空间向量与立体几何

1、考纲分析： 1.空间向量及其运算:了解空间向量的概念,了解空 间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示.掌握空间向量的线性运算及坐标 表示.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运 用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用:理解直线的方向向量与平面的,学案 空间向量与立体几何,法向量,能运用向量语言表述直线与直线,直线与 平面,平面与平面的垂直关系与平行关系. 能运用向量的方法证明有关直线与平面位置关 系的一些定理(包括三垂线定理). 能运用向量的方法解决直线与直线,直线与平面, 平面与平面的夹角的计算,了解向量方法在研究立 体几何中的应用.,1.(2009

2、北京)若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面 边长为1,AB1与底面ABCD成60角,则A1C1到底面 ABCD的距离为 ( ) A. B.1 C. D.,D,2.(2009全国)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中, AA1=2AB,E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成 角的余弦值为 ( ) A. B. C. D.,C,3.(2009四川)如图,已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都相等, M是侧棱CC1的中点,则异面直线 AB1和BM所成的角的大小是_. 答案 90 4.若一个底面边长为 棱长为 的正六棱柱的所有 顶点都在一个球的面上,则此球的体积为_.,题型一 利用空间

3、向量证明空间位置关系 【例1】如图,四棱锥P ABCD的底面是正方形,PD底面 ABCD,点E在棱PB上. (1)求证:平面AEC平面PDB; (2)当PD= AB且E为PB的中点时, 求AE与平面PDB所成的角的大小.,如图,以D为原点建立空间直 角坐标系Dxyz.设AB=a,PD=h,则 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0), D(0,0,0),P(0,0,h). (1)证明 =(-a,a,0), = (0,0,h), =(a,a,0), ACDP,ACBD. 又BDDP=D, AC平面PDB. 平面AEC平面PDB.,(2)解 当PD= AB且E为PB的中点时,P(0,0

4、, ), 设ACBD=O,则 连结OE.由(1)知AC平面PDB于O. AEO为AE与平面PDB所成的角. AEO=45,即AE与平面PDB所成的角为45. 【探究拓展】本题主要考查直线和平面垂直、平面与 平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空 间想象能力、运算能力和推理论证能力等.,题型二 利用空间向量求空间角 【例2】如图所示,在三棱锥SABC 中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三 角形,BAC=90,O为BC中点. (1)证明:SO平面ABC; (2)求二面角ASCB的余弦值.,(1)证明 由题设AB=AC=SB=SC=SA. ABC为等腰直角三角形， 连结OA,所以OA=OB=

5、OC= SA,且AOBC, 又SBC为等腰三角形,故SOBC,且SO= SA, 从而OA2+SO2=SA2， 所以SOA为直角三角形,SOAO. 又AOBC=O, 所以SO平面ABC.,(2)解 方法一 取SC中点M,连结 AM,OM,由(1)知SO=OC,SA=AC, 得OMSC,AMSC. OMA为二面角ASCB的平面角. 由AOBC,AOSO,SOBC=O 得AO平面SBC,所以AOOM,又AM= SA, 所以二面角ASCB的余弦值为,方法二 以O为坐标原点,射线OB、 OA、OS分别为x轴,y轴,z轴的正半 轴,建立如图所示的空间直角坐标 系Oxyz, 设B(1,0,0),则C(-1,

6、0,0), A(0,1,0),S(0,0,1).,故MOSC,MASC, 的大小等于二面角ASCB的平面角. 所以二面角ASCB的余弦值为 【探究拓展】利用向量解决二面角的问题时,一定要 注意法向量的方向,否则易求成其补角,再观察图形 才能确定其具体值.,题型三 利用空间向量求距离 如图所示,在四棱锥PABCD中,侧面 PAD底面ABCD,侧棱PA=PD= ,底面ABCD为直角梯形,其中 BCAD,ABAD,AD=2AB= 2BC=2,O为AD中点. (1)求证:PO平面ABCD; (2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值； (3)求点A到平面PCD的距离.,(1)证明 在PAD中,PA=PD

