《数值计算方法》习题答案

1、 课后题答案详解 课后题答案详解 吉 林 大 学 数值计算方法 数值计算方法 数值计算方法第一章课后题答案 1 第一章第一章 习习 题题 答答 案案 1. 已知( 1)2,(1)1,(2)1fff=，求( )f x的Lagrange插值多项式。 解：由题意知： ( ) 012012 12 0 0102 02 1 1012 01 2 2021 2 0 1,1,2;2,1,1 ()()(1)(2) ()()6 ()()(1)(2) ()()2 ()()(1)(1) ()()3 (1)(2)(1)(2) ( )21 62 n j j j xxxyyy xxxxxx l xxxx xxxxxx l x

2、xxx xxxxxx l xxxx xxxx L xy lx = = = = + = + = + = + () 2 (1)(1) 1 3 1 38 6 xx xx + + =+ 2. 取节点 012 1 0,1, 2 xxx=对 x ye=建立Lagrange型二次插值函数，并估计差。 解 1 1 2 012012 1 0,1,;1, 2 xxxyyeye = 1)由题意知： 则根据二次Lagrange插值公式得： 020112 012 010210122021 10.5 10.520.51 ()()()()()() ( ) ()()()()()() 2(1)(0.5)2 (0.5)4 (1)

3、 (224)(43)1 xxxxxxxxxxxx L xyyy xxxxxxxxxxxx xxx xex xe eexeex =+ =+ =+ 2 2)Lagrange根据余项定理，其误差为 (3) 22 1 01 2 2 ( )1 |( )| |( )| |(1)(0.5)| 3!6 1 max | (1)(0.5)|,(0,1) 6 ( )(1)(0.5),( )330.50 33 0.2113( ) 6 1 ( )0.2113 (0.2113 1) (0.21130.5)0.00802 6 x f R xxex xx x xx t xx xxt xxx xt x R x + = =+=

4、= = 取 并令 可知当时，有极大值 3. 已知函数yx=在4,6.25,9xxx=处的函数值，试通过一个二次插值函数求 7的近似值，并估计其误差。 解： 012012 4,6.25,9;2,2.5,3yxxxxyyy=由题意知： （1） 采用Lagrange插值多项式 2 2 0 ( )( ) j j j yxLxlx y = = 数值计算方法第一章课后题答案 2 27 020112 012 010210122021 7( )| ()()()()()() ()()()()()() (76.25)(79)(74)(79)(74)(76.25) 22.53 2.25 52.25 2.752.75

5、 5 2.6484848 x yL x xxxxxxxxxxxx yyy xxxxxxxxxxxx = = =+ = + = 其误差为 (3) 2 5 (3) 2 5 (3) 2 4,9 2 ( ) (7)(74)(76.25)(79) 3! 3 ( ) 8 3 max |( )|40.01172 8 1 |(7)|(4.5)(0.01172)0.00879 6 f R fxx fx R = = = = 又 则 （2）采用Newton插值多项式 2( ) yxNx= 根据题意作差商表： i i x ( ) i f x 一阶差商 二阶差商 0 4 2 1 6.25 2.5 2 9 2 9 3 2

6、11 4 495 2 24 (7)2(74)() (74) (76.25)2.6484848 9495 N=+ 4. 设( )()0,1,., k f xxkn=，试列出( )f x关于互异节点()0,1,., i x in=的Lagrange插值 多项式。 注意到：若1n+个节点()0,1,., i x in=互异，则对任意次数n的多项式( )f x，它关于节点 ()0,1,., i x in=满足条件( ),0,1,., ii P xy in=的插值多项式( )P x就是它本身。可见，当kn时 幂函数( )(0,1,., ) k f xxkn=关于1n+个节点()0,1,., i x in

