四星级高中数学高频错题点集中汇编中(

1、高三数学复习内部交流资料 填充题专项训练填充题专项训练(1)(1) 1已知f (x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当 0x0 的解集为 。 3, 1, 2 2 2 2设不等式 mx 2x m 1 0 对于满足 | m | 2 的一切 m 的值都成立， x 的取值范 7 1,13 y 3 3已知集合 A(x,y)2,x、yR R ，B(x,y)4x+ay16,x、yR R ， x 1 围。 若 AB，则实数 a 的值为4 或-2. 4关于函数 f (x) 2sin(3x 3 4 2 ) ，有下列命题：其最小正周期是 3 ；其图象可由 y 2sin3x y 2cos(3x 的 图 象 向 左 平

2、 移 4 个 单 位 得 到 ； 其 表 达 式 可 改 写 为 4 ) ；在 x 5 ，上为增函数其中正确的命题的序号是： 1212 1 ,4 5函数 f (x) sin2x 2 2 cos( x) 3 的最小值是 22 2 4 4 6对于函数 f (x) cosx sinx ，给出下列四个命题：存在 （0，） ，使f () ； 2 3 存在 （0， ） ，使 2 f (x ) f (x 3) 恒成立；存在 R，使函数f (x ) 3 的图象关于 y轴对称；函数 f (x) 的图象关于（ 4 ，0）对称其中正确命题的序号是 1,3,4 7点A 在以原点为圆心的圆周上依逆时针方向作匀速圆周运动

3、。已知点A 从 x 轴正半轴出发一 分钟转过 (0)角，2 分钟到达第三象限，14 分钟回到原来的位置，则= 8函数 f(x)=3sin(x+20)+5sin(x+80)的最大值为_7_。 45 。 或 77 的值为9已知 cos() 5 ，且(0,),则sin 3122 125 3 。 26 10已知向量a a ( (1 1, ,1 1) )，b b ( (2 2, , 3 3) )，若k k a a 2 2b b与a a垂直，则实数k k等于-1 备用题： 1若 f (x)是 R 上的减函数，且f (x)的图象经过点 A（0，4）和点B（3，2） ，则不等式 | f(x t)1| 3的解集

4、为（1，2）时，t的值为 1 2若 cos cos()，则 的取值范围是：(2k ,2k 2 3 )k z 2 3已知向量a a (cos (cos , ,sinsin ) ),向量b b ( ( 3 3, , 1 1) )则| |2 2a a b b| |的最大值是 4_ 4有两个向量e e1 1 ( (1 1, ,0 0) )，e e 2 2 ( (0 0, ,1 1) )。今有动点P，从P 0 (1,2)开始沿着与向量e e1 1+e e 2 2 相同 的方向作匀速直线运动，速度为|e e1 1+e e 2 2 |；另一动点Q，从Q 0 (2,1)开始沿着与向量3e 1 2e 2 相 同

5、的方向作匀速直线运动，速度为|3e e1 1+2e e 2 2 |设P、Q在时刻t 0秒时分 别在P0、Q 0 处，则当PQPQ P P0 0Q Q 0 0 时，t 2秒 5若平面向量b b与向量a a ( (1 1, , 2 2) )的夹角是180180 ，且b b 3 3 5 5，则b b(-3,6) 6 (.有一批材料可以建成 200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地， 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的 矩形最大面积为_2500_围墙厚度不计). 7求函数 y u ru u r sin xcosx sin x cosx 的最大值为 2 2

6、 2 8向量a a,b b满足( (a a b b) ) ( (2 2a a b b) ) 4 4，且a a 2 2，b b 4 4,则a a与b b夹角等于 9已知|a|10，|b|12，且(3a)(b/5) -36，则 a 与 b 的夹角是_120 作业 1已知 2 3 1,x 0, 3 f (x) 1,x0, 则不等式x (x 2) f (x 2)5 的解集是(, 2 2 ab 2已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)0 的解集是(a2，b)，g(x)0 的解集是(，)，则f(x)g(x) 22 a2a2 ,b)(b,)_. 0 的解集是_( 22 3函数y log 1 sinx 的

7、定义域是 2 (2k,2k)k z 2 y (tanx 1)cos x 的最大值是_ 2 1 _.4函数 2 5已知平面上直线l的方向向量e e ( ( 4 4, ,3 3) )，点 O(0,0)和 A(1,-2)在l上的射影分别是 O1和 A1， 则O O1 1A A 1 1 2 6不等式 ax 1 a 的解集为M，且2M，则a的取值范围为 2 1,) a x22x2 7若 x-1，1)，则函数f (x) 的最大值_-1_。 2(x1) 8 在 ABC 中， 若B=40， 且sin(A C) sin(A C)， 则A 90 ； 50 9在ABC中，A,B,C为三个内角，若cot Acot B

8、 1，则ABC是_钝角三角形 (填直角三角形 钝角三角形锐角三角形 ) 10平面向量a a,b b中，已知a a ( (4 4, , 3 3) )，b b 1 1，且a a b b 5 5，则向量b b=( , ) 4 5 3 5 填充题专项训练填充题专项训练(2)(2) 1对于函数 f1(x)=cos(+x),f2(x)=x2sinx,f3(x)=|sinx|, f4(x)=cos(/2-x),任取其中两个相乘所得的若干 个函数中，偶函数的个数为（3） 2不等式x x21 1的解集为 解：当x 1 0即x 1或x 1时 原式变形为x2 x11即x2 x2 0解得x 2或x 1x 2或x 1

9、当x21 0即1 x 1时 原式变形为x1 x21即x2 x 00 x 1 综上知：原不等式解集为x x 2或x 0且x 1 3 已知向量OA (3,4),OB (6,3),OC (5m,(3m) 若 ABC 为直角三角形， 且A 为直角，则实数 m 的值为。 解：若 ABC 为直角三角形，且A 为直角，则AB AC，3(2m)(1m) 0， 解得m 2 7 4 4 已知ABC 中， A、 B、 C分别是三个内角， a、 b、 c 分别是角A、 B、 C的对边， 已知2 2（sin2A-sin2C） =(a-b)sinB,ABC 的外接圆的半径为 2，则角 C= 。 解：2 2（sin2A-s

10、in2C）=(a-b)sinB, ) () =(a-b)又 2R=2 2，由正弦定理得：22 ( , 2R2R2R a2-c2=ab-b2,a2+b2-c2=ab 结合余弦定理得:2ab cosC=ab,cosC= C= a 2 c 2 b 1 又0C, 2 3 BC1 5在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，且 cosA=，则 sin2+cos2A 的值 32 解:sin B C1 cos2A=1cos(B C) (2cos2A1) 22 11121 2 =(1 cos A) (2cos A1)=(1) (1)= 22399 2 rr 13 )，若存在不同时为零的实数k

11、 和t，使 x6已知平面向量a ( 3,1)，b ( , 22 rr rr 2 =a (t 3)b，y k atb ，且 xy，则函数关系式 k=（用 t 表示） ； xx33 7已知向量a a(cosx，sinx)，b b(cos，b b2sin)，且x0，若f (x)a a 22222 3 ，则的值为 2 3131 解：a a b bcosxcosx sinxsinx cos2x 2222 3131 | a ab b |(cosx cosx)2 (sinx sinx)22 2cos2x 2|cosx| 2222 a ab b的最小值是 x0， cos x0，因此| a ab b |2 co

12、s x 2 f (x)a a b b2a ab b即f (x) 2(cosx )21 22 x0， 0cos x1 2 若0，则当且仅当 cos x0 时，f (x)取得最小值1，这与已知矛盾 若 01，则当且仅当 cos x时，f (x)取得最小值1 2 2 ， 综上所述， 1 为所求 2 2x 1 1,若A B，则实数 a 的取值范围为 x 2 . 解：由| x a | 2得a 2 x a 2,A=x|a-2xa+2，B=x|-2x3 8已知A x | x a | 2,B | x | 所以：a-2-2 且 a+23；所以 0a1 3 9已知向量a=（2，2） ，向量b与向量a的夹角为，且a

13、b=2，向量b= 4 解：设b=（x,y） ，则2x 2y 2,且|b | ab | a | cos 3 4 1x2 y2. x 1x 0 解得或,b (1,0)或b (0,1) y 0y 1 10下列四个命题： a+b2 ab ；sin2x+ 设 x、yR+，若 4 4； 2sin x 19 +=1，则 x+y 的最小值是 12； xy 若|x2|q，|y2|q，则|xy|0） 的定义域为0, ， 值域为5,4， 2 则函数g(x) msin x2ncosx（xR）的最小正周期为最大值为 最小值为。 解：f (x) 3msin2x mcos2x m n 2msin(2x 6 )mn 7 1

