圆的定义及垂径定理.ppt

1、一元一次函数与反比例函数练习题,1、如图，在直角坐标系xOy中，直线y=1/2x+2与x轴，y轴分别交 于A，B两点，以AB为边在第二 象限内作矩形ABCD，使AD=5 （1）求点A，点B的坐标，并求边AB的长； （2）过点D作DHx轴，垂足为H，求证：ADHBAO； （3）求点D的坐标,解答： （1）解：在y=12x+2中，令y=0，解得x=-4，令x=0，解得y=2，因而A（-4，0），B（0，2），在RtAOB中，ABOA2+OB242+2225；（2）证明：由ADH+DAH=90，BAO+DAH=90，BAO=ADH，又AOB=DHA=90，ADHBAO；（3）解：ADHBAO，DHA

2、OAHBOADBA，即DH4AH2525，DH=2，AH=1，D（-5，2）,2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y 轴于A、B两点，与反比例函数ym/x的图象交于C、D两点，DEx轴于 点E，已知C点的坐标是（6，-1），DE=3 （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求CDE的面积 （3）根据图象写出：当x为何值时， 一次函数值大于反比例函数值,解答： 解：（1）点C（6，-1）在反比例y=mx图象上，将x=6，y=-1代入反比例解析式得：-1=m6，即m=-6，反比例解析式为y=-6x，点D在反比例函数图象上，且DE=3，即D纵坐标为3，将y=3代

3、入反比例解析式得：3=-6x，即x=-2，点D坐标为（-2，3），设直线解析式为y=kx+b，将C与D坐标代入得：6k+b12k+b3，解得：k12b2，一次函数解析式为y=-12x+2；（2）过C作CHx轴于点H，C（6，-1），CH=1，对于一次函数y=-12x+2，令y=0，求得x=4，故A（4，0），由D坐标（-2，3），得到E（-2，0），AE=OA+OE=6，SCDF=SCAE+SDAE=1261+1263=12,3、如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机欲测量一岛屿两端A、B 的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为 60，然后沿着平行于AB的方向水平飞

4、行了500米，在点D测得端点B的 俯角为45，求岛屿两端A、B的距离（结果保留根号）,解析： 解：过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F，ABCD，AEF=EFB=ABF=90，四边形ABFE为矩形AB=EF，AE=BF由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米在RtAEC中，C=60，AE=100米CE=AEtan60=1003=10033（米）在RtBFD中，BDF=45，BF=100米DF=BFtan45=1001=100（米）AB=EF=CD+DF-CE=500+100-10033=600-10033（米）答：岛屿两端A、B的距离为（600-10033）米,4、某宾馆为庆

5、祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅如图所示，一条幅 从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定小明为了测量此条幅的长度，他 先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31，再沿DB方向前进16米到达E处， 测得点A的仰角为45已知点C到大厦的距离BC=7米，ABD=90请根 据以上数据求条幅的长度（结果保留整数参考数据：tan310.60， sin310.52，cos310.86）,解析： 解：设AB=x米AEB=45，ABE=90，BE=AB=x米在RtABD中，tanD=ABBD，即tan31=xx+16x=16tan311tan31160.610.6=24即AB24米在RtABC中，AC=BC2+AB27

6、2+242=25米答：条幅的长度约为25米,6、如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向， AB=2（单位：km）有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60的 方向，从B测得小船在北偏东45的方向 （1）求点P到海岸线l的距离； （2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时， 从B测得小船在北偏西15的方向求点C与点B之间的距离（上述两 小题的结果都保留根号）,第五章 中心对称图形（二）,5.1 圆,引入：举例说明生活中见到的圆,线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P运动所形成的图形叫做圆。 总结：到定点的距离等于定长的点的集合， 定点叫做圆

7、心，定长叫做半径,一、圆的定义：,1.要确定一个圆,必须确定圆的_和_,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.,这个以点A为圆心的圆叫作“圆A”，记为“A”.,二、圆的有关概念,1、弦：连接圆上任意两点的线段；经过圆心的弦交直径。,2、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 圆上任意一条直径的两个端点分成圆的两条弧，每条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的叫劣弧。,3、圆心角：顶点在圆心的点,4、同心圆：半径不相等的两个圆 等圆：能够相互重合的两个圆 等弧：在等圆或同圆中，能够互相重合的弧,判断题,1、直径是弦 2、弧是半圆 3、长度相等的弧是等弧 4、经过圆内一定点可以做无数条弦 5

8、、经过院内一点可以做无数条直径,如图，设O 的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那么,OAr， OBr， OCr,三、点与圆的位置关系,设O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：,如图:已知点P,Q.且PQ=4cm.,画出下列图形:到点P的距离等于2cm的点的集合;到点Q的距离等于3cm的点的集合;,例1. 如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米,（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A， 则点B、C、D与圆A的位置关系如何？,（2）以点A为圆心，4厘米为半径作 圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系 如何？,（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与

