天津高考文科数学试题及 (2)

1、20102010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数数学学( (文史类解析文史类解析) ) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。 第 I 卷 1 至 3 页。第卷 4 至 11 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第第 I I 卷卷 注意事项： 1答 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考 试用条形码。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无

2、效。 3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。 参考公式：参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 g棱柱的体积公式 V=Sh. P(AB) P(A) P(B) 其中 S 表示棱柱的底面积. h表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)i 是虚数单位，复数 3i = 1i (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i 【答案】A 【解析】 3i(3i)(1i)24i = 12i，故选 A。 1i22 【命题意图】本小题考查复数的基本运算，属保分题。 x y 3,

3、 (2)设变量 x，y 满足约束条件x y 1,则目标函数 z=4x+2y 的最大值为 y 1, （A）12（B）10（C）8（D）2 【答案】B 【解析】画出平面区域可知，当直线z=4x+2y 经过点（2，1）时，目标函 数 z=4x+2y 取得最大值 10，故选 B。 【命题意图】 本题考查不等式中的线性规划知识， 考查数形结合的数学思 想。 (3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)3 【答案】B 【解析】由程序框图知：当i=1 时，S=1（3-1）+1=3； 当 i=2 时，S=3（3-2）+1=4；当 i=3 时，S=4（3-3

4、）+1=1； 当 i=4 时，S=1（3-4）+1=0，因为当i 大于 4，就输出S 了，所以选B。 【命题意图】本题考查程序框图的基础知识，考查同学们的识图能力。 （4）函数 f（x）=e x2的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 【答案】C 【解析】因为f (0) e 2 1 0，f (1) e 12 e1 0，所以选 C。 【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理，属基础题。 (5)下列命题中，真命题是 (A)mR,使函数f（x）=x mx（xR）是偶函数 (B)mR,使函数f（x）=x mx（xR）是奇函数 (C)m

5、R,使函数f（x）=x mx（xR）都是偶函数 (D)mR,使函数f（x）=x mx（xR）都是奇函数 【答案】A 【解析】当 m=0 时，函数f(x)=x +mx=x是偶函数，故 A 正确。 【命题意图】本题考查全称命题与存在性命题的真假。 2（log 53） ，c log4 5，则 (6)设a log54，b x 01 2 2 2 2 22 (A)acb(B) )bca(C) )abc(D) )bac 【答案】D 225 【解析】因为a log54 log55=1,b (log53) (log 5 5) =1, c log 4 log 4 4 1， 所以 c 最大，排除 A、B；又因为 a

6、、b(0,1)，所以a b，故选 D。 【命题意图】本题考查对数函数的单调性，属基础题。 (7)设集合A x|x-a|1,xR,B x|1 x 5,xR.若AB，则实数 a 的取 值范围是 (A)a|0a 6 (B)a|a 2,或a 4 (C)a|a 0,或a 6 (D)a|2 a 4 【答案】C 【解析】因为Ax|a1 x a1，AB ，所以a11或a15，解得 实数 a 的取值范围是a|a 0,或a 6，故选 C。 【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、 集合之间的关系等基础知识， 考查同学们数形 结合的数学思想。 （x+）（xR）在区间- （8）右图是函数y Asin 5 ， 上的图象

7、，为了得到 66 这个函数的图象，只要将y sinx（xR）的图象上所有的点 (A)向左平移 的 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来 3 1 倍，纵坐标不变 2 (B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来 3 的 2 倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 的 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来 6 1 倍，纵坐标不变 2 (D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变 6 【答案】A 【解析】由给出的三角函数图象知，A=1， 所以 2 3 ，即原函数解析式为y sin(2x+ 3 ，解得 2，又2( 6 )+ 0， 的图象上)，所以只

8、要将y sinx（xR） 1 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不 23 变即可得到函数y sin(2x+ )的图象，选 A。 3 所有的点先向左平移 【命题意图】本题考查正弦型三角函数的图象变换、 考查正弦型三角函数解析式的求法， 考 查识图能力。 uuu rruuu ruuu （9）如图，在ABC 中，AD AB，BC 3BD，AD 1，则 uuu r uuu r AC AD= （A）2 3（B） 【答案】D 33 （C）（D） 3 23 uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r | AC | AD |cosDAC | AC |cosDAC | A

9、C |sinBAC ACgAD 【解析】= uuu r | BC |sin B uuu r 3 | BD |sin B=3，故选 D。 【命题意图】本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识 ,考查化归与转化的数学思想, 有点难度. （10）设函数g(x) x 2(xR)， （A） 2 (x)x4,xg(x),f (x) g g(x)x,xg(x). 则f (x)的值域是 999 ,0 (1,) （B）0,)（C）,)（D） ,0 (2,) 4 4 4 【答案】D 22 x x2,x g(x) x x2,x(,1)(2,) 【解析】由题意 f (x) 2 = 2 x x2,x g(x) x x2

