《二次函数的图像与性质》课件2.ppt

1、1.2. 二次函数的图像与性质,第一章 二次函数,知识回顾,一般地，形如 y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做 x 的二次函数.,(1)列表,(3)连线,(2)描点,2. 画函数图象的主要步骤是什么？,1. 二次函数的定义,3. 一次函数的性质,一次函数 y = kx+b (k、b为常数，且 k0)中，当 k0 时，y 随 x 的增大而；当 k0 时，y 随 x 的增大而.,增大,减小,思考,在二次函数 y=x2中，y 随 x 的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？,知识讲解,请你画出二次函数 y=x2 的图象.,(1) 观察 y = x 的表达式，选择适当的

2、 x 值，并计算相应的 y值，完成下表：,0,0,9,4,1,9,4,1,3,2,1,-3,-2,-1,议一议,对于二次函数 y=x 的图象.,(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.,(2) 图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？,抛物线,图象与 x 轴有交点. 交点坐标是 (0，0),总结新知,函数 y=x2 的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于 y 轴对称.,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.,举 例,例1、画二次函数 的图象.,列表：,描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如下图所示：,利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点， 并用一条光滑曲线把y

3、轴左边的点和原点顺次连 接起来，这样就得到了 的图象.如下图所示：,例画二次函数 y=-x2 的图象,解：(1) 列表：,0,0,-9,-4,-1,-9,-4,-1,3,2,1,-3,-2,-1,(3) 用光滑的曲线连接各点，便得到函数 y=-x 的图象.,(2)在坐标系中描点,二次函数y=ax的图象及其特点？,1、顶点坐标？,（0，0）,2、对称轴？,y轴（直线x=0）,3、图象具有以下特点：,一般地，二次函数y=ax （ a0 ）的图象是一条抛物线；,抛物线在x轴的下方（除顶点外）,顶点是抛物线上的最高点.,抛物线开口向下，,当a0 时，,抛物线在x轴的上方（除顶点外）.,顶点是抛物线上的

4、最低点；,抛物线开口向上，,当a0 时，,知识回顾,例2.画二次函数 的图象.,描点和连线：画出图象在y 轴右边的部分.利用对称性 画出y轴左边的部分.,这样我们得到了 的图象，如图,【解析】列表,x,O,y,2,4,2,4,2,4,把二次函数 的图象E向左平移1个单位，得到图形F，如图.,E,F,O,新知探究,由于平移不改变图形的形状和大小，因此在向左平移1个单位后；,图形F也是抛物线,点O（1，0）是F的顶点,直线l（过点O与y轴平行）是F的对称轴,F也开口向上,在抛物线 上任取一点 ，它在向左平移1个单位后，P的象点Q的坐标是什么？,把点P的横坐标A减去1，纵坐标 不变，即象点Q的坐标为

5、,抛物线F是哪个函数的图象呢？,这样我们证明了：函数 的图象是抛物线F，它的开口向上，它的顶点是O（1，0），它的对称轴是过点O（1，0）且平行与y轴的直线l ，直线l是有横坐标为1的所有点组成的，我们把直线l 记做直线x =1，抛物线 的开口向上.,记 b=a+1，则a=b-1 从而点Q的坐标为,这表明：点Q在函数 的图象上，由此得出，抛物线F是函数 的图象，,证 明：,类似地，我们可以证明下述结论：,二次函数 的图像是抛物线，它的对称轴是直线x=h它的顶点坐标是（h，0）抛物线的开口向上；当a0时抛物线开口向上；当a0时抛物线开口向下.,由于我们已经知道了函数 的图象的性质，因此今后在画

6、的图象，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分，在画图象的右边部分时，只需要“列表，描点，连线”三个步骤.,例3、画函数 的图象.,解 抛物线 的对称轴是 x=2，顶点坐标是 （2，0）,列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.,描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.,利用对称性画出图象在对称轴左边的部分:,这样我们得到了函数 的图象 .,1.说出下列二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；,对称轴 x=5,顶点坐标（5，0）,对称轴 x=-2,顶点坐标（2，0）,随堂练习,2.画二次函数 的图象,如何画二次函数 的图象？,我们来探究二次函数 之间的关系.,图象