7、=的插值多项式就是它本身，故依 Lagrange公式有 ( ) 000 (),0,1,., nnn kkk i jjj jji ji ij xx x lxxxkn xx = = 特别地，当0k =时，有 ( ) 000 1 nnn i j jji ji ij xx lx xx = = 而当1k =时有 ( ) 000 nnn i j jj jji ji ij xx x lxxx xx = = 5. 依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange插值多项式和Newton插值多项 式，并验证插值多项式的唯一性。 数值计算方法第一章课后题答案 3 解： （1） Lagrange 插值多项式 3

8、 3 0 ( )( ) jj j L xlx y = = 3 0, ( ) j i i i j ij xx lx xx = = 312 0 010203 124 ( ) 0 10204 xxxxxxxxx l x xxxxxx = = 32 7148 8 xxx+ 032 1 101213 024 ( ) 1 01 21 4 xxxxxxxxx l x xxxxxx = = 32 68 3 xxx+ 031 2 202123 014 ( ) 202 124 xxxxxxxxx lx xxxxxx = = 32 54 4 xxx+ 012 3 303132 012 ( ) 404 142 xxx

9、xxxxxx l x xxxxxx = = 32 32 24 xxx+ ( ) ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() ()()()()() 3 2222 32 124024 19 01020410 12 14 014012 233 202124404142 1231 3243685432 848 11451 1 442 xxxxxx Lx xxxxxx xxxx xxx xxx xx xxx = + + = + = + （2） Newton 插值多项式 k k x() k f x 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 0 1

10、 1 1 9 8 2 2 23 14 3 3 4 3 -10 -8 -11/4 3001001201 ( )()(,)()(,)()()Nxf xf x xxxf x x xxxxx=+ 0123012 (,)()()()f x x x xxxxxxx+ 11 1 8(0)3(0)(1)(0)(1)(2) 4 xxxxxx= + 32 11451 1 442 xxx= + 由求解结果可知： 33 ( )( )L xNx= 说明插值问题的解存在且唯一。 6. 已知由数据 1 (0,0),(0.5,),(1,3)(2,2)y和构造出的Lagrange插值多项式( ) 3 Lx的最高 次项系数是6，

11、试确定 1 y。 解： 312 0 010203 0.512 ( ) 00.50 102 xxxxxxxxx l x xxxxxx = = 32 77 1 22 xxx+ 032 1 101213 012 ( ) 0.500.5 10.52 xxxxxxxxx l x xxxxxx = = 32 8 (32 ) 3 xxx+ x 0 1 2 4 ( )f x 1 9 23 3 数值计算方法第一章课后题答案 4 031 2 202123 00.52 ( ) 1 01 0.51 2 xxxxxxxxx lx xxxxxx = = 32 252xxx+ 012 3 303132 00.51 ( )

12、2020.52 1 xxxxxxxxx l x xxxxxx = = 32 111 326 xxx+ 3( ) L x中最高次项系数为： 1 81 0 ( 1)( 2) 326 33 y + += 1 17 4 y = 7. 设( ) 4 f xx=，试利用Lagrange余项定理给出( )f x以1,0,1,2为节点的插值多项式 ( ) 3 Lx。 解：由 Lagrange 余项定理 (1) 1 ( ) ( )( )( )( ) (1)! nn n n f R xf xL xx n + + = + , a b 可知：当3n=时， (1)(4) ( )( )4! n x ffx + = = 3

13、0123 4! ( )( )()()()() (3 1)! L xf xxxxxxxxx= + 4 (1)(0)(1)(2)xxxxx=+ 32 22xxx=+ 8. 设 2 ( ),f xCa b且( )( )0f af b=，求证 2 1 max( )() max( ) 8 a x ba x b f xbafx 证明：以, a b为节点进行线性插值，得 ( )( )( ) xbxa L xf af b abba =+ 1 由于( )( )0f af b=,故 1( ) 0L x =。于是由 1 ( ) ( )( )()(), 2! f f xL xxa xb = ab时，称其为超定方程组。

