高考数学一轮复习第八章立体几何8.3空间图形的基本关系与公理课件文北师大版.ppt

1、8.3空间图形的基本关系与公理,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,自测点评,1.空间图形的公理 (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). (2)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面). 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. (4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.,-3-,知识梳

2、理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,2.空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系,(2)等角定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. (3)异面直线a,b所成的角:过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(al1,bl2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角.,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况. (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3

3、,4,1,4.常用结论 (1)唯一性定理 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (2)异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线. (3)异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.,1.下列结论正确的画“”,错误的画“”. (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分. () (2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,记

4、作=A. () (3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c 与b不可能是平行直线. () (4)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a.() (5)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线. (),2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,答案,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.(2016上海,文16)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是() A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1 D.直线B1C1,答案,解析

5、,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,答案,3.已知l,m是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题: 若l,m,l,m,则; 若l,l,=m,则lm; 若,l,则l; 若l,ml,则m. 其中真命题有(写出所有真命题的序号).,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,答案,4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是.(填序号) Pa,Pa;ab=P,ba;ab,a,Pb,Pb;=b,P,PPb,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分

6、别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 (1)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形; (2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.做有关空间图形的公理的判断题时,要抓住关键词,如“有且只有”“只能”“最多”等. 2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.,-12-,考点1,考点2,考点3,例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点

7、,求证: (1)E,C,D1,F四点共面; (2)CE,D1F,DA三线共点.,思考如何利用空间图形的公理证明点共线和线共点?,证明 (1)如图,连接EF,CD1,A1B. E,F分别是AB,AA1的中点, EFA1B. 又A1BCD1, EFCD1,E,C,D1,F四点共面. (2)EFCD1,EFCD1, CE与D1F必相交,设交点为P, 则由PCE,CE平面ABCD, 得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA, P直线DA.CE,D1F,DA三线共点.,-13-,考点1,考点2,考点3,-14-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.点线共面问题的证

8、明方法: (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内; (2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面,再证其余点、线确定平面,最后证明平面,重合. 2.证明多线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时,第三条直线应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明.,-15-,考点1,考点2,考点3,对点训练1如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12. (1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.,-16-,考点1

9、,考点2,考点3,证明 (1)E,F分别为AB,AD的中点, EFBD. GHBD,EFGH. E,F,G,H四点共面.,(2)EGFH=P,PEG,EG平面ABC, P平面ABC.同理P平面ADC. P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC平面ADC=AC, PAC,P,A,C三点共线.,-17-,考点1,考点2,考点3,例2若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是() A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 思考如何借助空间图形确定两直线位

10、置关系?,答案,解析,-18-,考点1,考点2,考点3,解题心得解题时一定要注意选项中的重要字眼“至少”“至多”,否则很容易出现错误.解决空间点、线、面的位置关系这类问题时一定要万分小心,除了作理论方面的推导论证外,利用特殊图形进行检验,也可作必要的合情推理.,-19-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有.(填上所有正确答案的序号),-20-,考点1,考点2,考点3,(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问: AM和CN是不是异面直线?说明理由. D1

11、B和CC1是不是异面直线?说明理由.,-21-,考点1,考点2,考点3,答案: (1),解析: 题图中,直线GHMN; 题图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面; 题图中,连接MG,易知GMHN, 因此GH与MN共面; 题图中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH与MN异面. 所以题图,中GH与MN异面.,-22-,考点1,考点2,考点3,(2)解 不是异面直线.理由如下: 连接MN,A1C1,AC. M,N分别是A1B1,B1C1的中点, MNA1C1. 又A1AC1C, 四边形A1ACC1为平行四边形, A1C1AC,MNAC. A,M,N,C在同一平面内,故

12、AM和CN不是异面直线.,-23-,考点1,考点2,考点3,是异面直线.理由如下: ABCD-A1B1C1D1是正方体, B,C,C1,D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面,使D1B平面,CC1平面, D1,B,C,C1,与B,C,C1,D1不共面矛盾. 假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.,-24-,考点1,考点2,考点3,例3设直线m与平面相交但不垂直,则下列说法中正确的是() A.在平面内有且只有一条直线与直线m垂直 B.过直线m有且只有一个平面与平面垂直 C.与直线m垂直的直线不可能与平面平行 D.与直线m平行的平面不可能与平面垂直 思考如何借助空间图形确定线面

13、位置关系?,答案,解析,-25-,考点1,考点2,考点3,解题心得解决这类问题的关键就是熟悉直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及相应的公理定理,归纳整理平面几何中成立但立体几何中不成立的命题,并在解题过程中注意避免掉入由此设下的陷阱.判断时可由易到难进行,一般是作图分析,构造出符合题设条件的图形或反例来判断.,-26-,考点1,考点2,考点3,对点训练3 (2016上饶模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点P,Q,R分别是线段B1B,AB和A1C上的动点,观察直线CP与D1Q,CP与D1R,给出下列结论: 对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP; 对于任意给定的点Q

14、,存在点P,使得CPD1Q; 对于任意给定的点R,存在点P,使得CPD1R; 对于任意给定的点P,存在点R,使得D1RCP. 其中正确的结论是.(填序号),答案,解析,-27-,考点1,考点2,考点3,1.公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据;公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.,-28-,

15、考点1,考点2,考点3,1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.,-29-,思想方法构造模型判断空间线面的位置关系 空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础,高考常设置选择题或填空题,考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法.在判断线、面位置关系时,有时可以借助常见的几何体作出判断.这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的

16、结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.,-30-,典例(1)已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则() A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能 (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有条.,-31-,(3)已知m,n是两条不同的直线,为两个不同的平面,有下列四个命题: 若m,n,mn,则; 若m,n,mn,则; 若m,n,mn,则; 若m,n,则mn. 其中所有正确的

17、命题的序号是. 答案(1)D(2)无数(3),-32-,解析 (1)在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是mn1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面, 所以C错误. (2)(方法一) 如图,在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有一个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这三条异面直线都有交点,所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条.,-33-,(方法二)在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面,因CD与平面不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ(图略),则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD