(05)第5章 概率与概率分布.ppt

1、第 5 章 概率与概率分布,5.4.4 正态分布,正态分布,在北京市场上的精制盐很多是一公斤袋装，上面标有“净含量1kg”的字样。但当你用稍微精确一些的天平称那些袋装盐的重量时，会发现有些可能会重些，有些可能会轻些；但都是在1kg左右。多数离1kg不远，离1kg越近就越可能出现，离1kg越远就越不可能。 一般认为这种重量分布近似地服从最常用的正态分布(normal distribution，又叫高斯分布，Gaussian distribution)。,正态分布,近似地服从正态分布的变量很常见，象测量误差、商品的重量或尺寸、某年龄人群的身高和体重等等。 在一定条件下，许多不是正态分布的样本均值在

2、样本量很大时，也可用正态分布来近似。,正态分布(normal distribution),1.描述连续型随机变量的最重要的分布 2.可用于近似离散型随机变量的分布 例如: 二项分布 3.经典统计推断的基础,正态分布,正态分布的密度曲线是一个对称的钟型曲线（最高点在均值处）。正态分布也是一族分布，各种正态分布根据它们的均值和标准差不同而有区别。 一个正态分布用N(m,s)表示；其中m为均值，而s为标准差。也常用N(m,s2)来表示，这里s2为方差（标准差的平方）。,正态分布,标准差为1的正态分布N(0, 1)称为标准正态分布(standard normal distribution)。 任何具有

3、正态分布N(m,s)的随机变量X都可以用简单的变换（减去其均值m，再除以标准差s）：Z=(X-m)/s，而成为标准正态随机变量。这种变换和标准分数的意义类似。,两条正态分布的密度曲线。左边是N(-2,0.5)分布，右边是N(0, 1)分布, 和 对正态曲线的影响,概率密度函数,f(x) = 随机变量 X 的频数 = 总体方差 =3.14159; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- x ) = 总体均值,正态分布函数的性质,概率密度函数在x 的上方，即f (x)0 正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值的标准差来区分。

4、决定曲线的高度，决定曲线的平缓程度，即宽度,正态分布函数的性质,曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交 正态曲线下的总面积等于1 随机变量的概率由曲线下的面积给出,正态分布,当然，和所有连续变量一样，正态变量落在某个区间的概率就等于在这个区间上，密度曲线下面的面积。 比如，标准正态分布变量落在区间(0.51,1.57)中的概率，就是在标准正态密度曲线下面在0.51和1.57之间的面积。 很容易得到这个面积等于0.24682；也就是说，标准正态变量在区间(0.51,1.57)中的概率等于0.24682。如果密度函数为f(x)，那么这个面积为积分,标准正态变

5、量在区间(0.51, 1.57)中的概率,正态分布,我们有必要引进总体的下侧分位数、上侧分位数以及相应的尾概率的概念。 对于连续型随机变量X，a下侧分位数（又称为a分位数，a-quantile）定义为数xa，它满足关系,这里的a又称为下（左）侧尾概率（lower/left tail probability）,正态分布,而a上侧分位数（又称a上分位数，a-upper quantile）定义为数xa，它满足关系,这里的a也称为上（右）侧尾概率（upper/right tail probability）。,正态分布,对于非连续型的分布，分位数的定义稍微复杂一些； 显然，对于连续分布，a上侧分位数等于

6、(1a)下侧分位数，而(1a)下侧分位数等于a上侧分位数。,正态分布,通常用za表示标准正态分布的a上侧分位数，即对于标准正态分布变量Z，有P(Zza)=a。 图4.6表示了0.05上侧分位数za=z0.05及相应的尾概率（a=0.05）。,N(0,1)分布右侧尾概率P(zza)=a的示意图,正态分布的概率,概率是曲线下的面积!,标准正态分布(standardize the normal distribution),一般的正态分布取决于均值和标准差 计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的 若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表,标

7、准正态分布函数,标准正态分布的概率密度函数,任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布,标准正态分布的分布函数,标准正态分布,标准正态分布表的使用,将一个一般的转换为标准正态分布 计算概率时 ，查标准正态概率分布表 对于负的 x ，可由 (-x) x得到 对于标准正态分布，即XN(0,1)，有 P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 1 对于一般正态分布，即XN( , )，有,标准化的例子 P(5 X 6.2),标准化的例子P(2.9 X 7.1),一般正态分布,正态分布(例题分析),【例5.21】设XN(0，1)，求以下概率： (1) P(X 2)； (3

8、) P(-12)=1- P(X 2)=1-0.9972=0.0228 (3) P(-1X 3)= P(X 3)- P(X -1) = (3)- (-1)= (3) 1-(1) = 0.9987-(1-0.8413)=0.84 (4) P(| X | 2) = P(-2 X | 2)= (2)- (-2) = (2)- 1-(2)=2 (2)- 1=0.9545,正态分布 (例题分析),【例5.22】设XN(5，32)，求以下概率 (1) P(X 10) ； (2) P(2X 10) 解： (1),(2),用Excel计算正态分布的概率值,标准正态分布： 函数NormsDist(z),2. 正态

9、分布： 函数NormDist(x,0或1),正态分布 (例题分析),【例5.23】已知XN(10，0.22)，求以下概率: (1) P(X 9.4) ； (2) P(9.5X 10.5) 是否大于95%? 解： (1),故 该批零件的质量要求可以得到保证,3准则,1.当X服从正态分布时: P|x-3|3=0.9973 2. 因为|x- 3 | 3的概率（=0.0027）很少,因此可以认为X的值几乎落在区间（X 3 ）内。（因为小概率事件是不可能发生的） 3. 3准则在质量控制中有着广泛的应用:如剔除异常值,控制图,5.4.5 二项分布的正态近似,二项分布的正态近似,根据德莫佛拉普拉斯定理，当n 很大时，二项随机变量X近似服从正态分布： Nnp , np(1-p) 对于一个二项随机变量X，当n很大时，求 P(x1Xx2)时可用正态分布近似为,为什么概率是近似的,增加的部分与减少的部分不一定相等,二项分布的正态近似（实例）,【例5.24】100台机床彼此独立地工作，每台机床的实际工作时间占全部工作时间的80%。求 (1)任一时刻有7080台机床在工作的