2025-2026学年福建省厦门一中八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年福建省厦门一中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点Q的坐标为（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（2，3）3．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，3，6 B．2，6，8 C．4，5，8 D．4，4，104．（4分）丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④5．（4分）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上（）A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC6．（4分）若a为正整数，则（a6）3表示的是（）A．9个a相加 B．3个a6相乘 C．9个a相乘 D．3个a6相加7．（4分）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，发现一道题：﹣4xy（3y﹣2x﹣3）＝﹣12xy2□+12xy，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（）A．+8x2y B．﹣8x2y C．+8xy D．﹣8xy28．（4分）如图，用圆规和直尺作图，BD不能把△ABC分成两个等腰三角形的是（）A． B． C． D．9．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE＝2（）A． B．1 C． D．210．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点D处，绕点D任意旋转三角板，BC于点E，F（点E，F与点A，B，C不重合），连接EF，②△ADE与△EFC有可能全等，③△CEF的周长等于△ABC的周长的一半（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，第11题每空2分，其余每题4分，共32分）11．（12分）计算：a2•a4＝；（a2）3＝；（ab）2＝；6a4÷（2a）＝；a0＝（a≠0）；＝．12．（4分）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．13．（4分）如图，兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔在某一位置使得AO＝CO，则蜡烛实际火焰AB的高度为cm．14．（4分）如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，则∠EFD＝．15．（4分）如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的正方形ALMN和两个边长为6的正方形DEFG、HIJK．若阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为．16．（4分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，ON＝AD，MN⊥OD交AB与点M，BM＝BH，DM＝5．三、解答题（本大题共9小题，共78分）17．（8分）计算：（1）（a+b）（a+2b）；（2）（6a8﹣4a6+2a2）÷（2a2）．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）（x﹣2）﹣x（x+1）．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）（4，2）、C（2，3）．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）△ABC是；（填“直角三角形”，“锐角三角形”或“钝角三角形”）（3）在x轴上找一点P，使PA+PB最小，则P点的坐标为．20．（8分）如图，点B，A，E在同一条直线上，点A为DC的中点，求证：DE＝CB．21．（8分）如图，△ABC．（1）尺规作图：在BC上求作一点D，使得∠ADC＝2∠B；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，DE⊥AC于点E，DE，若AD＝CD22．（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，连接DE．求证：DE平分∠ADC．请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据．证明：如图，过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H．∵EF⊥AB，∠AEF＝60°，∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣60°＝30°．∴∠CAD＝180°﹣∠BAD﹣∠EAF＝°．∴∠EAF＝∠CAD，即AC平分∠．又∵EF⊥AF，EG⊥AD，∴．（）．∵BE是角平分线，EF⊥AB，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴．（等量代换）又∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴点E在∠ADC的平分线上，（角的内部，）∴DE平分∠ADC．23．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，连接DA并延长交直线CP于点E．（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；（2）若AE＝1，CE＝5，求AD的长．24．