14、x 0, 2x , sin(2x) ,1 6 2 6 6 6 2 1 因为m0，f (x)max 2m() m n 4，f (x) min m n 5 2 解得m 3,n 2，从而，g(x) 3sin x4cos x 5sin(x)(xR)， T=2，最大值为 5，最小值为5； x 3 2 记函数 f(x)= 2 的定义域为 A, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1) 的定义域为 B.若 BA, x 1 则实数 a 的取值范围是。. 解:2 x 3x 1 0, 得0, x1 或 x1，即 A=(,1)1,+ x 1x 1 1 或 a2, 而 a0, 得(xa1)(x2a)0. 若 a2a

15、, 则 B=(2a,a+1). 因为 BA, 所以 2a1 或 a+11, 即 a 若 11 a) 2.删去正整数数列 1、2、3、4中所有能被 100 整除的数的项，得到一个新数列，则这个新数列 的第 2005 项是.(2025) 3. 对任意实数 x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c 为常实数，等号右边的运算是通常 意义的加、 乘运算。 现已知 1*2=3， 2*3=4， 且有一个非零实数 m， 使得对任意实数 x， 都有 x*m=x， 则 m=.(4) 4. 函数y x 4x 1的极值是.(极小值-26) 5. 若直线y x是曲线y x 3x ax的切线，则a（1

16、或 6. 已知曲线c: y x x （3x 3y 2 0） 3 32 43 13 ） 4 22 及点(0, ),则过点 P 的曲线c的切线方程是. 33 x 2cos, 7. 设集合A (x, y)(0 2),集合B (x, y)(x 3)2 (y 4)2 r2. y 2sin 若AB中有且只有一个元素,则正数r的取值范围是（3 或 7） 8. 如果函数y (x1)(1 x)的图象在x轴上方,那么该函数的定义域可以是 （，的任一子集）1 ） （1， 1 ） 9.已知函数y f (x)的反函数为y 1 log a (1 x)(a 0,且a 1),则函数y f (x)的图象必 过定点.（ （1，0

17、） ） 10. 设 f(x)是 函 数 f(x)=x 的 反 函 数 ， 则 f 是.（ ） 备用题备用题 11(x) 与g(x) 2x 1的 大 小 关 系 1 (x 0) sgn x 1. 定 义 符 号 函 数 sgn x 0(x 0) ， 则 不 等 式 (x2) (2x1) 的 解 集 是 1 (x 0) _ 答：( 333 ,3) 4 3 2.如果f (x) x _ 答： 3 2x a 在1,1上的最大值是 2，那么f (x)在1,1上的最小值是 2 1 2 3.将正奇数按下表排成 5 列 第 1 行 第 2 行 第 3 行 第 1 列 15 第 2 列 1 13 17 第 3 列

18、 3 11 19 第 4 列 5 9 21 第 5 列 7 23 那么，2005 应在 KKKKKK 第_行_列。 答： 251 行第 4 列 4. 若数列annN N是等差数列，则有数列b n a 1 a 2 L a n nN N 也为等差数列， n 类 比 上 述 性 质 ， 相 应 的 ， 若 数 列cn是 等 比 数 列 ， 且cn 0 nN N ， 则 有 d n _nN N 也是等比数列。 答：d n nc 1c2 L c n 5.从 2001 年到 2004 年间，王先生每年7 月 1 日都到银行存入a元的一年定期储蓄，准备为孩子 读大学用。若年利率为g（扣税后）保持不变，且每年

19、到期的存款本息自动转为新的一年的 定期，到 2005 年 7 月 1 日，其不再去银行存款，而将所有存款本息取回，则取回的总金额 是_ a(1 g)5a(1 g) 答： g 6.某林场去年年底木材存量为a（立方米） ，若森林以每年 25%的增长率生长，每年冬天要砍伐 的 木 材 量 为x（ 立 方 米 ） ， 设 经 过n年 林 场 木 材 的 存 量 为f (n) (nN N )， 则 f (n)=_ 5 5 答： a4x4 x 44 7.2000 年某内河可供船只航行的河流段长为1000 千米，由于水资源的过度使用，促使河水断 流。从 2000 起该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的

20、 可供船只行驶的河段长度为_ 答：( ) 1000 nn 2 ，则到 2009 年，该内河 3 2 3 9 512000 26 19683 三角函数专题 第一课时 33 ， ( )，求cos的值。 542 33 解：因为 ，所以 2 ， 422 43 所以cos21sin22 ，又因为 ， 542 1 cos210 所以cos 。 210 例 1.已知sin2 531 tan x ，且x(， )，求的值。 413441 tan x 53 解：因为sin( x) ，且x(， )，所以 x ， 4134424 12 所以cos( x) ， 413 tantan x 1tan x12 4 所以 ta