14、求x使得 2 2 bAx取最小值。应用微分学中多元函数求极值的方法可以证明x为方程组 TT A AxA b=的解。称x为超定方程组Axb=的最小二乘解。 解法一： 数值计算方法第二章课后题答案 16 由题意得： 1 2 111 112 223 314 x x = ? 1 2 111 11231111232 1 121221 1213 314 x x = ? 1 2 1597 971 x x = ? 1 12 12 2 29 1597 12 97113 4 x xx xx x = = += = 所以 1 2 29 12 13 4 x x = = 即是所求的最小二乘解。 误差平方和为 2222 1

15、2121212 (1)(2)(223)( 34)xxxxxxxx=+ + + 解法二：求 12 ,x x，使误差平方和 2222 12121212 (1)(2)(223)( 34)xxxxxxxx=+ + + 为最小，令: 0, 0 21 = = xx 得方程组如下： 12 12 301814 18142 xx xx = += 解方程组有： 4 13 , 12 29 21 =xx 10. 用最小二乘法求一个形如 2 yabx=+的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计 平方误差。 k x 19 25 31 38 44 k y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 解： 数值计算方法

16、第二章课后题答案 17 ( )( ) () () () () () () () () 0 2 01 0 1 0 01 11 1 0 1, 1,1,1,1,1 361,625,961,1444,1936 19.0,32.3,49.0,73.3,97.8 ,1 1 1 1 1 1 1 1 1 15 ,1 361 1 625 1 961 1 1444 1 19365327 ,7277699 ,369321.5 ,271.4 55327271.4 5327 T T T xxx y y y ab = = = = = + + + + = = + + + + = = = = += 2 0.972529 72

17、77699369321.50.0500351 0.9725290.0500351 a abb yx = += =+公式是 将x=19,25,31,38,44分别代入 2 0.970.05yx=+，得 * 01234 19.02,32.22,49.02,73.17,97.77.yyyyy= 所以误差() 4 2 0 *0.025 k yy = = 11. 求形如( , bx yaea b=为常数） 的经验公式，使它能和下表给出的数据相拟合。 解：设 bx yae=，两边取对数得lnlnyabx=+，令 01 lnlnYyaaabXx=，则有 01 Yaa X=+ 设( )( ) 2 10 , 1

18、Xxx=，于是得到正规方程组: ()()() ()()() =+ =+ 1111001 0110000 , , Yaa Yaa 其中, () T 1111 ,1 ,1 ,1 ,1 0 ，= ，()T87654321 1 ，= ( () ) ()()T T Y 76729.4 ,47506.4 ,18358.4 ,89386.3 ,60005.3 ,31054.3 ,02042.3 ,72785.2 6 .117ln8 .87ln6 .65ln1 .49ln6 .36ln4 .27ln5 .20ln3 .15ln = =， = =， ()8, 00 = () 01 ,1234567836 = +

19、 + += ()20487654321, 22222222 11 4 =+= ()()()()9787.296 .117ln8 .87ln6 .65ln1 .49ln6 .36ln4 .27ln5 .20ln3 .15ln 0 = =+ + + + + + +=+= ，Y ()()135.147 1 = = ，Y 正规方程组化为: =+ =+ 135.14720436 9787.29368 10 10 aa aa 得 0 a =2.43689 1 a =0.291211 lna=2.43689所以a=11.45 1 a =b=0.291211 x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 153 2

20、05 274 366 491 656 878 1176 数值计算方法第二章课后题答案 18 lna=2.43689所以a=11.45 a1=b=0.291211 0.291211 11.45 x ye= 12. 求函数( )f x在给定区间上对于1,spanx =的最佳平方逼近多项式： ( )( ) ( )( ) 1arctan , 0,1 ; 3, 0,1 ; f xx f xx = = ( )( ) ( )( ) 2cos, 0,1 ; 4,1,1 . x f xx f xe = = 解：设( )( )xxx= 10 , 1 ()()() ()()() 1111001 0110000 ,