（10分）定义：对于依次排列的多项式x+a，x+b，x+c（a，b，c，d是常数），当它们满足：（x+a）（x+d）﹣（x+b）（x+c）＝M，则称a，b，c，d是一组平衡数，x+1，x+6，因为（x+2）（x+5）﹣（x+1）（x+6）＝（x2+7x+10）﹣（x2+7x+6）＝4，所以2，1，6，5是一组平衡数（1）已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M；（2）若a，b，c，d是一组平衡数，且a＝﹣4，请直接写出b与c的数量关系；（3）若n2+n，n2+n+2，c，d是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为142+n﹣c的值．25．（12分）【问题提出】（1）如图1，△ABD、△ACE都是等边三角形，求证：BE＝DC．【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，从而解决问题．【方法应用】（2）等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，若点D在边BC上，连接CF．求证：CE+CF＝CD．（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ，如果有，求出它的最小值，请说明理由．

2025-2026学年福建省厦门一中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DACABBADBC一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形B、不是轴对称图形C、不是轴对称图形D、是轴对称图形；故选：D．2．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点Q的坐标为（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（2，3）【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称点Q的坐标为（﹣8，故选：A．3．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，3，6 B．2，6，8 C．4，5，8 D．4，4，10【解答】解：A、2+3＜8，故A不符合题意；B、2+6＝2，故B不符合题意；C、4+5＞5，故C符合题意；D、4+4＜10，故D不符合题意．故选：C．4．（4分）丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解答】解：根据“ASA”，由①②可确定原三角形玻璃的大小．故选：A．5．（4分）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上（）A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC【解答】解：∵点D在BC上，∴∠ADB+∠ADC＝180°，∵∠ADB＝∠ADC，∴2∠ADC＝180°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，故A不符合题意；∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝∠C与点D所在的位置没有关系，∴由∠B＝∠C不能说明AD⊥BC，故B符合题意；∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，故C不符合题意；∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，故D不符合题意，故选：B．6．（4分）若a为正整数，则（a6）3表示的是（）A．9个a相加 B．3个a6相乘 C．9个a相乘 D．3个a6相加【解答】解：（a6）3＝a18，所以表示的是2个a6相乘或18个a相乘．故选：B．7．（4分）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，发现一道题：﹣4xy（3y﹣2x﹣3）＝﹣12xy2□+12xy，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（）A．+8x2y B．﹣8x2y C．+8xy D．﹣8xy2【解答】解：﹣4xy（3y﹣7x﹣3）＝﹣4xy•2y+4xy•2x+3xy×3＝﹣12xy2+6x2y+12xy．∴□内应填写+8x8y．故选：A．8．（4分）如图，用圆规和直尺作图，BD不能把△ABC分成两个等腰三角形的是（）A． B． C． D．【解答】A．尺规作图作的∠ABC的角平分线，由图可知，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠DBC＝∠DBA＝36°，∠BDC＝72°，∴AD＝BD，BC＝BD，∴△ABD和△BCD为等腰三角形，∴BD能把△ABC分成两个等腰三角形，故A不符合题意；B．尺规作图作的线段AC的垂直平分线，由图可知，∠C＝∠A＝45°∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴AD＝BD，DC＝BD，∴△ABD和△BCD为等腰三角形，∴BD能把△ABC分成两个等腰三角形，故B不符合题意；C．∵∠A＝30°，∴，∠C＝60°，有尺规作图可得，∴BC＝CD＝BD＝AD，∴△ABD和△BCD为等腰三角形，∴BD能把△ABC分成两个等腰三角形，故C不符合题意；D．∵∠A＝∠C＝30°，∴AB＝AD＝BC，但不能说明△BCD为等腰三角形，∴BD不能把△ABC分成两个等腰三角形，故D符合题意；故选：D．9．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE＝2（）A． B．1 C． D．2【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝30°，BE＝2，∴BE＝CE＝2，∴∠B＝∠DCE＝30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝8∠DCE＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°．在Rt△CAE中，∵∠A＝90°，CE＝2，∴AE＝CE＝1．