9、圆A的位置关系如何？,典型例题,例2. 已知：如图，BD、CE是ABC的高，M是BC的中点。试问：点B、C、D、E在以点M为圆心的圆上吗？,例4：如图，CD是O的直径，EOD=84，AE交O于点B，且 AB=OC，求A的度数,例5：某点到圆周上的最大距离为8cm，最小距离为6cm,求该圆的半径长,例6：第十五号台风“卡努”登陆浙江，A市接到台风警报时，台风中心 位于A市正南方向120km的B处，正以40km/h的速度沿BC方向移动。 已知ABC=30，如果在距离台风中心100km（包括100km）的区域内 都将受到台风影响试问A市受到台风影响的时间是长？,问题1：请用点与圆的位置关系描述A市何

10、时受到台风影响？ 问题2：请用点到圆心的距离和圆的半径的大小关系表示出A市何时受台风影响？,1、O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 。,2、O的半径6cm，当OP=6时，点A在 ； 当OP 时点P在圆内；当OP 时，点P不在圆外。,3、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作A，则点B在A ；点C在A ；点D在A 。,4、已知AB为O的直径，P为O 上任意一点，则点关于AB的对称点P与O的位置为( ) (A)在O内 (B)在O 外 (C)在O 上 (D)不能确定,练 习,5.2

11、圆的对称性,一、基本概念,1、圆是中心对称图形，圆心是对称中心 2、原始轴对称图像，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴,你能设计一种方法，找到圆 或是一段弧的的圆心吗？,？,二、圆心角、弧、弦长之间的关系,（对等定理）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦、 两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等。,圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,例：如图，AOB=90，B=20，以O为圆心，OA长为半径的圆交AB于点C，求 AC的 度数,三、垂径定理（重点）,AB是O的一条弦.作直径CD,使CDAB,垂足为E.,你能发现图中有哪些等量关系?,探 索,AB是O的一条弦.作直径

12、CD,使CDAB,垂足为E.,你能发现图中有哪些等量关系?,探 索,例1.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C，D两点，AC与BD相等吗？为什么？,P,A,C,D,B,O,典型例题,.,例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3 ， (1)求圆O的半径。 （2）若点P是AB上的一动点， 试求OP的范围。,变式1:在半径为5 的圆O中， 有长8 的弦AB，求点O与AB的距离。,变式2：在半径为5 的圆O中，圆心O 到弦AB的距离为3 ，求AB的长。,A,B,例3.如图，圆O的弦AB8 ，DC2，直径CEAB于 D，求半径OC的长。,O,E,A,C

13、,D,B,例4.如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， CEB=30， DE=9，CE=3，求弦AB的长。,D,A,O,E,B,C,例5、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求 拱桥跨度AB的长。,例6.一弓形铁片，测得切口AB112mm，高为32mm，请你计算所 在圆的半径,例7.已知O的直径是10cm,O的两条平行弦AB=6cm,CD=8cm, 求弦AB与CD之间的距离。,3,4,5,5,4,3,1、储油罐的截面直径为650mm，装入一些油后，测得油面的宽度AB600mm，求油的深度 2、如图,AB为O的一固定直径,过上半圆上任意一点C作CDAB, OCD的平分线交O

14、于P,当点C在上半圆(不包括A、B两点)上移动时,点P的位置 ( ) A.到CD的距离保持不变 B.位置不变 C.等分DB. D.随C点的移动而移动,练 习,A,D,O,E,C,B,3、如图,ABC内接于O, ADBC于D,AE平分OAD交O于E, 求证:CE=BE,你可以写出相应的命题吗?,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论., CD是直径, AM=BM, CDAB,垂 径 定 理 的 逆 定 理,CDAB,AB是O的一条弦,且AP=BP.,过点P作直径CD.,由 CD是直径, AP=BP,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,垂

15、径 定 理 的 逆 定 理,垂 径 定 理 的 逆 定 理,弦,（不是直径）,并且平分弦所对的弧,平分,的直径,垂直于弦，,?!,推论1: (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所

16、对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦., CD是直径, AM=BM, CDAB,垂径定理的推论,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?,提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:,圆的两条平行弦所夹的弧相等.,垂径定理 的推论,例1.判断是非：,（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（2）平分弦的直线，必定过圆心。,（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。,练习,(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。,（5）

17、平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。,（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。,C,D,A,B,E,例：平分已知弧AB,已知：弧AB,作法：, 连结AB.,作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.,点E就是所求弧AB的中点。,求作：弧AB的中点,C,D,A,B,E,F,G,变式一： 求弧AB的四等分点。,m,n,C,D,A,B,M,T,E,F,G,H,N,P,错在哪里？,等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线。,作AB的垂直平分线CD。,作ATBT的垂直 平分线EFGH,你能破镜重圆吗？,A,B,A,C,m,n,O,作弦ABAC及它们的垂直平分线mn，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。,破镜重圆,A,B,C,m,n,O,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。,作图依据：,如图,AB、AC为弦,OMAB于M,ONAC于N,BC=4,求MN的长,A,C,O,M,N,B,如图,AB是O的直径,CD是O的弦,MCCD, NDCD,分别交AB于M、N,AM与BN大小怎样?,C,D,O,A,B,N,M,L,L,如图,点A是半圆上的三等分点,B是弧AN的中点,P是直径MN上一动点,圆O的半径是1,问AP+PB的最小值.,A,B,P,M,N,O,已知等腰ABC的三个顶点都在半径为5的O上,如果底边BC的长为8,