10、,x(1,2) 1 2 7(x ) ,x(,1)(2,) 24 =， 所以当x(,1)(2,)时，f (x)的值域 19 (x )2 ,x(1,2) 24 为(2,)；当x(1,2)时，f (x)的值域为 9 ,0)，故选 D。 4 【命题意图】本题考查分段函数值域的求法，考查分类讨论的数学思想。 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数数学（文史类）学（文史类） 第卷第卷 注意事项：注意事项： 1.1.答卷前将密封线内的项目填写清楚。答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2. 2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。用钢笔或圆珠笔直接答在试

11、卷上。 3. 3.本卷共本卷共 1212 小题，共小题，共 100100 分。分。 题号题号 得分得分 二二三三 （1717）（1818）（1919）（2020）（2121）（2222） 总分总分 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共6 6 小题，每小题小题，每小题4 4 分，共分，共2424 分。把答案填在分。把答案填在 题中的横线上。题中的横线上。 （11）如图，四边形ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长AB 和 DC 相 交于点 P。若 PB=1，PD=3，则 【答案】 BC 的值为。 AD 1 3 【解析】因为 ABCD 四点共圆，所以DAB PCB， CDA=PBC，因为P 为

12、公共角，所以PBCPAB，所以 PBPCBCBCPB1 。，所以= ADPD3PDPAAD 【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。 （12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积 为。 【答案】3 【解析】由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直棱柱，棱柱的高为1，梯形的上 下底面边长分别为 1、2，梯形的高为 2，所以这个几何体的体积为 1 (12)213。 2 【命题意图】本题考查本题考查立体几何中的三视图以及棱柱体积的求解,考查空间想象能 力与识图能力。 x2y2 （13）已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的一条渐近线方程是y 3x，它的一个焦点 ab 与抛物

13、线y 16x的焦点相同。则双曲线的方程为。 2 x2y2 1 【答案】 412 【解析】由题意知，双曲线的一个焦点为（ 4，0） ，即a b 16，又因为已知双曲线 22 x2y2b y 3x1(a 0,b 0)的一条渐近线方程是 ，所以有 3，即b 3a，可 a2b2a x2y2 1。 解得a 4，b 12，故双曲线的方程为 412 22 【命题意图】本题考查双曲线的几何性质、抛物线的几何性质、待定系数法求双曲线方程， 考查运算能力以及对基础知识的熟练掌握程度。 （14）已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为。

14、【答案】(x1) y 2 【解析】因为圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，所以圆心坐标为（-1，0） ，因为直 线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r 22 |103| 2，故圆C 的方程为 2 (x1)2 y2 2。 【命题意图】本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识。 （15） 设an是等比数列， 公比q 2， Sn为an的前 n 项和。 记T n 17S n S 2n,nN*.设 a n1 Tn 0 为数列Tn的最大项，则n0=。 【答案】4 a 1(1q n)a 1(1q 2n) 17 n2n 1q1q * 17(1q )(1q) 【解析】因为T n

15、 ，,nN= nn(1q)q a 1q t161717(1t)(1t2)1617t t2 设q t，则有Tn= 2 1( 2 1)t2 1(12)t(12)t n ( t168179 ) =，当且仅当，即t 4，所以当Tn 0 为数列 2 1( 2 1)t2 12 12 1 Tn的最大项时，n0=4。 【命题意图】 本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用、 均值不等式求最值等基 础知识。 （16）设函数f(x)=x- 围是。 【答案】(,1) 【解析】因为对任意 x1,)，f(mx)+mf(x)=2mx- 222 1 ,对任意 x1,），f(mx)+mf(x)0恒成立，则实数m 的取

16、值范 x 1m 0恒成立，所以 mxx 22 当m 0时，有2m x 1m 0对任意 x1,)恒成立，即2m 11m 0，解 得m 1，即m 1；当m 0时，有2m x 1m 0对任意 x1,)恒成立，x 无 解，综上所述实数 m 的取值范围是m 1。 【命题意图】本题考查函数中的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想。 三、解答题：本大题共6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 在ABC 中， 2222 ACcosB 。 ABcosC （）证明 B=C： （）若cos A=- 1 ，求 sin4B 的值。 33 【命题意图

17、】本小题主要考查正弦定理、 两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二 倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力. 【 解 析 】 （ ） 证 明 ： 在 ABC 中 ， 由 正 弦 定 理 及 已 知 得 sinBcosB =. 于 是 sinCcosC sinBcosC-cosBsinC=0，即 sin（B-C）=0.因为 BC ，从而 B-C=0. 所以 B=C. （）解：由 A+B+C=和（）得 A=-2B,故 cos2B=-cos（-2B）=-cosA= 1 . 3 又 02B0. 2 （）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程； （）若在区间 1