21、n( x) cot( x) 。 1tan x 1tan tan x 445 4 例 2.已知sin( x) 2 ，(0，)，求sin、 cos及sin3cos3的值。 3 25 解：因为sin cos (1)平方得sincos ，又因为(0，)， 318 2 142 14 所以sin 0 cos，由此可解得sin， cos， 66 23 sin3 cos3 (sin cos)(sin2sincos cos2) 。 27 例 3.已知sin cos 33 ， ，求cos(2)的值。 45224 73 2 解：cos2( ) 2cos ()1 ,因为 ， 442522 3734 且cos() 0，

22、 ，从而sin() ， 4544445 24 所以sin2() 2sin()cos() ， 44425 231 cos(2) cos2() cos2() sin2() 2。 44424450 例 4.已知cos( ) 备用题 1. 已知sin2(1 cot) cos2(1 tan) 2，(0， 2)。 求tan 的值。 2)得 解：由已知sin (1 cot) cos(1 tan) 2，(0，22 sin2sin2cot cos2 cos2tan 2， 即 sin2cot cos2tan sin2 cos2， 22 两边同时除以cos 得tan 2tan1 0，tan1。 (本题也可以进行切割

23、化弦，进而求tan 的值。) 备用题 2. 已知0 90，且sin,sin是方程x2( 2cos40)x cos40 求cos(2)的值。 解：由题设知， 1 0的两根， 2 1 sin sin，因为方程的 2cos240 4(cos240) 2sin240， 2 由求根公式， 2 (cos40sin40) sin(45 40) sin5，又0 90，所以 5， 2 2 sin(cos40sin40) sin(45 40) sin85，又0 90，所以 85， 2 6 2 所以cos(2) cos(75) cos75 。 4 sin 35 ， cos， sin() ，求sin和cos的值。 2

24、513 34 解：因为cos， 0 ，所以sin1cos2， 525 35 又因为 0，所以，因为sin()0， 22213 12 所以cos() 1sin2() ， 13 16 cos cos() cos()cossin()sin 。 65 作业 1.已知0 作业 2.已知tan 2，求cos( 2) cos2的值。 2 2 2 cos2 2sin cossin212tantan21 L 。 cos2 sin21 tan25 作业 3. 解：cos( 2)cos2 sin2cos2 cos 2sin cossin 2 sincos 若sin， cos是方程2x2( 3 1)x m 0的两根，

25、求的值。 1cot1 tan sincossin2cos2sin2cos2 解： 1cot1 tansincoscossinsincos 3 1。 sin cos 2 作业 4.已知cos( 2 ) 2 71 ， sin() ，且， 0 ， 72222 的值； (2)tan()的值。 2 解：(1)因为 ， 0 ，所以 ， ， 2242422 213 所以sin() 1cos2() ， cos() 1sin2() ， 227222 又因为 ()()， 222 所以cos cos()() cos()cos()sin()sin() 2222222 21 。 14 35 7 ，所以sin1cos2，

26、 (2) 因为 4242214 2tan 5 35 3 2 所以tan ， tan() 。 2311 1 tan2 2 求： (1)cos 第二课时 tan ，例 1已知tan ， 且，为锐角，试求2的值。 解：tan 1 7 1 3 11 且，为锐角，所以 1， tan 1， 73 2tan 3 3 tan2 ，0 ， 0 ， 0 2 ， 21tan 4444 tan tan2 tan(2) L 1，所以2 。 1tantan24 2(3cos4x) 22 例 2求证：tan xcot x 。 1cos4x sin2xcos2xsin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos

27、2x 证明：左边= 22221cos xsin xsin xcos x sin22x 4 1 1sin22x 84sin22x44cos22x42(1cos4x) 2 1 1cos4x1cos4x1cos4x (1cos4x) 8 2(3cos4x) =右边，原式得证。 1cos4x 2 例 3求函数y 1sin xcos x(sin xcos x)的值域。 解：设t sin xcosx 2sin(x) 2，2，则原函数可化为 4 13 y t2t 1 (t )2 ，因为t 2，2，所以 24 13 当t 2时，ymax32，当t 时，ymin， 24 3 所以，函数的值域为y ， 32。 4

28、 例 4已知y asin xb的最大值为 3，最小值为，求a，b的值。 ab 3 a 2 ab 3 a 2解：当a 0时，由 ，当a 0时，由，得得 ab 1b 1ab 1b 1 所以，a 2，b 1。 11 备用题 1已知tan( ) ， 求2 的值。tan ，且，(0，)， 27 tan2( ) tan 解：tan(2 ) tan2( ) ， 1tan2( )tan 41 2tan( )4 L ，tan(2 ) 37 1， 又tan2( ) 24 11tan ( )3 1 3 7 tan( ) tan 1 L ，(0，)， 而tan tan( ) 所以0 ， 1tan( )tan 3 4