21、, yaa yaa =+ =+ （1）( )arctan , 0,1f xx= ()()() ()() 111 2 000111 000 11 01 00 ,1,1/2,1/3 11 ,ln2, 4242 dxxdxx dx yarctgxdxyxarctgxdx = = 010 011 11 ln22ln23 2422 1113 63ln2 23422 3 2ln23(63ln2) 22 aaa aaa yx += + +=+ = + + (2) ( )cos, 0,1f xx= ()()() ()()() 1111001 0110000 , , yaa yaa =+ =+ ()()() (

22、)() 111 2 000111 000 11 01 2 00 ,1,1/2,1/3 2 ,cos0,cos dxxdxx dx yxdxyxxdx = = 01 01 2222 01 2 1 0 12241224 2 , 112 23 aa aayx aa += = = += 。 ( )( )3, 0,1f xx= ()()() ()() 111 2 000111 000 11 01 00 ,1,1/2,1/3 22 , 35 dxxdxx dx yxdxyx xdx = = 01 01 01 12 4444 23 , 112 155155 235 aa aayx aa += =+ += (

23、 )( )4,1,1 x f xe= ()()() ()() 111 2 000111 111 11 11 01 11 ,2,0,2/3 ,2 xx dxxdxx dx ye dx eeyxe dxe = = = 数值计算方法第二章课后题答案 19 1 11 0 011 1 2 33 ,2 222 3 aee eeee aayx aeee = =+ = 。 13. ( )1,1f xx=,在上求关于 24 1,spanxx =的最佳平方逼近多项式。 解：Legendre是-1，1上的正交多项式 取 242 24 11 ( )(31),( )(35303) 28 ( )1, 0 pxxpxxxp

24、x=+= 2 ( ),( )(0,2,4) 21 kk pxpxk k = + 01 0 10 ( ,( )()1f pxx dxxdx =+= 01 22 2 10 01 4242 4 10 111 ( ,( )(31)(31) 224 111 ( ,( )(35303)(35303) 8824 f pxxxdxxxdx f pxxxxdxxxxdx =+= =+= ? 0022 1155 ( ,( ),( ,( ) 2228 af p xaf px=， 44 93 ( ,( ) 216 af px= 002244 ( )( )( )( )xa p xa pxa p x=+ * 4 所以p=

25、 42 0.82031251.6406250.2578125xx= + 14. 求( ) x f xe=在 1,1上的三次最佳平方逼近多项式。 解：( )( )( ) 3 0 kk k f xp xC Px = =?设 () () ( ) ( ) 1 1 ,21 ,2 k kk kk f Pk cPx f x dx P P + = () ( )( ) 1 1 0 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 3 23 0 11 1.175694 22 3 1.103638 2 531 0.357805 222 753 0.070518 222 3153 1.175694 1.1036380.

26、3578050.070518 2222 x x x x kk k Ce dxee Cxe dx Cxe dx Cxx e dx p xC Pxxxxx = = = = = =+ 所以 23 0.9962890.9978610.5367080.176295xxx =+ 15. 已知勒让德多项式 () 2 012 1 1,31 2 PPx Px=，试在二次多项式类 2 1,spanx = 中求一多项式( ) 2 P x，使其成为( )11 x f xe=在，上的最佳平方逼近函数。 解：( ) 2 ,P P PP x 012 由构造,设 ( ) 2001 122 P xc Pc Pc P=+ 由题意

27、可知 1 0c= 即：( ) 20022 P xc Pc P=+ ()() ()() () () 00020 0 2 20222 , , P PP PP fc cP PP PP f = 数值计算方法第二章课后题答案 20 即： 1 0 2 22.350388 2 0.143124 5 cee c = 解得： 0 2 1.175194 0.35781 c c ( ) 2 2 0.5367150.996289P xx=+ 16. 求( )ln1,2f xx=在上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。 解：设 ( )( ) ( )( ) () () 2 * 0 1 00 210 1 11 21

