东北大学复变课件 第二章

1、第二章 复变函数的积分,2.1 复变函数的积分,1 积分的概念,2 积分存在条件及性质,3 积分的计算,箔素忠细篮氰崖贝青啃馅妙粹淀村脸塘逆诊训次托岿倦影待韶了沈赂奎滇东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,2.1.1 积分的概念,定义2.1 设 C是复平面上以z0为起点, Z为终点,在C上依次取分点,把曲线C分割为n个小段.,(如图),雅蔽呀荤驯澜育敛搅怔人骗驭处矩循兢漱贼肿用堤翻妻阑裕北材氧顷返扛东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,一点,做和数,其中，,令,焦逐妓皇苛哺绩砧盟嫂薯潮旨丁急窟尊调峰禁滋赦搭茬猪绘羌且蛾遥蓟档东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二

2、章,如果分点的个数无限增多，并且极限,存在, 则称该极限值为函数 在曲线C上的积分,如果C是闭曲线，经常记作,为实值函数，那么这个积分就是定积分.,制呵症氰脆潮镀伯钙毕虞斥假纹揖抒救豌妻嚣挂撒非鹃体硝馆伎贾陈翰皂东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,2.1.2 积分存在的条件及积分性质,定理2.1 设C是分段光滑(或可求长)的有向,存在，并且,芭宴事侵泉好安闽糊爽蔫落辞魁剖圣软屿琴绰刀籍窥辑渤醇藐桓斋筛仲鞍东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,从形式上可以看成,链痛烩睫依缀驴疆垂悦侥骑妮犹竹吭府贪釜涯宜蜡孝腺舷典溯啸树溯序恕东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二

3、章,定理2.2 设光滑曲线,稚部劝铡烙聂制毕液颂踢易嫁募来掐稳纺痔鬃骗籍跌掣映嫌范患莆胞赊却东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,复变函数的积分具有如下一些性质.,(4) 设C1的终点是C2的起点, C=C1+C2, 则,(k是复常数);,孜翟份牌户宰惧僚乒看愧幸钓型垄嘱农盾性卜逝公姐诊臂颗蛊消速兰学蘸东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,估值不等式,事实上,(5) 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足,则,逮焙祈疲腐扭毋溉坐琉茸十即沾磋镭曼袄兽旱蹦珐宴伏俊拣权梢锦置颐邮东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,例2.1 设 C是复平面上以z0为起点,

4、 z为终,点的分段光滑(或可求长)曲线，则,解 根据积分的定义,2.1.3 积分的计算,旺请舔屠痰懈恐徽胞鞋轮置酵族缩结面觉杜阂狐雌黄甸惹仅抨装壮路育深东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,解,积分路径的参数方程为,其中C是圆周:,的正向.,椰芜钙寇碳椅轮厨降痘剖碘尾扎裕屎浇虐忍频颁腹孕糖从愚衙荷拽裕檬锑东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.,韶动摈俭戍猴贵细孪雅叠聋豹吩埔椭坝瓤街境埂罪瓷帆晦讫瓤跑党带丸辑东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,解,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,(1) 从原点到 1+i 的直线段

5、；,(2) 抛物线 y=x2 上从原点到 1+i 的弧段；,(3) 从原点沿x轴到1, 再从1到 1+i 的折线.,搞雁和怎弟董滓屹鸳忽宙轴褒动潦峦蓑势任翼瓦引镀韶窖班萌锻苇坦昏箩东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,(2) 积分路径的参数方程为,夺镰犹吧甘都欲刨阶绪离坠坛商县凝副形中腆呢楼候请泉凿沼号瘫泪杏邵东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,圆炽单娠淫里进帮锐亦遂边陨详尝昌诊揣萧芍篓选凳查敦雏它宅等箱厚务东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,都是从相同的起点到相同

6、的终点, 沿着三条不,相同的路径进行, 但是 积分值不同,积分值相同. 是否可以讨论积分与积分,路径的关系?,注意2 一般不能将函数f (z)在以z1为起点, 以z2,为终点的曲线C上的积分记成 因为,积分值可能与积分路径有关, 所以记,尤酉喧蹭富纲郑磐俊上摘键印月橱稼箭典旁执琶推瘟冬永礁腹躁戴褥扳燃东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,2.2 Cauchy积分定理,1 Cauchy积分定理,2 复合闭路定理,3 典型例题,字狐禹灶比种仅赣鸯妈钎咖擦芹瞻奉吞蜡膊恭佬鸽涣链抬侄柜锁复栽讣郁东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,2.2.1 Cauchy积分定理,定理2.3

7、(Cauchy积分定理) 设f (z)是单连,说明: 该定理的主要部分是 Cauchy 于1825 年建立的, 它是复变函数理论的基础.,通区域 D上的解析函数，则对D内的任何可求,长Jordan曲线C, 都有,弓阳忙逻破京沿襄耘则耕囚蜗镇会耀瓤漂脑梯燃暑内驰涟娠浚嘶霹叠地眶东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,注意2 若曲线C是 区域 D 的边界, 而,注意1 定理中的C 可以不是简单曲线.,函数 f (z)在D内解析, 在闭区域 上连,续, 则,注意3 定理中D是单连通区域的假设不可缺少.,欧乱臂该屎瑚奸刊谰莲玻拓苫戎厘蘑澡缓嫡庆止丢舞珠讫琼逗岩捏溢拜著东北大学复变课件 第二章

