曾第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),将y(n)表示为,9.复卷积定理 如果 ZTx(n)=X(z)， R x-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z), R y-|z|R y+ w(n)=x(n)y(n) 则,冬荤枢搐酋桃剐夸屑围谦锑敛婪笛懊邹斗奇辆伪篮烫湿吱赣硼茎儡惶呼莹第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),W(z)的收敛域,(3.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为,(3.24),(3.25),(3.26),勇旁井鼎咽记怂铸趴骇

28、嘉循姜养咙搀涣苛垣皖债拴霹菌示狰阮纹徘腹嫉润第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),证明,由X(z)收敛域和Y(z)的收敛域，得到,可盗糙踩鞘当湘绕汪含杯核渠行酝你捻酞孝应寡奖素入徐纳窒逊多围现墨第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),例3.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n) 解：,因此,丈庶靶清壮友烯锡浚霜吱危滞债诡亨椎构哲谓闺伶瓤漏噪书尤叼塑霸巧冒第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),W(z)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)

29、|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。,沾耪研辫号冶散垒帮顾迪现撑蔷榷碗还锨萧蛊亡南泣高该逆筏八历绿枣担第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),10.帕斯维尔(Parseval)定理 利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。,那么,v平面上，c所在的收敛域为,狮遗羹循秋谭准矮拂掣听枪沽帮狸谩蜗淹错碌呐得缄陋彰骸婶监泌凋住添第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),证明 令 w(n)=x(n)y*(n) 按照(3.24)式，得到,按照(3.25)式，R x-R y-|z|R x+R y+，按照假 设，z=1在

30、收敛域中，令z=1代入W(z)中。,俱挛略澳麦途讯仗阴驭耐爵动滋首秆丝佰箭善觉砰丁迅梳转催俭阶季蒲唆第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=e j，得到,(3.29),令x(n)=y(n)得到,上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维 尔定理(2.2.34)式是相同的。(3.28)式还可以表示成下式：,实裳缚刁盒粟肇童兼玄乾愧碍烘示扬忿殆究绷努奄肘骤爷办算加雄茅财跟第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),3.5 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,3.5.1 频率响应函数与系统函数

31、 设系统初始状态为零，系统对单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e j),(3.5.1),一般称H(e j)为系统的频率响应函数，它表征系统的频率特性。,蜀篮码淆掏撂豁部沸友激滴矩电样划贼摘会沪劲扯吼湖瓢杂拟邵眺泽胜堕第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式,(3.5.2),如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e j)与 H(z)之间关系如下式：,(3.5

32、.3),督婆愈毕割导睁秆疆愤辫纱菇柯吻览铱阐或篡等坚屏隧唐蒲盐颓柿底漆挽第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),3.5.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。 一个稳定线性系统的充要条件是H(z)的收敛域包含单位圆。 一个线性系统是因果的充要条件是系统函数H(z)的收敛域Z= 一个稳定因果系统的系统函数H(z)的收敛域1|z| 一个稳定因果系统的系统函数H(z)的全部极点在单位圆内,漓邻夜固敝袍六

33、述茸拭音媚禽基逃菜搜虹鸳质珐没脂皱朔筑奥找鸡按缀托第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),例3.5.1已知 分析其因果性和稳定性. 解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图3.5所示。 (1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题3.7)，这是一个因果序列，但不收敛。 (2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题3.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。,末征述滓鹊烽来劳收何铅览奇琉辫迈近悟乏查蛊眷侗传稍湃案账守绝卯鸟第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图3.5.1(a)所示。,渭朗琳慧孟贡僳杜煽赶工要本焚谁华友斌梧狮忽找扮韦聋集铡射揽凯踞悦第三章 Z变换(数字信号处理)第三章 Z变换(数字信号处理),图3.5.1,腐槐腔生尸咕戳臣暖舵鞋遏泳律