28、122 13131 ,lnln,1,1 222222 , 31 ln 1113122 ,lncos1.15519 22 1 31 ln 2223122 ,coslncos 22 1 nkk k xttf xxttt ptC Tt t CTfdtd t xt CT fdt t = + =+=+=+= = + =+= + =+ 则 0 1.520575d = () () ( )() ( ) 2 1 22 210 *22 3 * 3 31 21 ln 2223122 ,cos2lncos0.46204 22 1 -1.15519+1.5205750.46204 2-10.924081.5205750

29、.69315 31 ln0.00002055 22 tt CTfdtd t ptxxxx tpt + =+= = + + 所以 其误差为 数值计算方法第三章课后题答案 21 第三章第三章 习题答案习题答案 1. 分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分 1 , 0.5 Ixdx=并估计误差。 解：1）用梯形公式有： ( )() 11 0.512 10.5 10.42678 0.5242 xdxff +=+ ( ) () ( ) 3 333 33 22 0.51 2.6042 107.3657 10 12124 T ba Eff = = = 事实上， ( ) ()( ) ( )

30、()( ) 1 0.5 1 0.5 ,0.4309644 1 0.5 0.510.4267767 2 1 0.5 0.510.0041877 2 T f xx Ixdx Iff Efxdxff = += =+= Q 2）Simpson公式 ( ) 11 0.53112 1412 30.43093 0.5642122 xdxfff +=+= ( ) ( ) 4 4 7 44 2 11 11 15 22 1.18377 10 180218028 S ba ba Eff = = () 3 12 2 ( )( ) 48 T ff b a E h=? - 事实上，( )()( ) 1 0.5 1 0.5

31、0.5 1 0.5410.0000304 62 S Efxdxfff + =+= 3）由Cotes公式有： ()( ) () 1 1 1 537 2 70.532123271 0.590848 1 4.9497525.29822 10.3923029.9332670.43096 180 xdxfffff + =+= 1157 (732127) 180288 + ( ) 6 11 6 2 11 2 945 22 2.6974 10 945464 C Ef = () 7 (6) 945 * 4 2 ( )( ) 8 2C f b a Ef h=? - 事实上，( )0.0000003 C Ef=

32、2证明Simpson公式()2.8具有三次代数精度。 证明： 数值计算方法第三章课后题答案 22 ( )( )( ) ( ) ( )( ) 3 333 444 44 22 44 4 624 3 b a abab f xxf aaff bb xba f x dx baabba f aff b + = = + =+= b a 令，则， 左边 右边 故该公式的代数精度是 。 而当( ) 4 f xx=时 左侧：( ) () 455 1 5 bb f x dxx dxba aa = 右侧： ( )( ) () 4 44 55432234 44 6268 5522 32 abbaabba f aff b

33、ab baa ba ba bab + +=+ + + = 左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度. 3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分. (1) 2 1 ,8 0 4 x dx n x = + ， （3） 9 ,4 1 xdx n = ，6,sin4 6 0 2 = nd 解： （1）用复化梯形公式有： 1 01 88 ba h n =， ( )( ) 1234567 21 28888888 1 02 (0.0311280.0615380.0905660.117650.142350.164380.18361)0.20.1114 16 n h Tf affff

34、ffff =+ =+ += 由复化Simpson公式有： ( )( ) ()() 8 111231357 02 ()14 644448888 1 020.0615380.117650.1643840.0311280.0905660.412350.183510.2 24 0.11157 Sfffffffff =+ + =+ + + = ( ) () 1 2 1 1 2,10 0 x e dx n x = 解（3） ： 9 ,4 1 xdx n = 由复化梯形公式有： ( )( )( )( )( )()() ()() 4 9 1 2, 4 1 2192357 2 1 3235717.2277 ba