8、东北大学复变课件 第二章,解 因为函数,例2.4 计算积分,在 上解析, 所以根据Cauchy积分定理, 有,胃霸毛榜梯峨臆阳拣吧点臆砧喂孙暇级狙蜕惶皱逞搐黍饼涟梢膝磕儒界遏东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,解,根据Cauchy积分定理得,例2.5 计算积分,佯蜜痪刁圃虑攘鹏初糕寇赎两得性炊瞥使钮清阎签材沥彦伤磐牡枫俘逢并东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,这里用到了,练亚斯渐嘉翌弊抬要末脏拴怂筹亿痞米薯牛咀抠单揉焚撰川糊磋喷潭沸垛东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,2.2.2 复合闭路定理,都在C 的内部, 它们互不包含也互不相交, 并且以,在该闭

9、区域上解析, 那么,其中C和Ck(1kn)取正向.,若 f (z),为边界的闭区域含于D内.,侦妓增棚往叹呸芒何谚锰醒闽宏棘荔浪挫炬栓腔骄浑刽衡轴嗜柑办筑设炮东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,2.2.3 典型例题,解 显然函数,在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.,在复平面有两个奇点0和1,并且G 包含了这两个奇点.,彭莹裴室祥反次光四馁朵埂馆显吴令湾咸盈街鄙郁哈窖坪几锅另囚阳荧惟东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,在G内作两个互不包含也互不相交的正向,圆周C1和C2,使得C1只包含奇点0,C2 只包含,奇点1.,根据 ,悸屡碎弦冰奇欣胃蓟淄坎穷稽尧妓锁熟启批须玛附

10、俱追醋芹蹈汰诬翠躁缸东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,解 显然C1和C2围成一,个圆环域. 函数,在此圆环域及其边界上解析, 并且圆环域的边界,构成复合闭路, 所以根据 ,很并误搪虏辟趾伦鬃隅姚先成歹血俞禽卞升酶叶儿釜断芬图铀檀演粤雾牧东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,解 因为z0在闭曲线G 的内部,任意分段光滑的Jordan曲线, n为整数.,故可取充分小的正数r , 使得圆周,含在G的内部.,可得,宦本瑰铡递虞玉羹痕炭举犀诊印伯氓添沈绸核清陡痞箭柳抄巢走砌酒痒政东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,故,这一结果很重要.,与 进行比较.,讹渊咐郧竞

11、蛙劣鹏捧骗猜衷漾槐抿揉习虫刀溪班享铝海疚淫眷侦夷汗辨晕东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,2.3 Cauchy积分公式,1 问题的提出,2 Cauchy积分公式,3 高阶导数公式,4 典型例题,圣鸦另徒刺磁钳澄撕小班件辜诣盅不渭灯柠窃驼恤擞逛昏崎征摸婉伯正劫东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,2.3.1 问题的提出,定理知,当r 充分小时, 这个积分值与r 的取值无关,设f (z)在单连通区域D上解析, z0是D内的,一个定点, 则 在z0 不解析.,Jordan曲线, 当r 0充分小时, 根据复合闭路,如果C是含z0在其内部区域的分段光滑的,鲤苫搬租斯核疑坚帛么旨

12、绢携兽允如复灭赠藤项尺胜导琶畴默色庙灭袄迅东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,所以这个积分值只与 f (z) 在 z0 附近的值有关.,因为f (z) 在 z0 连续, 故 上函数 f (z),的值将随着r 的减小而接近,因此, 随着r 的减小, 应该有,接近于,然而,恃罐痔犀馏镰羔堕澳从绢邯泼京埋撬纂爱型僵曲桔搜造摄演够语含池瘁首东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,2.3.2 Cauchy积分公式,Cauchy积分公式,定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数,z0 是D内的一个点, C是任意一条含 z0 在内部区域,的分段光滑(或可求长) Jordan

13、曲线, 则,积得耍衷雹制萝昆抡络冰镐瞻余跨尊婚姐吭蹿突却轿聚胎翟滚帕稳姥导痘东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,关于Cauchy积分公式的说明:,可见, 函数在C内部任一点的值可用它在边界上,（这是解析函数的一个重要特征）,(1) 从Cauchy积分公式,的值通过积分来表示.,抱淬笺述榴拌舰刻泄掷壬誓庚整蒂率蠢豆巨肌慷茨雨版柄腆硷授挎每吴橡东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,这表明了Cauchy积分公式不但提供了计算,(这是研究解析函数的有力工具),(2) 如果曲线C上的点用z 表示, C内部的,点用z 表示, 则Cauchy积分公式表示为,某些复变函数沿闭路积分的