29、1 3 所以tan ，所以 ， 2 0，所以2 。 724 备用题 2已知2tan2 tan tan ，求证：| tan( )|1。 证明：2tan2 tan tan ，所以 4tan tan (3 tan2 ) tan 2tan2 tan tan ， 1tan21- tan2 tan (3 tan2 ) tan tantan 2tan (1tan2 ) 1- tan2 所以，tan( ) 222tan (3 tan ) 1 tantan (1 tan ) 1tan 1- tan2 sin 2 2tan cos sin2 sin21 tan2 1 cos2 又|sin2 |1所以| tan(

30、)|1。， 22， 3sin 2 2sin 2 0， 作业 1已知，都是锐角，且3sin 2sin 1 求2。 3 2 解：由题意，3sin cos2， sin2 sin2， 2 3 2 所以cos(2) coscos2 sinsin2 cos3sin sinsin2 2 3 cos3sin23sin sincos 0，又因为，都是锐角，所以0 2 ， 2 所以，2 。(也可以用sin(2)、tan(2)来求) 2 作业 2求函数y sin xcosxsin xcosx的值域。 1t2 解：设t sin xcosx 2sin(x) 2，2，则sin xcosx ， 24 t211 2 原函数可

31、化为y t (t 1) 1 222 11 当 t=1 时，ymax1，当t 2时，ymin 2，所以，函数值域为y2， 1。 22 3sin x1 的最大值与最小值。 sin x2 3sin x1772 解：f (x) ，当sin x 1时，f (x)max 3 3 ， sin x2sin x2123 7 4。 当sin x 1时，f (x)min 3 12 作业 3求函数f (x) sin sin(2 ) 2cos( )。 sinsin sin(2 )sin( )2cos( )sin 证明： 2cos( ) sin sin sin( )cos cos( )sin sin( )sin ， si

32、n sinsin 作业 4求证： 所以，左边=右边，原式得证。 第三课时 例 1求函数f (x) 5 3cos x3sin x4sin xcosx( 区间。 22 7 x )的最小值，并求其单调 424 7 x ) 424 3 3 2sin 2x2 3cos2x 3 3 4sin(2 x) 3 12 7 因为 x ，所以 2x，所以sin(2x ) ， 322424644 7 所以，当2x，即x 时，f (x)的最小值为3 3 2 2， 3424 7 7 因为y sin(2x )在 ， 是单调递增的，所以f (x)在 ， 上单调递增。 34 244 24 2 例 2已知函数f (x) 4sin

33、 x2sin 2x2，xR。 (1) 求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此时 x 的集合； (2)证明：函数f (x)的图像关于直线x 对称。 8 22 解：f (x) 4sin x2sin 2x2 2sin x2(12sin x) 2sin 2x2cos 2x 2 2sin(2x) 4 (1)所以f (x)的最小正周期T ，因为xR， 3 所以，当2x 2k ，即x k 时，f (x)最大值为2 2； 428 (2)证明：欲证明函数f (x)的图像关于直线x 对称，只要证明对任意xR，有 8 f ( x) f ( x)成立， 88 因为f ( x) 2 2sin2( x) 2 2

34、sin(2x) 2 2cos2x， 8842 f ( x) 2 2sin2( x) 2 2sin(2x) 2 2cos2x， 8842 所以f ( x) f ( x)成立，从而函数f (x)的图像关于直线x 对称。 888 2 例 3 已知函数f (x) 2cos x 3sin 2x a， 若x0， ， 且| f (x)| 4， 求a的取值范围。 2 2 解： f (x) 2cos x3sin2xa 1cos2x3sin2xa 2sin(2x)a1，因为 6 7 1 ，所以 sin(2x) 1，x0，所以 2x 266626 解：f (x) 5 3cos x3sin x4sin xcosx(

35、22 所以a f (x) a3，而| f (x)| 4，即4 f (x) 4， a 4 ，解得：4 a 1，所以a的取值范围是(4，1)。 a3 4 2 例 4已知函数f (x) 2cos xsin(x)3sin xsin xcosx。 3 (1) 求f (x)的最小正周期； (2) 求f (x)的最小值及取得最小值时相应的x 值； 7 1 (3) 若当x， 时，求f (1)的值。 12 12 2 解：f (x) 2cos xsin(x)3sin xsin xcosx 3 22 cos xsin x3cos x3sin xsin xcos x sin2x3cos2x 2sin(2x) 3 (1