35、 h n Tfffff = =+ =+ + + 数值计算方法第三章课后题答案 23 由复化Simpson公式有： ( )( )( )( )( )()() ()() 4 1 41925437 6 2 1 32543717.3220 3 Sfffff=+ =+ + + （4）解：6,sin4 6 0 2 = nd 由复化梯形公式： 0356219. 1 3636 2)0( 36 )()(2)( 2 5 , 4 , 3 , 2 , 1, 366 0 6 5 1 5 1 6 = + +=+= =+= = = = f k ffbffaf h T kkha n ab h kk k k 由复化Simpson

36、公式： 035763886. 1,035834878. 1 367236 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0, 2 , 3 2 3 1 4 5 0 6 2 1 5 0 2 16664 = += =+= =+= = + = + S k fH k h fhHHTS k k k k k 4给定求积节点 012 113 , 424 xxx=试推出计算积分( ) 1 0 f x dx 的插值型求积公式，并写 出它的截断误差。 解： ( ) 1 012 0 113 424 f x dxA fA fA f + 1 0 0 1 1 0 13 224 , 11133 4244 13 144 11133

37、2424 xx Adx xx Adx = = 考虑到对称性，有 20 AA=，于是有求积公式 ( ) 1 0 21311 34432 f x dxfff + 由于原式含有3个节点，故它至少有2阶精度。考虑到其对称性，可以猜想到它可能有3 阶精度。事实上，对 3 fx=原式左右两端相等： 333 1 3 0 2131 11 3443 24 x dx += 此外，容易验证原式对 4 fx=不准确，故所构造出的求积公式有3阶精度。 5给定积分 2 0 sinIxdx =。 数值计算方法第三章课后题答案 24 （1） 利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过 3 1 10 ; 2 （2） 取

38、同样的求积节点，改用复化 Simpson 公式计算时，截断误差是多少？ （3） 如果要求截断误差不超过 6 10，那么使用复化 Simpson 公式计算时，应将积分 区间分成多少等分？ 解：(1) 33 22 () ( )( )( ) 1296 n T ba Efff nn = = ( )f x=sin x, ( )cos ,( )sinfxx fxx= 33 22 ( )sin,0, 96962 n T Ef nn = 当误差 3 ( )0.5 10 n T Ef 时，n25.6, 所以取n=26。 25 h :h= (0)( )2() 5222 1 Tfff x n k k =+ = 则

39、12325 0 1 2sin()sin()sin() . sin() 25252525252 =+ +0.9465= （2） 1 S4 42 E ( )( )() sin( ) n 180 218022n h ff = b-a 11 S44922 E () (26)()7 10 n 18022n18022n fn = 则 1 S462 (3) E ()10 n 18022n f 7.6=8nn则 6用 Romberg 求积方法计算下列积分，使误差不超过 5 10。 （1） 1 0 2 x e dx ； （2） 2 0 sinxxdx ； （3） 3 2 0 1xx dx+ ;(4) 1 2 0

40、 4 1 dx x+ 解（1） ： dxe x 1 0 2 1 1211 121 2422 2 1 ( )0,1: (0)(1)0.771743332 2 ( )01: 211 0.68439656,()0.728069946, 22 41 0.71351215 33 ( )01: 2 1131 0.705895578,()0. 2442 aTff b HfTTH STT c HffTTH =+= =+= = =+=+= 在上用梯形公式 ，二等分 ，四等分 716982762 数值计算方法第三章课后题答案 25 ,101052. 3,713271669. 0 14 1 14 4 ,713271

41、674. 0 14 1 14 4 713272634. 0 3 1 3 4 ,714200166. 0)( 2 1 711417571. 0 8 7 8 5 8 3 8 1 4 12 10)( 713272026. 0 14 1 14 4 ,713287034. 0 3 1 3 4 57 111 3 2 3 3 1 2 2 4 2 2 2 484448 4 1 2 2 2 2 1142 = = = = =+= = + + + = = = CRCCR SSC TTSHTT ffffH d SSCTTS 八等分：，将 计算可以停止。 解（2） ：dxxx 2 0 sin 956833201. 5)