故选：B．10．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点D处，绕点D任意旋转三角板，BC于点E，F（点E，F与点A，B，C不重合），连接EF，②△ADE与△EFC有可能全等，③△CEF的周长等于△ABC的周长的一半（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：如图，连接CD，∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，∴．CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∵DE⊥DF，∴∠ADE+∠CDE＝∠FDC+∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，DE＝DF；∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+AE+EF＝AC+EF，∵ABC的周长＝AC+BC+AB＝2AC+2AD＝4（AC+AD），∵EF、AD不一定相等，∴△CEF的周长不一定等于△ABC的周长的一半，故③错误；∵∠C＝90°，∴△CEF是直角三角形，∵∠A＝45°，点E，B，C不重合，∴ㄥADE≠90°，∴当∠AED＝90°时，△ADE是等腰直角三角形，又∵△ADC也为等腰直角三角形，AD＝CD，∴AE＝CE＝DE＝AC，而∠FDB＝180°﹣∠ADE﹣∠EDF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴△FDB也为等腰直角三角形，同理可证CF＝BF＝DF＝CB＝，在△ADE与△EFC中，，∴△ADE≌△EFC（SAS），故②正确；∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形CEDF＝S△CED+S△CDF＝S△CED+S△ADE＝S△ACD＝S△ABC.故④正确，综上，正确的结论有①②④，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，第11题每空2分，其余每题4分，共32分）11．（12分）计算：a2•a4＝a6；（a2）3＝a6；（ab）2＝a2b2；6a4÷（2a）＝3a3；a0＝1（a≠0）；＝﹣1．【解答】解：a2•a4＝a4；（a2）3＝a7；（ab）2＝a2b5；6a4÷（3a）＝3a3；a5＝1（a≠0）；（）2025×（﹣3）2015＝﹣8；故答案为：a6；a6；a8b2；3a6；1；﹣1．12．（4分）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为80°．【解答】解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2＝80°，∴顶角为80°．故填80°．13．（4分）如图，兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔在某一位置使得AO＝CO，则蜡烛实际火焰AB的高度为2cm．【解答】解：在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD，∵蜡烛成像火焰高度CD为2cm，∴蜡烛实际火焰AB的高度AB为2cm，故答案为：4．14．（4分）如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，则∠EFD＝45°．【解答】解：由翻折的性质可知；∠AFE＝∠EFD．∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∠C＝60°．∵ED⊥BC，∴△EDC为直角三角形，∴∠FDB＝30°，∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，∴∠EFD＝45°．故答案为：45°15．（4分）如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的正方形ALMN和两个边长为6的正方形DEFG、HIJK．若阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为90．【解答】解：设长方形ABCD的长为a，宽为bS1的长为：8﹣6＝2，宽为：b﹣86＝2（b﹣8）S8的长为：8+6﹣a＝14﹣a，宽为：6+6﹣b＝12﹣b2＝（14﹣a）（12﹣b）；S6的长为：a﹣8，宽为：b﹣68＝（a﹣8）（b﹣6）．由条件可知4（a﹣8）（b﹣6）+7（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝2，解得ab＝90，故答案为：90．16．（4分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，ON＝AD，MN⊥OD交AB与点M，BM＝BH，DM＝53.5．【解答】解：如图，过点A作AP⊥OD交OD的延长线于点P．∵∠AOB＝90°，HN⊥OD，∴∠TON+∠ONT＝90°，∠H+∠ONT＝90°，∴∠NOT＝∠H，∵BM＝BH，∴∠H＝∠BMH，∵AP⊥OP，NH⊥OP，∴AP∥NH，∴∠DAP＝∠BMH，∴∠NOT＝∠DAP，在△OTN和△APD中，，∴△OTP≌△APD（AAS），∴OT＝AP，在△APO和△OTH中，，∴△APO≌△OTH（AAS），∴OA＝OH＝12，∵∠MDT+∠DMT＝90°，∠BOD+∠AOP＝90°，∴∠BDO＝∠BOD，∴BD＝OB，∴5+BM＝12﹣BH，∴5+BM＝12﹣BM，∴BM＝6.5．故答案为：3.7．三、解答题（本大题共9小题，共78分）17．（8分）计算：（1）（a+b）（a+2b）；（2）（6a8﹣4a6+2a2）÷（2a2）．【解答】解：（1）（a+b）（a+2b）＝a2+4ab+ab+2b2＝a5+3ab+2b3；（2）（6a8﹣7a6+2a3）÷（2a2）＝3a8÷（2a3）﹣4a6÷（7a2）+2a5÷（2a2）＝6a6﹣2a6+1．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）（x﹣2）﹣x（x+1）．