《如何使铅球投掷距离最远》数学建模

1、 20162016- -20172017 学年第学年第二二学期学期 数学数学实践与实践与建模建模课程结课论文课程结课论文 题目： 铅球运动数学建模分析 学号： 201510425 姓名： 庹钰恒 电话：学院： 机械学院 专业： 交通运输 邮箱： 任课教师： 张玉 上交时间：2017 年 6 月 2 日 一一、题目题目 铅球运动数学建模分析 二、二、摘要摘要 本次建模过程中，我们主要考虑了铅球的理论受力情况，讨论了投掷铅球的水平距 离，研究了在实际的比赛或训练过程中，运动员应该以什么出手速度和出手角度投掷出 铅球，以及运动员应该如何侧重训练，才能使得铅球投掷得距离达到最

2、大化。根据在网 上查询的资料，我们从出手角度、出手速度、出手高度与投掷距离的关系出发，运用了 简单物理学以及数学知识，分析铅球在脱手前与脱手后的运动状态与运动轨迹，建立并 优化了铅球投掷的物理及数学模型。不同的运动员的身高不同，不同运动员习惯的出手 方式也不同。所以为了得出最佳的出手角度，对于不同的个体我们应该结合不同的实际 情况来进行计算。但是在实际情况中，考虑的因素远不止这些，为了使我们将要建立的 模型更为准确合理，本文对实际的铅球运动的比赛规则与投掷过程做了进一步的研究。 铅球运动的整个投掷过程分为两部分，这里称为发力部分与投掷部分。本文对这两个部 分分别做了进一步的分析，寻求出力量，速

3、度，加速度等存在的物理因素的相互关系。 本文选取运动员的平均情况，最后计算得出，大多数运动员将控制在出手速度在 14m/s 左右，此时对应的出手角度在 37 度左右时能使得投掷距离最大。 关键词： 铅球运动 力量 速度 角度 训练侧重点 三、三、模型准备模型准备 古代人类用投掷石块的方式来捕猎禽兽或者防御攻击，这就是铅球运动的起源于。 后来随着人类文明的逐步发达，这项活动演变为了体育运动，经过历代人的不断改良， 才有了现在我们看到的铅球运动。铅球在奥运赛场上也是举足轻重的一个项目，运动员 们为了提高自己投掷铅球的成绩，不断训练，突破自我，是自身的力量、协调性等方面 更加出色，同时，他们也在一次

4、又一次反复的训练中不断总结经验，并改良出更加优化 的投掷技巧。本文将要建立的数学模型，便是为了更加直观的，科学的来研究并总结出 最优化的铅球投掷技巧，看看要将将铅球扔得最远，应该掌握哪些技巧。 根据对铅球运动的了解，铅球的重量为 16 磅，也就是说运动员在投掷时需单手托 举重量为 7.264 千克的铅球，在直径为 2.135 米的投掷区内，将球投掷出，铅球投掷的 有效区域为 45 度的扇形区域，如下图所示。投掷距离即为铅球落地点与投掷圆之间的 距离。 所以，剖析了铅球运动的整个过程，本文着手以下几个方面，准备模型： 1. 投掷部分：根据物理模型，研究运动员的身体参数，即铅球脱手时的速 度，高度

5、，角度等参数与投掷距离的数学关系，建立铅球投掷距离的数 学模型。 2. 发力部分：进一步考虑运动时的实际情况，完善所建立的模型。 3. 假定在高度一定时，分析不同的出手速度对应的最佳出手角度。 四、四、模型假设模型假设 首先研究第一个方面，投掷部分。这一部分假定运动员的出手速度、出手高度、出 手角度已经是给出的一系列定值，同时，实际情况理想化，忽略不同运动员发挥水平的 问题，忽略运动员状态问题，忽略铅球运动时的空气阻力等外界因素影响。在理想的情 况下，即可运用牛顿运动定律确定出铅球的运动轨迹，并确定运动轨迹方程。 所以，对于第一部分做出如下的模型假设： 1、以水平面为基准参考系。 2、忽略铅球

6、运动中的空气阻力。 3、不考虑运动员的动作、状态、外界影响等问题。 4、各参数是相互独立的。 5、假定铅球为一个质点。 要想进一步优化模型，便要对运动员出手之前的动作做出进一步的研究。 所以，对于第二部分做出如下的模型假设： 1、忽略铅球运动过程中的空气阻力。 2、忽略运动员身体、心理以及外界因素的变化。 3、假定运动员的手对于铅球的推力为恒定值。 4、假定铅球在离开手之前与手无相对运动，即铅球的运动方向与速度同向。 5、假定铅球在脱手前的加速运动为直线运动。 6、假定脱手点即为场地边缘，即测距起点。 7、假定铅球为一个质点。 最后第三部分， 假定在高度为一个固定值时， 在出手速度与出手角度的