36、) 由上可知，f (x)得最小正周期为T ； 5 (2) 当2x 2k ，即x k ，kZ时，f (x)得最小值为2； 3212 7 3 (3) 因为x， ，所以 2x，令2sin(2x) 1， 12 122323 1 所以x ，所以f(1)。 44 所以， xxx cos3cos2 。 333 (1) 将f (x)写成含Asin(x)( 0，0 )的形式，并求其对称中心； 备用题 1已知函数f (x) sin (2) 如果三角形ABC的三边 a、b、c 满足 b2=ac， 且边 b 所对角为x， 试求 x 的范围及此时函数f (x) 的值域。 12x32x32x3 sincos sin()

37、， 23232332 3k 132x3k 1 ， )，kZ 令 k，kZ得x ， (kZ)，即对称中心为( 22332 222a c b2acac11 ，所以 cosx 1 (2)由 b2=ac，cosx ，即0 x ，此时 2ac2ac223 32x2x 5 sin() 1， ，所以 2333339 2x333 )1。 所以 3 sin( ，即f (x)值域为( 3，1+ 33222 22 备用题 2已知函数y sin x2sin xcos x3cos x，xR，求 解：(1) f (x) (1) 当 x 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？ 2)平移后得到的函数解析式，并判断平移后函数的

38、奇偶 (2) 求将函数的图像按向量a ( ， 性。 解：(1)y sin x2sin xcosx3cos x=L = 2sin(2x)2， 22 r 8 4 2k，即x k 时，ymax2 2； 48 r (2)按a (， 2)平移，即将函数y =2sin(2x)2的图像向左平移单位，再向下平 848 当2x 移 2 个单位得到所求函数的图像，所以得到解析式为 y =2sin2(x)22 2sin(2x) 2cos2x， 842 由 2 cos2(x) 2 cos2x，所以平移后函数为偶函数。 3 2 作业 1已知函数y 3sinxcosxcos x+， (xR，R)的最小正周期为，且当 2

39、x 时，函数有最小值，(1)求f (x)的解析式；(2)求f (x)的单调递增区间。 6 3313 2sin2x(1cos2x) 解：(1)y 3sinxcosxcos x+ 2222 sin(2x)1，由题意 1， 6 当 1时，f (x) sin(2x)1，f ( ) sin1，不是最小值。 666 当 1时，f (x) sin(2x)1，f ( ) sin1，是最小值。 662 所以f (x) sin(2x)1 sin(2x)1； 66 3 (2)当 2k 2x2k， 262 2 即 k x k，kZ时，函数单调递增。 63 作业 2 已知定义在 R 上的函数f (x) asinxbco

40、sx， (a 0，b 0， 0)的最小正周期 为，f (x) 2，f ( ) 3。(1)写出函数f (x) 的解析式；(2)写出函数f (x)的单调递增区 4 间；(3)说明f (x)的图像如何由函数y 2sin x的图像变换而来。 b 22 解：(1)f (x) asinxbcosx a b sin(x)， tan ，由题意， a 2，a2b2 2，f (x) 2sin(2x)，代入f ( ) 3，有2sin(2 ) 3，所以 44 ,即f (x) 2sin(2x)； 66 (2) 当 2k 2x2k，即xk ，k ，kZ，函数单调增； 26236 (3) 将函数y 2sin x的图像向左平

41、移单位，再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标不变， 6 1 横坐标缩短到原来的倍，可得到函数f (x)的图像。 2 作业 3已知2 ，求y cos 6sin 的最值。 解：因为2 ，即 2，原函数化为 311 y cos( 2)6sin 2sin26sin 1 2(sin)2 ， 22 当sin 1时，ymax 7，当sin 1时，ymin 5。 作业 4就三角函数f (x) sin xcos x 义域外，请再写出三条。 解：f (x) sin xcos x 3 (sin xcos x)(sin xcos x)，xR的性质，除定 2 3 (sin xcos x)(sin xcos x) L s

42、in(2x) 23 a.奇偶性：非奇非偶函数； 5 ，k ，kZ上为单调增函数， 1212 5 11 在k ，k ，kZ上为单调减函数； 1212 c.周期性：最小正周期T ； d.值域与最值：值域11，当x k ，kZ时，f (x)取最小值1， 12 5 当x k ，kZ时，f (x)取最大值1； 12 k5k e.对称性：对称轴x ， (kZ)，对称中心(，0) (kZ)。 21226 b.单调性：在k 第四课时 例 1在VABC中，角 A、B、C 满足的方程x cos AcosBx2sin 之积的一半，试判断VABC的形状。 22 C 0的两根之和为两根 2 C ，即2cos AcosB

