控制系统状态方程求解

1、第三章 控制系统状态方程求解31 线性连续定常齐次方程求解所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：(31)上式中，X是n1维的状态向量，A是nn的常数矩阵。我们知道，标量定常微分方程的解为：（32）与（32）式类似，我们假设（31）的解X(t)为时间t的幂级数形式，即： (33)其中为与X（t）同维的矢量。将（33）两边对t求导，并代入（31）式，得：上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即：即:（34）将系统初始条件代入（33），可得。代入（34）式可得：（35）代入（33）式可得（31）式的解

2、为：(36)我们记：（37）其中为一矩阵指数函数，它是一个nn的方阵。所以（36）变为：（38）当（31）式给定的是时刻的状态值时，不难证明：（39）从（39）可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的nn矩阵。但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记：（310）所以：【例31】 已知，求解：根据（37）式，32 的性质及其求法性质1： 【证】 根据的定义式（37），【证毕】性质2：【证】：根据(37)式，即有：由性质1及其

3、关系，:由式两边同时左乘，注意本身是一个nn的方阵，所以：即：从上式可知，矩阵指数函数的逆矩阵始终存在，且等于。【证毕】性质3：若矩阵A，B可交换，即ABBA，那么，否则不成立。【证】 根据（37）式的定义，比较上述两展开式t的各次幂的系数可知，当ABBA式，。【证毕】性质4：【证】 因为所以上式右边多项式中，由于t是标量，所以A可以左提或右提出来。所以：或 由此可知，方阵A及其矩阵指数函数是可交换的。【证毕】性质4可用来从给定的矩阵中求出系统矩阵A，即：（311）【例32】 已知某系统的转移矩阵，求系统矩阵A解：根据（311）式性质5：若矩阵A为一对角阵，即A=，那么也是对角阵，且【证】 按

4、照（37）定义式，并注意所以有：【证毕】性质6：若nn方阵A有n个不相等的特征根，M是A的模态矩阵，则有：（312）【证】 考虑齐次方程的解，其解为：（313）我们对齐次方程作线性变换XMZ，则有：，即：，且，所以：即，两边左乘M得：（314）比较（313）和（314），因此有:上式经常用来求。【证毕】【例33】 已知 ，求解：所以 的特征向量满足：求得：同理，求得：所以，模态阵，根据（312）式，性质7：若为mimi的约当块，即那么有：（315）【证】不难验证，ABBA，即A，B可交换。所以根据性质3，又根据性质5，又根据（37）：性质8：若约当标准型矩阵式中为mimi阶约当块，那么：(31

5、6)(证明略)。性质9：若nn阶矩阵A有重特征根，是将A转化为约当标准型J的变换阵，即，那么有：（317）（证明略）。（317）式经常用来求有重特征根的矩阵的。【例34】 已知 ，求解： 根据第二章有关内容，可知：设，则得： 得：得：， 根据（317）式：性质10：设A=, B=, 则有=*=（证略）。性质11：矩阵指数可表示为有限项之和 （318）其中当A的n个特征根互不相等时，满足：(319)即满足：（320）若A有n重特征根，不妨设为重根，这时（320）只有个独立方程，剩下的个方程，可由下列关系添加： （321）【证】 下面只证明A有n个不相等特征根的情况。根据凯利哈密顿(CayleyH

6、amilton)定理，方阵A满足其本身的特征方程，即：所以：也就是说，所有都可以表示为线性代数和。将代入的定义式（37），经整理可得：（322）下面再求的关系式。因为A有n个不同的特征根，并设M为A的模态矩阵，则有： （323）代入（322）得：（324）又根据（312）式， 所以可得：（325） 即： 所以，（320）式得到证明。【例35】已知，利用凯利哈密顿定理求。解： 在例33中我们求得A矩阵，有两个不同的根，根据（319）式代入（318）式得：性质12：矩阵指数函数可用拉氏反变换法求得：（3-26）【证】：考虑，在初始条件下的解：对两边取拉氏变换，得：拉氏反变换，得：例36：利用拉氏反

7、变换法求，其中。解： =33 线性连续定常非齐次状态方程求解线性定常非齐次状态方程为：， (327）从物理意义上看，系统从时刻的初始状态开始，在外界控制的作用下运动。要求系统在任意时刻的状态，就必须求解（327）。采用类似于齐次标量定常微分方程的解法，（327）式可写成：两边同时左乘，得：根据矩阵微积分知识，上式进一步有：两边同时在区间积分，得：两边同时左乘，并整理得：即：（328）当初始时刻时，（328）变为：（329）从（328）和（329）可知，非齐次状态方程（327）的解由两部分组成，第一部分是在初始状态作用下的自由运动，第二部分为在系统输入的作用下的强制运动。当为几种典型的控制输入时

8、，（329）有如下形式。1 脉冲信号输入，即：时即：（330）2 阶跃信号输入，即（331）3 斜坡信号输入，即，可以求得：（332）【例37】求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出：解：根据（331）式其中， ， K=1在例36中已求的：其状态轨迹图可以MABLAB方便地绘出，如图31所示：%Example Example 3-7grid;xlabel(时间轴);ylabel(x代表x1，-*代表x2);t=0:0.1:10;x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);x2=exp(-t)-exp(-2*t);plot(t,x1,x,t,x2,*)end图31 系统状态轨迹图

9、34 连续时间状态空间表达式的离散化数字计算机处理的是时间上离散的数字量，如果要采用数字计算机对连续时间系统进行控制，就必须将连续系统状态方程离散化。另外，在最优控制理论中，我们经常要用离散动态规划法对连续系统进行优化控制，同样也需要先进行离散化。设连续系统动态方程为： （333）系统离散化的原则是：在每个采样时刻，其中T为采样周期），系统离散化前后的保持不变。而采样的方法是在t=kT时刻对U(t)值采样得U(kT)，并通过零阶段保持器，使的值在时间段保持不变。根据上述离散化原则，我们有离散化后的动态方程为：上述输出方程应该很容易理解，它表示kT时刻离散系统的输出Y(kT)和输入U(kT)及其

10、系统状态量X(kT)的关系，它应该与离散化前的关系一样。下面我们根据离散化原理求出离散系统状态方程，即求出。根据连续时间状态方程求解公式（328），我们假设，并求时刻的状态，由（328）式，并注意在时段不变：其中：，它只与采样周期T 有关，令 ，则：时，时，它也只与采样周期T有关。在下面的书写中，我们忽略时刻中的符号，直接用k代表kT时刻。所以我们有连续系统离散化公式：（334）其中：【例38】试将下列状态方程离散化解：当时，在MATLAB中，语句C2D可直接求出连续系统的离散化方程。%Example 3-8 Continuous to discrete systemA=0 1;0 -2;B=

11、0;1;T=0.01G,H=c2d(A,B,T)end运行结果为：G =1.00000.009900.9802H = 0.00000.009935 离散时间系统状态方程求解离散时间状态方程求解一般有两种方法：递推法（迭代法）和Z变换法。前者对定常、时变系统都适用，而后者只适用于定常系统。我们只介绍递推法。对于线性定常离散系统状态方程：（335）依次取，得：当初始时刻为h时，同理可推出：与连续时间系统方程解类似，记：，或，称它们为离散系统的状态转移矩阵。所以离散系统的解可记为：（336）或 （337）【例39】求解 例38中所求得的离散系统状态方程，假设解：如果用（336）式求出显式解，那么其工作量是巨大的。我们可以在MATLAB中，直接通过递推法求出各值。，我们取两个不同