7、变化范围内， 列出数表。 五、五、模型建立模型建立 第一部分： 符号说明： v 出手速度 单位 m/s h 出手高度 单位 m 出手角度 单位 度 g 重力加速度（地球表面平局值 g=9.8m/s ） t 铅球运动的时间 单位 s L 投掷距离 单位 m 模型建立： 上文中，我们将铅球假定为了质点，且以水平面作为基础参考系，所以，由高中学 到的牛顿运动学定律可知铅球在竖直平面内做斜抛运动。以铅球出手点的铅锤方向为 y 轴， 以铅球运动的投影反向作为 x 轴， 建立坐标系。 由于铅球运动过程中只受重力作用， 所以运动轨迹如下图。 从而我们可以先求出铅球运动的轨迹方程 依照牛顿运动学定律，铅球的运

8、动轨迹方程为： = = 1 2 2+ 方程组中消去参数 t，得到 y = 2 + () + 当铅球落地时，令 y=0，得到 2 + + = 0 求解得 x = 2 + + 2 2 化简得 L = 2 2 +( 2 2)+ 2 第二部分： 符号说明： v 出手速度 单位 m/s 出手角度 单位 度 h 出手高度 单位 m g 重力加速度（g=9.8m/s） m 铅球质量 单位 kg F 运动员对于铅球的推力 单位 N L 铅球在空中运动的距离 单位 m L 运动员手臂长度 单位 m L 加速距离 单位 m a 铅球出手时运动员肩部的高度 单位 m S 投掷成绩 单位 m 模型建立： 由此建立模型

9、如下图，经过资料的查询，铅球投掷得过程包含了移步发力阶段和推 手投掷阶段。图中我们可以观察这两个阶段。图中 A 点开始运动，A 点为铅球开始运动 的点，B 点为铅球脱手的点， C 点为铅球落地的点。铅球从 A 到 B 的过程中，铅球的运 动状态为匀加速直线运动，L即为加速的距离，由几何关系可知，出手的高度与出手角 度是存在几何关系的，所以我们继续细化研究各个因素，优化第一部分建立的模型。 受力分析，由牛顿第二定律可知 F mgsin = ma 即 a = 结合运动学公式2 0 2 = 2 得 = (0 2 + 2 2 ) 2 上式就能说明v与相关， 所以在第一部分中我们所假设的条件在实际中并不

10、合适。 又因为 h = + 如右图中所示 结合第一部分所建立的模型 L = 2 2 +( 2 2)+ 2 进一步整理得到 总成绩即为 S = L + 1 第三部分： 当出手高度为确定值时,不同的出手速度一定对应着一个最佳的的出手角度,我们 运用微积分知识,建立模型如下: 我们对第一部分中所建立的模型中的 L 求导,并令其导数等于零,寻求极值点 因为导数为零，所以化简即可得 2242 + 8 + 422 44 = 0 化简为 cos2的方程 cos2 = + = + 从上式就可以清楚的看出，h 一定时，v 越大。相应的也越大。 由于0，所以 cos20，所以 0/4，所以，最佳的出手角度应该为

11、= 1 2 arccos( + 2) 六、六、模型求解模型求解 第一部分： 查询得一组真实数据，比照理论值与实际值，并计算理论与实际的误差比，计算结 果如下表： 运动员 出手高度 m 出手速度 m/s 出手角度 实际成绩 m 理论成绩 m 误差比 运动员甲 2.06 13.77 40.00 21.41 21.25 -0.7% 运动员乙 2.00 13.52 38.69 20.30 20.22 -0.4% 运动员丙 1.95 14.08 35.13 21.76 21.50 -1.2% 运动员丁 2.02 13.16 40.27 19.40 19.56 +0.8% 运动员戊 2.02 13.58

12、37.75 20.76 20.53 -1.1% 第二部分： 铅球的重量为 16 磅，约 7.257kg，重力加速度 g 取 9.8，我国铅球运动员的平均肩 高为 1.60m，即 a=1.60m。将数据带入前文建立好的模型中计算。 得 L = 0.51(2+ 0.275622 19.632)2 (1 + + 0.275622 19.632+ 19.6 ( 2 + 0.27562 19.62) ) 根据调查所得的一般情况，L=1.9L。又因为S = L + Lcos，L取平均值 0.8m， 利用 MAPLE 软件， 即可清晰的看到 S 与 F,S 与的图像关系。 S 对 F 时， 取 37.6，