43、 1cosC，因为A BC ，所 2 以2cos AcosB 1cos(A B)，即cosAcosBsin AsinB 1，所以cos(A B) 1，所以 A=B，即VABC为等腰三角形。 解：由条件可知，cos AcosB sin2 222 例 2 在VABC中， a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边， 若a c b ac，且a:c ( 3 1):2， 求角 C 的值。 a2c2b21 2 ，所以B ，所以AC 解：a c b ac，所以cosB ，又 2ac233 ac 2 ，所以2sin A ( 3 1)sin C，即2sin(C) ( 3 1)sinC， sin AsinC3 得t

44、anC 1，所以C 。 4 222 例 3在VABC中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 (1)求sin B的值； (2)若b 4 2，且 a=c，求VABC的面积。 cosC3ac ， cosBb cosC3accosC3sin AsinC ，有， cosBbcosBsin B 即sinBcosC 3sin AcosBsinCcosB，所以sin(BC) 3sin AcosB， 又因为A BC ，sin(BC) sin A，所以sin A3sin AcosB，因为sin A 0，所以 解：(1)由正弦定理及 2 21 。 cosB ，又0 B ，所以sin B 1cos2B 33

45、 2 22 (2)在VABC中，由余弦定理可得a c ac 32，又a c， 3 4 22 所以有a 32，即a 24，所以VABC的面积为 3 11 S acsin B a2sin B 8 2。 22 例 4在VABC中，A、B、C 满足A:B:C 1: 2: 2，求1cosAcosBcosAcosB的值。 解：由A:B:C 1: 2: 2，且A BC ，所以A36，B C 72， 1cos AcosBcos AcosB (1cosB)cos A(1cosB) (1cosB)(1cos A) BA 2sin2 (2cos36 sin18)2 22 2cos36 sin18cos18cos36

46、sin36sin721 2cos36 sin18 ， cos18cos182cos182 1 2 1 所以1cos AcosBcos AcosB ( ) 。 24 2cos2 备用题 1在VABC中，A、B、C 满足cosBsinCcosA 0， (1)用tan A表示tanC； (2)求角 B 的取值范围。 解：(1) 因为A BC ，所以cosB cos(AC)，由cosBsinCcos A 0， cosC 0， 得cos AcosC sin AsinC sinCcos A 0L(1)，易知cos A 0， ，不合题意， 2 ，所以cosB cos A cos( A), A B ，不合题意

47、， 若cosC 0，则sinC 1 1 对(1)式两边同除以cosAcosC得，1 tan AtanC tan A 0，； tanC 1 tan A 若cosA 0，则cosB 0，所以A B (2)因为 C 为VABC的一个内角，所以sinC 0，则由cosBsinCcosA 0， 知cosB、 cos A异号，若cos A 0， cosB 0，则 A 为钝角，B 为锐角，此时 cosB sinCcos A cos A cos( A)，因为B A，A B ，不合题意； 若cosB 0， cos A 0，则 B 为钝角， A 为锐角， tan A tanC L (tan2A tan A1)，因

48、为 A 为锐角，所以 1tan AtanC 3 。tan A 0，所以tanB 1，所以 B 24 A 2cos A 2 备用题 2已知 A、B、C 是VABC的三个内角，y tan，若任意交换 ABC 2 sincos 22 则tan B tan(AC) 两个角的位置，y 的值是否变化？证明你的结论。 证明：因为 A、B、C 是VABC的三个内角，A BC ，所以 ABC ， 222 ABC 2sin AA 22 y tan tan ABCBCBC 2 sincos 2 coscos 2222 BCBC 2(sincoscossin) A 2222 tan A tan B tan C ， t

49、an BC 2222 2coscos 22 2cos 因此任意交换两个角的位置，y 的值不变。 作业 1在VABC中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 (1) 求角 B 的大小；(2)若b 13，a c 4，求 a 的值。 cosBb ， cosC2ac cosBbcosBsin B 可化成， cosC2accosC2sin AsinC i nAcos B+s i n(BC) 0， 即2sin AcosBsinCcosBcosCsin B 0，得2s 因为A BC ，所以sin(BC) sin A，所以2sin AcosBsin A 0， 1 2 因为sin A 0，所以cosB