18、1 , 上，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围. 2 2 【命题意图】本小题主要考查曲线的切线方程、 利用导数研究函数的单调性与极值、 解不等 式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 【解析】 （） 解： 当 a=1 时， f （x） =x 3 3 2 f(2)=6. x 1， f （2） =3； f(x)=3x23x, 2 1 . a 所以曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为 y-3=6（x-2） ，即 y=6x-9. （）解：f(x)=3ax 3x 3x(ax 1).令 f(x)=0，解得 x=0 或 x= 以下分两种情况讨论： （1）若0 a 2，则 2

19、11 ，当 x 变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表： a2 0X 1 0 ， 2 1 0， 2 f(x) f(x) +0 极大值 - Z 1 5a 0,f ( ) 0, 8 1 1 2 当x ， 时，f（x）0 等价于，即 2 2 f ( 1 ) 0, 5a 0. 2 8 解不等式组得-5a2，则0 11 .当 x 变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表： a2 0 0 极大值 X f(x) f(x) 1 0 ， 2 + 1 0， a - 1 a 0 极小值 1 1 ， a 2 + ZZ 5a 1 0,f(-)0, 21 1 2 8 a 5 当x ， 时，f（x）0 等价于即，解不

20、等式组得 2 2 2 f( 1 )0, 1- 1 0. a2a2 或a 2 .因此 2a5.综合（1）和（2） ，可知 a 的取值范围为 0ab0）的离心率 e= ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 2ab 为 4. （）求椭圆的方程； （）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）. |= （i）若|AB 4 2 ，求直线 l 的倾斜角； 5 uuu r uuu r QB=4.求y 0 的值. （0，y 0 ） （ii）若点 Q在线段 AB 的垂直平分线上，且QAg 【命题意图】 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线的方程、 两点间的距离公式、 直

21、线的倾斜角、 平面向量等基础知识， 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思 想，考查综合分析与运算能力. 【解析】 （）解：由 e= c3 22222 ，得3a 4c.再由c a b，解得 a=2b. a2 由题意可知 1 2a2b 4，即 ab=2. 2 a 2b, x2 y21. 解方程组得 a=2，b=1，所以椭圆的方程为 4 ab 2, ()(i)解：由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为(x 1, y1) ，直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k（x+2）. y k(x2), 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 x 2消去 y 并整理，得 2

22、 y 1. 4 (14k2)x216k2x(16k24) 0. 16k2428k24k x 由2x 1 ，得.从而.y 11 14k214k214k2 28k2 4k4 1k2 所以| AB| 2 . 2 2 214k14k14k 4 1k24 24 2 由| AB |，得. 214k55 42 整理得32k 9k 23 0，即(k 1)(32k 23) 0，解得 k=1. 22 2 2 所以直线 l 的倾斜角为 3 或. 44 8k22k , （ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为. 22 14k14k 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2

23、,0） ，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 uuu ruuu ruuu ruuu r QA2,y 0 ,QB 2,y 0 . 由QAQB 4，得y0 2 2。 2k 1 8k2 x （2）当k 0时，线段 AB 的垂直平分线方程为y。 22 14kk 14k 6k 。 214k uuu ruuu r 由QA2,y0，QB x 1, y1 y 0 ， 令x 0，解得y0 uuu ruuu r228k2 6k4k6k QAQB 2x 1 y 0 y 1 y 0 22 22 14k14k 14k 14k 416k415k21 14k 2 2 4， 2 整理得7k 2。故k 142 14 。所

24、以y0 。 75 综上，y 0 2 2或y 0 2 14 5 1 5a 0,f ( ) 0, 1 1 82 当x ， 时，f（x）0 等价于即 2 215a f ( ) 0, 0. 2 8 解不等式组得-5a2，则0 11 .当 x 变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表： a2 0 0 极大值 X f(x) f(x) 1 0 ， 2 + 1 0， a - 1 a 0 极小值 1 1 ， a 2 + ZZ 5a 1 0,f(-)0, 2 8 1 1 当x ， 时，f（x）0 等价于即 2 211 f( )0, 1- 0. 2a 2a 解不等式组得 22 a 5或a .因此 2a5. 22 综合（1）和（2） ，可知 a 的取值范围为 0a5. （22） （本小题满分 14 分） 在数列a n中， a 1=0，且对任意 kN ，a 2k1,a2k ,a 2k+1 成等差数列，其公差为 2k. * （）证明a 4 ,a 5 ,a 6 成等比数列； （）求数列an的通项公式； 32232n2 （）记T n . 2 n 2）g g g ，证明 2n T n （ 2a 2 a 3 a n 【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和 等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合