42、( 2 1 ,9788642. 6 242 :20)( 018385352. 7 14 1 14 4 ,579736267. 6 3 1 3 4 934802201. 4)( 2 1 ,869604401. 9 2 3 2 :20)( 0 3 1 3 4 , 0)( 2 1 , 0)(2 :20)( 0)2()0( 2 2 :20)( 448 3 0 4 1 2 2 2 2 1242 224 2 2 1211121 1 =+= += = = =+= + = =+= =+= = HTT i fH ，d SSCTTS HTTffH ，c TTSHTTfH ，b ffT ，a i 八等分将 四等分将

43、 二等分将 上用梯形公式得在 283132311. 6 14 1 14 4 ,284030929. 6 3 1 3 4 202231497. 6)( 2 1 ,447629792. 6 484 20)( 266954014. 6 14 1 14 4 278695129. 6 14 1 14 4 ,2975102. 6 3 1 3 4 4 2 8 2 2 48168 8816 7 0 8 1 3 2 3 3 1 2 2 4 2 2 2484 = = =+= += = = = = = SSCTTS HTT i fH ，e CCR SSCTTS i 十六等分将 数值计算方法第三章课后题答案 26 5

44、8 11 1 6 2 6 6 12 5 4 5 5 2 4 4 8 4 4 48 3 16 3 3 8 16 2 32 2 2 16326432 323264 31 0 32 1 5 2 5 5 1 2 4 4 4 4 24 3 8 3 3 4 8 2 16 2 2 8163216 161632 15 0 16 1 4 2 4 4 12 3 4 3 3 2 10105 . 9Y-Z 283185304. 6Y 14 1 Y 14 4 Z,283185304. 6X 14 1 X 14 4 Y 283185304. 6R 14 1 R 14 4 ,283185304. 6 14 1 14 4 2

45、83185292. 6 14 1 14 4 ,283188551. 6 3 1 3 4 278137899. 6)( 2 1 ,293289853. 6 163216 :20)( 283185209. 6 14 1 _ 14 4 283185288. 6 14 1 14 4 ,283185356. 6 14 1 14 4 283184528. 6 14 1 14 4 ,283237428. 6 3 1 3 4 262985945. 6)( 2 1 ,323740394. 6 8168 20)( 283266463. 6 14 1 14 4 ,283202742. 6 14 1 14 4 = =

46、 = = = = = = = = = =+= += = = = = = = = =+= += = = = XCCR SSCTTS HTT i fH ，g XXY RRXCCR SSCTTS HTT i fH ，f RRXCCR i i 六十四等分将 三十二等分将 （3） 解:+ 3 0 2 1dxxx 20762073.10 14 1 14 4 ,20722396.10 3 1 3 4 26636719.10 2 1 ,08893752.10 4 3 8 3 4 3 :3 , 0)( 20457443.10 14 1 14 4 ,20127249.10 3 1 3 4 44379685.10)

47、 2 1 ,71622377. 9 4 9 4 3 2 3 :3 , 0)( 1517434.10 3 1 3 4 ,17136992.11)( 2 1 ,11249037. 8 2 3 3 :3 , 0)( 23024947.14)0() 3( 2 3 30)( 2 2 4 2 2 2484 448 3 0 4 1 2 2 2 2 1242 2242 121121 1 = = =+= += = = =+= + = =+= = =+= = SSCTTS HTT k fH d SSCTTS HTTffH c TTSHTTfH b ffT ，a k 八等分将 四等分将 二等分将 上用梯形公式在 数