50、，B 为三角形内角，所以B ； 23 解：(1)由正弦定理，条件 (也可以用余弦定理进行角化边完成) (2)将b 13，a c 4，B 2 222 代入余弦定理b a c 2accosB，得 3 2 13 a2(4a)22a(4a)cos ，整理得a24a3 0，解得a 1或a 3。 3 3 ，判断三角形 4 作业 2在VABC中，tan A tan B 3 3tan Atan B，且sin Acos A 形状。 解：因为sin Acos A 33 ，则sin2A ，则A 30或60， 42 又因为tan A tan B 3 3tan Atan B，所以tan(A B) tan A tan B

51、 3，所以 1tan Atan B A B 120，若A30，则B 90，tanB无意义， 所以A 60，B 60，三角形为正三角形。 ACAC tan3tantan 的值。 2222 AC 解：因为 A、B、C 成等差数列，则AC 120，B 60， tan() 3，所以 22 ACACACACAC tan tan3tantan tan()(1tantan)3tantan3。 2222222222 2 ，AC 2，AB 3， 作业 4 在VABC中，sin Acos A 求tan A的值和三角形VABC面 2 作业 3在VABC中，已知 A、B、C 成等差数列，求tan 积。 21 5 7，

52、得sin(A ) ，因为0 A ，A，A， 2424612 7 所以tan A tan tan() L (23)，又因为 1234 7 6 2 sin A sin sin() L ， 12344 116 23( 6 2) S V ABC AC ABsin A 23 2244 解：由sin Acos A 第五课时 r rr r 2 5 sin)，b=(cos ， sin )， |a b | 例 1已知向量a (cos， 5 5 0，且sin ，求sin的值。 (1)求cos( )的值；(2)若0 ， 2213 r r sin)，b=(cos ， sin )， 解：(1)因为a (cos， r r

53、 sin sin )， 所以a b (cos cos ， 2 5r r 2 5 22 又因为|a b |，所以 (cos cos ) (sin sin ) ， 55 43 即22cos( ) ， cos( ) ； 55 0， 0 ， (2) 0 ， 22 又因为cos( ) 34 ，所以sin( ) ， 55 51263 sin ，所以cos ，所以sin sin( ) L 。 131365 rr rrr 2cos)，x a (t 3)b， 例 2已知向量a (2cos ，2sin)，b=(sin， r rrr r y ka b，且x y 0， (1)求函数k f (t)的表达式； (2)若t

54、1 ， 3，求f (t)的最大值与最小值。 r 2 r r r2r r 解：(1)a 4，b 1，ab 0，又x y 0， rr 2 r rrr r r 2 r r 222 所以x y a (t 3)b(ka b) ka (t 3)b t k(t 3)ab 0， 1 3 31 3 3 所以k t t，即k f (t) t t； 4444 3 2 3 (2)由(1)可得，令f (t)导数 t 0，解得t 1，列表如下： 44 t1(1，1)1(1，3) f (t)导数 00+ f (t) 极大值递减极小值递增 11991 而f (1)，f (1) ，f (3)，所以f (t)max，f (t)m

55、in 。 22222 r r sinx)，其中m 例 3已知向量a (m，n)，b (cosx， ，n，是常数，且 0，xR， r r 函数y f (x) ab的周期为，当x 时，函数取得最大值 1。 12 (1)求函数y f (x)的解析式； (2)写出y f (x)的对称轴，并证明之。 nr r 22 解：(1)f (x) ab mcosxnsinx m n sin(x)， (tan )， m 由周期为且最大值为 1，所以 2由f ( ) 1 ，得= ，m2n21 ， 123 所以f (x) sin(2x )； 3 k (2)由(1)知，令2x k ， (kZ)，解得对称轴方成为x ， (

56、kZ)， 32212 k f2() x f (k x) sin2(k x)L sin(2x) f (x)，所以 2126633 k x ， (kZ)是y f (x)的对称轴。 212 r r rr (mn1)， (a 1)。cos x)，n ( 3cos x， 2cos x)， 例 4 已知向量m (2sin x，定义函数f (x) log a (1)求函数y f (x)的最小正周期； (2)确定函数y f (x)的单调区间。 r r 2 解：(1)mn 2 3sin xcosx2cos x 3sin2xcos2x1 2sin(2x)1， 6 所以f (x) log a r r (mn1)= log a 2sin(2 x) 6， (a 1)，所以最小正周期为； (2)令g(x) 2sin(2x) 0，有x(k 而g(x)在区间x(k 6 5 ，k )， (kZ)， 1212 ，k ， (kZ)上单调递增， 126 5 在区间xk ，k )， (kZ)上单调递减， 612 所以函数y f (x)在区间x(k ，k ， (kZ)上单调递增， 126 5 在区间xk ，k )， (kZ)上单调递减。 612 uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 5 uuu ruu