7、, O为AD中点,所以POAD. 又侧面PAD底面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD, 所以PO平面ABCD. (2)解 连接BO,在直角梯形ABCD中, BCAD,AD=2AB=2BC， 又ODBC且OD=BC， 所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OBDC.,由(1)知,POOB,PBO为锐角, 所以PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD=2AB=2BC=2， 在RtAOB中,AB=1,AO=1,所以OB= 在RtPOA中,因为AP= AO=1,所以OP=1, 在RtPBO中, 所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为,(3)解 由(2)得CD=OB= 在R

8、tPOC中, 所以PC=CD=DP,SPCD= 又SACD= ADAB=1,设点A到平面PCD的距离为h, 由VPACD=VAPCD,得 SACDOP= SPCDh, 向量法：,(2)解 以O为坐标原点, 的方向分别为x 轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz. 则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0), D(0,1,0),P(0,0,1). 所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为,(3)解 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0), 由(2)知 =(-1,0,1), =(-1,1,0), 即x0=y0=z0,取x0=1, 得平面的一个法向量为n=(1,1

9、,1),又 =(1,1,0). 从而点A到平面PCD的距离 【探究拓展】在空间图形中,如果线段较多,关系较为 复杂(如平行、垂直、角和距离等均有涉及),常常需 要多种方法灵活使用,合理结合,才能达到较为理想 的效果,在建立坐标后,应根据条件首先确定相应点 的坐标，然后通过向量的坐标计算解决相应问题,从近几年的高考试题看，立体几何解答题大多为可用 向量(坐标)法求解,从而使解题更简捷有效,对空间向 量的考查主要集中于对向量概念和运算的考查，特别 是平行、垂直关系及夹角、距离的运算，要结合直线 的方向向量及平面的法向量，这些方法比传统的空间 关系几何法具备明显的优越性. 利用空间向量解决立体几何问

10、题的策略： 1.基向量法:利用空间向量基本定理,用一组基底把有 关空间向量表示出来，然后通过向量的有关运算解 决.,2.坐标法:通过建立适当的空间直角坐标系,通过向量 的坐标运算解决问题，其步骤为:建立立体图形与 空间向量的联系，首先建立适当的坐标系,正确找到 相关点的坐标，用空间向量表示问题中涉及的直线 平面.把立体几何问题转化为向量问题.通过向量 运算,研究点、直线、平面之间的位置关系(如平行、 垂直、共面)以及它们之间的距离和夹角等问题. 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.,一、选择题 1.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1 中,E、F、G分别为CD、AA1、BB1 的中点，

11、则异面直线EF与D1G所成 的角的余弦值等于 ( ) A. B. C. D.,解析 建立以DA为x轴,DC为y轴, DD1为z轴的空间坐标系,设AB=2a, 则F(2a,0,a),E(0,a,0),G(2a,2a, a),D1(0,0,2a), 所以 =(2a,-a,a), =(2a,2a,-a), 答案 B,二、填空题 2.已知球O的面上四点A、B、C、D,DA平面ABC, ABBC,DA=AB=BC= ,则球O的体积等于_. 解析 以CD为弦,连结两端点与球面上的点A、B,均 有ACAD,BCBD,由此可判定CD为该球的直径, 由DA=AB=BC= 得 所以球 的半径 所以V球=,三、解答

12、题 3.(2008安徽)如图所示,在四棱 锥OABCD中,底面ABCD是边长 为1的菱形,ABC= OA底面 ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点. (1)证明:直线MN平面OCD; (2)求异面直线AB与MD所成角的大小; (3)求点B到平面OCD的距离.,方法一 (1)证明 如图(1),取OB的中点E,连接ME、 NE， 则MEAB. 又ABCD,MECD. 又NEOC, 平面MNE平面OCD. 又MN平面MNE， 图(1) MN平面OCD.,(2)解 CDAB, MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角). 作APCD于点P,连接MP. OA平面ABCD,CDOA, 又APCD且APOA=A, CD平面AMP,CDMP. ADP= DP= MDC=MDP= AB与MD所成角的大小为,(3)解 AB平面OCD,点B和点A到平面OCD的 距离相等,连接OP,过点A作AQOP于点Q. APCD,OACD,CD平面OAP. AQ平面OAP,AQCD. 又AQOP,AQ平面OCD,线段AQ的长就是点 A到平面OCD的距离. 点B到平面OCD的距离为,方法二 作APCD于点P.如图(2)所示,分别以AB、 AP、AO所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐标系