13、S 对时，F 取 350N。 图像如下 S-F 图 S-图 第三部分： 在高度一定时，分析不同的出手速度对应的最佳出手角度。h 取 2 米，v 在 10m/s 15m/s 之间变动，在 3743之间变动，计算得出下表中数据。 37 38 39 40 41 42 43 极差 10 11.98 12.01 12.03 12.04 12.04 12.02 12.00 0.06 11 14.10 14.15 14.18 14.20 14.21 14.20 14.18 0.11 12 16.41 16.47 16.52 16.55 16.57 16.57 16.56 0.16 13 18.90 18.9

14、9 19.05 19.10 19.13 19.14 19.13 0.24 14 21.59 21.70 21.78 21.85 21.89 21.91 21.91 0.32 15 24.46 24.60 24.70 24.79 24.84 24.87 24.88 0.42 极差 12.48 12.59 12.67 12.75 12.80 12.85 12.88 七、七、模型分析模型分析 经过了模型的计算，我们的模型基本已经成型，下面将对已经算出来的数据进行分 析与整合，从而得出研究的结论。 （1）结论分析 在第一部分中，我们令出手速度、出手高度、出手角度彼此独立，并以它们为参数 算出了投掷距离

15、的理论值。然后在第二部分中，我们便结合了实际，考虑了整个投掷过 程并进行了分段的处理，得出了投掷成绩与运动员的力量以及出手角度的关系。第三部 分即结合上两个部分确立了最佳的出手角度。出手角度是以 2为周期而变化的， 由计算可以看出当且仅当2k（0， 4）时（kN） ，2k为最佳出手角度。 一般情况下运动员的出手角度在 3743这个范围内。 所以综合数据我们可以看出在 出手角度变化的范围内， 距离的变化范围是 （0.06,0.42） m， 在出手速度的变化范围内， 距离的变化范围是（12.48,12.88）m，这就说明出手速度是影响成绩的主要因素，铅球 运动员们在平时进行训练时，可以着力于出手速

16、度的训练。 （2）对于此次模型建立方法的分析 此次建模，我们运用到了控制变量法、图表分析法以及建立函数关系的方法，运用 所学过的数学与物理知识，还原并剖析铅球投掷的过程，建立模型，是研究对象化抽象 为形象，从而使研究更为直观，科学。 （3）模型优缺点分析 第一部分中我们运用牛顿定律， 以出手速度 v、 出手角度以及出手高度 h 为参数， 构造出了数学与物理的模型。如果 v 和是相互独立的，那么就可以较为简单地描述了 L v 掷远距离与三者的关系。缺点是模型过于理想化，忽略了例如空气阻力等外界因素。该 模型相对简单但实际问题有一定的差距，不适合精确的计算，也不适合作为要求较高的 铅球运动员训练参

17、考 第二部分深入研究了铅球投掷过程中从匀加速直线运动整个运 动过程，将整个过程分成移步发力阶段和推手投掷阶段。由于铅球脱手前作匀加速直线 运动，运用出手速度与初速度和出手角度的关系，优化了第一部分的模型，得出了更为 精确的关系。 当然缺点就是图象分析法是观察并凭借直观的意识进行比较的， 不够精确， 较为粗糙。第三部分直接假定运动员出手高度是一个固定值，根据运动员实际的出手速 度，解出了最佳出手角度，这样铅球运动员就可以依据自身的出手速度选取出最佳的出 手角度，进一步优化自己的投掷成绩。 在第一部分的基础上，对出手速度和出手角度 的影响程度进行了分析， 确定了出手速度是主要的影响因素。 所以,运动员要提高成绩， 应该抓住出手速度这一主要问题。缺点是分析的结论只能通过数据与数据之间的对比得 出，不能得出一个准确值。 八、八、模型检验模型检验 根据计算出的数据，铅球实际的投掷距离与计算出的理论数据有一点的出入，这是 由于忽略了空气阻力等众多外界因素造成的系统误差。大体来说，由模型计算出的数据 以及得出的结论是与现实情况相吻合的。 九、九、模型推广模型推广 科学的训练方式有助于运动员更好的提升自己的竞赛水平。在此次数学建模分析中， 数据与图表直接给出运动员训练是需要着重的方向，第一点是铅球脱手之前推动铅球的