48、值计算方法第三章课后题答案 27 计算可以停止 三十二等分将 十六等分将 56 111 5 2 5 5 1 2 4 4 4 4 24 3 8 3 3 4 8 2 16 2 2 8163216 161632 15 0 16 1 4 2 4 4 12 3 4 3 3 2 4 2 8 2 2 48168 7 0 88168 1 3 2 3 3 1 10104 . 1,20759219.10 14 1 14 4 20759219.10 14 1 14 4 ,20759219.10 14 1 14 4 20759223.10 14 1 14 4 ,20759091.10 3 1 3 4 21126074

49、.10)( 2 1 ,20025127.10 16 3 32 3 16 3 : 30)( 20759364.10 14 1 14 4 ,20759393.10 14 1 14 4 20759435.10 14 1 14 4 ,2075712.10 3 1 3 4 2222702.10)( 2 1 ,1781732.10 8 3 16 3 8 3 : 30)( 20766908.10 14 1 14 4 2 = = = = = = = = = =+= += = = = = = =+= += = = XYXXY RRXCCR SSCTTS HTT i fH ，f RRXCCR SSCTTS HTT

50、 i fH ，e CCR i i 解（4）:dx x + 1 0 2 1 4 141585784. 3 14 1 14 4 141594094. 3 14 1 14 4 ,141592502. 3 3 1 3 4 148988495. 3)( 2 1 ,146800518. 3 48 1 4 1 : 10)( 142117647. 3 14 1 14 4 ,141568627. 3 3 1 3 4 131176471. 3)( 2 1 ,162352941. 3 4 3 4 1 2 1 : 10)( 133333333. 3 3 1 3 4 , 1 . 3)( 2 1 , 2 . 3 2 1

51、: 10)( 3)0() 1 ( 2 1 : 10)( 1 3 2 3 3 1 2 2 4 2 2 2484 448 3 0 4 1 2 2 2 2 1242 2242 1211121 1 = = = = =+= += = = =+= + = =+= = =+= = CCR SSCTTS HTT i fH ，d SSCTTS HTTffH ，c TTSHTTfH ，b ffT ，a i 八等分将 四等分将 二等分将 上用梯形公式在 数值计算方法第三章课后题答案 28 7 81688 0 2 8168484 22 34 242121 3344 11 ( )01: 111 3.14289473,(

52、)3.140941613 81682 4141 3.141592652,3.141592662 334141 4141 3.141592639,3.141592666 41414141 6 i e i HfTTH STTCSS RCCXRR XR = =+=+= = = = ，十六等分 65 .88 1010 , 证明用复化梯形公式计算积分( ) b If x dx a =所得结果比准确值大，并说 数值计算方法第三章课后题答案 29 明其几何意义。 证明：复化梯形公式为 11 1 01 ( ()() ( )2()( ) 22 nn nkkk kk hh Tf xf xf af xf b + =

53、 =+=+ 若( )fx在 , a b上连续，则复化梯形公式的余项为 3 1 1 0 (),(,) 12 n T nnkkkk k h EfITfxx + = = (1) 由于 2 ( ) , ,fxC a b且 1 0101 0 1 min()()max() n kkk k nk n k fff n = 所以( , )a b 使 1 0 1 ( )() n k k ff n = = 则(1)式成为： 2 ( ) 12 T n ba Efh f = 又因为( )0,fx所以 2 ( )0. 12 T n ba Efh f = ， max 1 1 n xnxx i i n = 所以 1 n xxx 数值计算方法第四章课后题答案 40 （2） ()()()() 2 max12 2 TTTT n AAAAAAAAA=+QL 2 22222 12 1111111 nnnnnnn iinijiij F iiijiji aaaaaA = =+= L ()()()()() 22 max12 2 11 TTTT n F AAAAAAAAAA nn =+=L 2 1 FF AAA n 14。设 10099 , 9998 A = 计算A的条件数( )(),2,cond A pP = 解： * *1 9899-9899 9910099-100 A AA A = 矩阵A的较大