【解答】解：原式＝x2﹣3x+6﹣x2﹣x＝﹣4x+3，当x＝时，原式＝﹣8×．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）（4，2）、C（2，3）．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）△ABC是直角三角形；（填“直角三角形”，“锐角三角形”或“钝角三角形”）（3）在x轴上找一点P，使PA+PB最小，则P点的坐标为（2，0）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C4即为所求；（2）由网格可知：△ABC是直角三角形，故答案为：直角三角形；（3）如图，点P即为所求，0），故答案为：（2，8）．20．（8分）如图，点B，A，E在同一条直线上，点A为DC的中点，求证：DE＝CB．【解答】证明：∵DE∥BC，∴∠D＝∠C，∵点A为DC的中点，∴AD＝AC，在△ADE和△ACB中，，∴△ADE≌△ACB（ASA），∴DE＝CB．21．（8分）如图，△ABC．（1）尺规作图：在BC上求作一点D，使得∠ADC＝2∠B；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，DE⊥AC于点E，DE，若AD＝CD【解答】（1）解：如图，点D即为所求；（2）证明：∵AD＝DC，DE⊥AC，∴∠ADE＝∠CDE，∵∠ADC＝2∠B＝∠B+∠DAB，∴∠CDE＝∠B，∴DE∥AB．22．（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，连接DE．求证：DE平分∠ADC．请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据．证明：如图，过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H．∵EF⊥AB，∠AEF＝60°，∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣60°＝30°．∴∠CAD＝180°﹣∠BAD﹣∠EAF＝30°．∴∠EAF＝∠CAD，即AC平分∠DAF．又∵EF⊥AF，EG⊥AD，∴EF＝EG．（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵BE是角平分线，EF⊥AB，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH．（等量代换）又∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴点E在∠ADC的平分线上，（角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上．）∴DE平分∠ADC．【解答】证明：如图，过点E作EG⊥AD于点G，∵EF⊥AB，∠AEF＝60°，∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAD＝180°﹣∠BAD﹣∠EAF＝30°，∴∠EAF＝∠CAD，即AC平分∠DAF，又∵EF⊥AF，EG⊥AD，∴EF＝EG．（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵BE是角平分线，EF⊥AB，∴EF＝EH，∴EG＝EH．（等量代换），又∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴点E在∠ADC的平分线上，（角的内部，∴DE平分∠ADC，故答案为：30，DAF，角平分线上的点到角两边的距离相等，到角两边的距离相等的点在角的平分线上．23．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，连接DA并延长交直线CP于点E．（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；（2）若AE＝1，CE＝5，求AD的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，CB＝CA，∵∠ACE＝20°，∴∠ECB＝60°﹣20°＝40°，由翻折的性质可知，CB＝CD，∴CA＝CD，∠ACD＝40°﹣20°＝20°，∴∠CAD＝∠D＝80°，∵∠DAC＝∠CED+∠ACE，∴∠CED＝80°﹣20°＝60°．（2）过点C作CT⊥DE于T．设∠ECA＝α，∴∠ACD＝60°﹣2α，∵CA＝CD，∴∠CAD＝（180°﹣60°+2α）＝60°+α，∵∠DAC＝∠E+∠ACE，∴∠E＝60°+α﹣α＝60°，∵CT⊥AD，CA＝CD，∴AT＝DT，∴∠ECT＝30°，∴ET＝EC＝2.5，∴AT＝DT﹣AE＝8.5﹣1＝7.5，∴AD＝2AT＝2．24．（10分）定义：对于依次排列的多项式x+a，x+b，x+c（a，b，c，d是常数），当它们满足：（x+a）（x+d）﹣（x+b）（x+c）＝M，则称a，b，c，d是一组平衡数，x+1，x+6，因为（x+2）（x+5）﹣（x+1）（x+6）＝（x2+7x+10）﹣（x2+7x+6）＝4，所以2，1，6，5是一组平衡数（1）已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M；（2）若a，b，c，d是一组平衡数，且a＝﹣4，请直接写出b与c的数量关系；（3）若n2+n，n2+n+2，c，d是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为142+n﹣c的值．【解答】解：（1）根据定义，平衡因子M＝（x+a）（x+d）﹣（x+b）（x+c），代入a＝2，b＝4，d＝7，∴（x+2）（x+9）﹣（x+2）（x+7）＝（x2+11x+18）﹣（x6+11x+28）＝18﹣28＝﹣10，∴M＝﹣10；（2）∵a，b，c，d是一组平衡数，d＝3，∴a+d＝b+c，∴b+c＝﹣4+3，∴b+c＝﹣1；（3）已知a＝n2+n，d＝n5+n+2，由平衡数定义：a+d＝b+c，代入a＝n2+n，b＝n7+n+2，得：（n2+n）+d＝（n2+n+2）+c，∴d＝c+2，平衡因子M＝ad﹣bc＝14，