《概率论与数理统计》第4章作业题

1、第四章第四章 4 4- -2 2 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4 次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中 的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调 整设备的次数，试求E(X) 。(设各产品是否为次品 是相互独立的) 解解 先求检验一次，决定需要调整设备的概率p。 设抽检出次品数为Y，则Y B(10 , 0.1),所以 1 YPp101YPYP )9 . 0(1 10 1. 0)9 . 0( 9 1 10 C，2639. 0 第四章第四章 又因为各产品是否为次品相互独立， 故 X B(4 , 0.2639), 所以X的分布律为 X k p 012 4 )1 (p 3 )1

2、 (4pp 22 )1 (6pp 34 )1 (4 3 pp 4 p 所以 )(XE 3 )1 (41pp 22 )1 (62pp )1 (43 3 pp 4 4p p42639. 04.0556. 1 第四章第四章 47 (1)设随机变量X的概率密度函数为 . 0 , 0 0 , )( x x xf e x ， 2 (1) 2X; (2) x YYe求的数学期望。 第四章第四章 解解 )( 2 e X E )(YE dx e x x e 0 2 dx e x 0 3 | 0 3 3 1 e x . 3 1 0 ( )2( )2 x E Yxf x dxxe dx 2 0 22 xx exe

3、第四章第四章 4-12 某车间生产的圆盘直径在区间(a,b)内服从 均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。 解解 设圆盘直径为X，即X的概率密度函数为 , 0 ;, 1 )( 其它 bxa ab xf X 圆盘面积 X A 2 4 1 的数学期望为 第四章第四章 X E 2 4 1 b a dx ab x 1 4 1 2 | 3 )(12 b a x ab )( 12 22 aabb 第四章第四章 4-22 （1）设随机变量X1, X2, X3, X4 相互独立， 且有E(Xi)=i，D(Xi)=5-i，i=1,2,3,4. 设Y= 2X1-X2+X3-X4.求E(Y),D(Y). （2）设随机变

4、量X,Y相互独立，且 XN(720,302),YN(640,252), 求Z1=2X+Y, Z2=X-Y 的分布，并求概率PXY,PX+Y1400. 第四章第四章 由数学期望的性质知， 74 2 1 -332-12 )E(X 2 1 -)3E(XE(X)-)2E(X )X 2 1 -3XX-E(2XE(Y) 4321 4321 ,X,X,X,X 4321 又因为 相互独立，则由方差的性质知 37.25)D(X 4 1 )9D(X )D(X)4D(X)X 2 1 -3XX-D(2XD(Y) 43 214321 第四章第四章 （2）设随机变量X，Y 相互独立，且XN(720 ,302), YN(6

5、40 , 252)。求 Z1 =2 X +Y , Z2 =X Y , 的分布， 并求概率PXY , PX+Y1400 解解 根据正态随机变量的保形性， )( 1 ZE)()(2YEXE,2080 )( 1 ZD)()(4YDXD 4225,652 ， ) 65 ,2080( 2 1 NZ 第四章第四章 设随机变量X，Y 相互独立，且 XN(720 , 302), YN(640 , 252)。 求 Z1 =2 X +Y , Z2 =X Y , 的分布， 并求概率 PXY , PX+Y1400 ， ) 65 ,2080( 2 1 NZ同理 ， )5251 ,80( 2 NZ YXP0YXP0 2

6、ZP 01 2 ZP 1525 80 1 04. 2,9793. 0 第四章第四章 ， )5251 ,1360( NYX ， ) 65 ,2080( 2 1 NZ， )5251 ,80( 2 NZ ,9793. 0YXP 1400 YXP14001YXP 1525 13601400 1 )024. 1(1 .1539. 0 第四章第四章 423 5家商店联营，它们每两周售出的某种农 产品的数量(以kg计)分别为X1、 X2、 X3 、X4 、 X5， 已知X1 N(200 , 225), X2 N(240 , 240), X3 N(180 , 225), X4 N(260 , 265), X5

7、 N(320 , 270), X1、 X2、 X3 、X4 、X5相互独立 (1) 求5家商店两周的总销售量的均值和方差 (2) 商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到 达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓 库应至少存储多少公斤该产品。 第四章第四章 解解 以Y记5家商店该种产品的总销售量， , 54321 XXXXXY即 (1) 按题设，因为X1、 X2、 X3 、X4 、X5 都服从正态发布，所以 )(YE 5 1 )( i i XE320260180240200 ,1200 )(YD 5 1 )( i i XD270265225240225 ,352 ， ) 35 ,1200(

8、 2 NY 第四章第四章 (2)设仓库应至少存储n公斤该产品，才能使新 的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99， 则n应满足条件 ,99. 0 nYP ， ) 35 ,1200( 2 NY 所以应有 第四章第四章 nYP 35 1200 35 1200nY P 35 1200n 99. 0),33. 2( ,33. 2 35 1200 n 即55.1281n 即需取n=1282公斤。 第四章第四章 432 设随机变量(X,Y)具有概率密度 , 0 , 20 , 20 ),( 8 1 ),( 其它 yxyx yxf ).(),()()( YXDYXCovYEXE XY ，求 解解 )(XEd

9、xdyyxxf ),(dyyxdx x 2 0 2 0 )( 8 2 0 2 0 2 | ) 2 1 ( 8 dxyxy x 2 0 ) 1( 4 dxx x ， 6 7 第四章第四章 )( 2 XE dxdyyxfx ),( 2 dyyxdx x 2 0 2 0 2 )( 8 2 0 2 0 22 | ) 2 1 ( 8 1 dxyxyx 2 0 23 )( 4 1 dxxx， 3 5 )(XYE dxdyyxxyf ),(dyyxydx x 2 0 2 0 )( 8 2 0 2 ) 3 4 ( 4 1 dx x x， 3 4 根据X与Y的对称性可知 ， 6 7 )()(XEYE ， 3 5 )()( 22 XEYE 第四章第四章 ， 3 4 )(XYE ， 6 7 )()(XEYE， 3 5 )()( 22 XEYE 所以 )()(XDYD 22 )()(XEXE 2 6 7 3 5 ， 36 11 ),(YXCov)()()(YEXEXYE 36 49 3 4 ， 36 1 XY )()( ),( YDXD YXCo