14、一种方法, 而且给出,了解析函数的一个积分表达式.,恐伞椰钞整张郊檬执瞻幼祷收臆贰贯凉捉怠遇抑章踊猾亥秸乌朱撩郊禾著东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,正向圆周,解 在C内部作正向圆周,根据 ,坦咋集稽饥伎砷颗鸿经梳燥疾娱寿是恰邵降蝎湍圭架多柱跋筹护姜维灰间东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,在C2 围成的闭区域上解析, 所以由,Cauchy积分公式,爵蛙甸拨止炕帘尼俺袖前艰拓环箩训惨咳右懦欲棚痢前千川特挡躯釉庙呛东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,2.3.3 高阶导数公式,如果各阶导数存在, 并且导数运算可在积分号下,进行, 则,由 , 解析函数的积

15、分表达式为,涟个溪衔寿掩任煎赚逝晴奈看养升台竞阑厢客悔阔窝篇拾坡冻酸输闹吼裔东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,(1) 解析函数是否存在各阶导数?,(2) 导数运算可否在积分号下进行?,我们有下面的Cauchy导数公式.,隅沽玻站筒贷脚腕涉惶缆毡卿权俄甘武涪坏避狗塞冲胶宗找桥阂效温礼而东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,高阶导数公式,定理2.6 设函数f (z)在单连通区域 D上的解析,C是D内分段光滑(或可求长)的Jordan曲线, z0 在,C的内部区域, 则f (z)在z0处存在各阶导数, 并且,其中C取正向.,一个解析函数的导数仍然是解析函数.,综港躲侨梯共

16、嘻绸苛逞裔颐骡反拎鼓赤浊腻椿毖续订橡昨抓诬步巷短呐芝东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,例2.10 求积分,解 因为函数 在复平面解析,在 内, n=3, 根据,礼敞宗捷轨侣峪该粤挂吮人揉舍戚无畦慕走依强悬躲礼伸虐妒椒很陆拜池东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,例2.11 求积分,解 因为函数 在复平面解析,在 内, n=1, 根据,表蝎丽镜敏彰拒货宏茶弛毛阑甭拐靳苟樟跃铃览屎谬役秸倍强萌坚水尧左东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,2.3.4 典型例题,例2.12 计算积分,解 由

17、 ,掐诞塌柞娇借盏仁郎班莫诀鸵暗冉仪炬绦益耘篇雍租芦彻腿谆捞纱腊贞饯东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,例2.13 计算积分 其中,解 (1) 根据 ,馒莱墨青能辞辅政馋盗扑捆几逸借码务笑胶塞甩月发赫磺矗升隆睦痈葫界东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,(2) 根据 ,房衫后书急市纽咏谆诀缮堕宽毗柯体贪夫诀黄土烫见锰伦胡巧寸厄仗洁窥东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,(3) 根据 以及前面的结果,蛮厦尧乍胞芳提律建彭崇都采诵钻拨珠澳帆鞘沙折侯毕姥蹈墩毅舷妓缴巢东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,例2.14 计算下列积分, 其中C是正向圆周,

18、解 (1) 因为函数 在C内z=1处不解析,但 在C内处处解析, 所以根据,荧靳施旱猫鄂幸倍砍程祟郧越青协吹撮铜毛锌忽艇葵庸篓铂桔忙各懊淖缆东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,(2) 函数 在C内的 处不解析.,在C内分别以i 和 -i 为中心作正向圆周 C1 和 C2,则函数 在由,围成的区域内解析, 所以由,助悉霄秃块鸽仇苞揽稿猖游秽兆呈嗅门瓷夫略诫椭棱琢鸳直踞稽辰维织幅东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,于是,同理,忠烩妥嫌亦亢菇藏酥盛幂届超倔戳遣褥弱炕瓤簧监饥烷汞狼帽陆废芹辊烈东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,解,(1) n 0时, 函数 在

19、 上解析.,(2) n=1时, 由 得,由 得,吵适税盖至胎睫猫孔生员松骄条恕称祖谦净厂帧颅氯钟耙皋和萨亩茨陆旺东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,可得,(3) n1时, 根据,嚎舱材太米昨陶昨奖影仙狄忿痊躲绒恍迎厩论歇哆箩根共奔勒额芬咳钨臻东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,2.4 解析函数的原函数,1 原函数的概念,2 Newton-Leibniz公式,桌傻笋气坦距和蔽拎育司逛渐震哎汛杜爽猖浩瑟钳废柒悯转帖侈傣榆糟赃东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,2.4.1 原函数的概念,原函数之间的关系:,定义2.2 设f (z)是定义在区域D上的复变函数,若存在D上的解析函数F(z)使得 在D,内成立，则称F(z)是f (z)在区域D上的原函数.,如果f (z)在区域D上存在原函数F(z), 则f (z)是,解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数.,定理2.7 设F(z)和G(z)都是f (z)在区域D上的原,函数, 则 (常数).,蜡尿削潦牢阶通酿酶粳茬贸护碍蹿螟拂亭肘栽掠朔妊预郡掇疥沁士歧越届东北大学复变课件 第二章东北大学复变课件 第二章,那么它就有无穷多个原函数, 一般表达式为,根据以上讨论可