7、上的点,横坐标,纵坐标,a,a,通过上表说明 与 之间的关系？,从此表看出：对于每个给定x值函数 的值都要比函数 都要大3由此可见 函数 的图象向上平移3个单位，就得到函数 的图象.因此，二次函数 的图象也是抛物线，它的对称轴为直线 x=1 （与抛物线 的对称 轴一样），顶点坐标为（1，3）（它是由抛物线 的顶点（1，0）向上平移3个单位得到），它的开口向上.,函数 的图象是抛物线，它的对称轴是 直线x=h它的顶点坐标是(h, k)当a 0时，抛物线的 开口向上；当a0时，开口向下.,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,1.顶点坐标与对称轴,2.位置与开口方向,3.增减性与最值,抛物线

8、,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（h，k）,（h，k）,直线x=h,直线x=h,由h和k的符号确定,由h和k的符号确定,向上,向下,当x=h时,最小值为k.,当x=h时,最大值为k.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；,第三步：利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条

9、光滑曲线顺次连接他们和顶点）,第二步：列表（自变量x从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；,由于我们知道 的图像的性质 因此画 图像的步骤如下：,解 对称轴是直线 x =1，顶点坐标为（1，3）,例4、画二次函数 的图象,列表：自变量x从顶点的横坐标1开始取值.,x,O,y,2,4,2,4,2,4,2,4,描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.,利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样我们得到了函数 的图象，如右图,向右平移1个单位,顶点坐标(0,0),(1,0),对称轴:直线x=0,直线x=1,向左平移1个单位,顶点坐标(0,0),(-1,0),对称轴:直线

10、x=0,直线x=-1,x,y,o,-1,1,做一做:,向上,直线x=-3,( -3 , 0 ),直线x=1,直线x=3,向下,向下,( 1 , 0 ),( 3, 0),练一练： 1.已知函数y=-3(x-2)2+4，当x=_时，函数取最大值为_. 2.已知抛物线y=-(x+1)2-3，当x_时，y随x的增大而减小. 3.怎样平移抛物线y=3x2，便可得到抛物线y=3(x-2)2+2？,2,4,-1,由抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位或先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到.,例5、已知某抛物线的顶点坐标为(-2，1)且与y轴相交于点(0，4)求这个抛物线所表示二次函数

11、的表达式.,解：由于点（-2,1）是该抛物线的顶点，可设这个抛物线的所表示的二次函数表达式为y=a(x+2)2+1.,由函数图像过点（0,4），可得：,4=a(x+2)2+1,解得：a=,因此，所求得的二次函数的表达式为,y= （x+2）2+1= x2+3x+4,一般地，平移二次函数 的图象就 可得到二次函数,的图象，,因此，二次函数,h左加右减 k上加下减,它的形状，开口方向与a的值有关.,顶点坐标与 h 和 k,的值有关，且是(h，k),对称轴与h的值有关，对称轴是直线x=h,探究：求二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴和顶点坐标.,解析,要求二次函数 y=2x2-8x+7 图象的

12、对称轴和顶点坐标.只需将它化为 y=a(x-h)2+k 的形式.,解： y=2x2-8x+7,=2(x2-4x)+7,=2(x2-4x+4)-8+7,=2(x-2)2-1,因此，二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴是直线 x=2，顶点坐标为(2，-1).,做一做,确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1) y=3x2-6x+7 (2) y=2x2-12x+8,解： (1) y=3x2-6x+7 =3(x2-2x)+7 =3(x2-2x+1)-3+7 =3(x-1)2+4 因此，二次函数 y=3x2-6x+7 图象的对称轴是直线 x=1，顶点坐标为(1，4).,(2) y=2x2-

13、12x+8 =2(x2-6x)+8 =2(x2-6x+9)-18+7 =2(x-3)2-11,因此，二次函数 y=2x2-12x+8 图象的对称轴是直线 x=3，顶点 坐标为(3，-11).,二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.,向上 （a0）,向下 （a0）,直线 x=-,（- ， ）,一般地，有下述结论：,二次函数y=ax2+bx+c，当x等于顶点的横坐标时，达到最大值(当a0)或最小值 (当a0)，这个最大(小)值等于顶点的纵坐标.,举 例,解,配方：,例6 、 求二次函数 的最大值.,顶点坐标是(2，1)，于是当x=2时，y达到最大值1.,增减性： a0时，x- ，y随x的增大而减小 x- ，y随x的增大而增大 a0时，x- ，y随x的增大而增大 x - ，y随x的增大而减小 最值： a0时，x=- ，y最小值= a0时，x=- ，y最大值=,解（1）y=2x2-12x+3 =2(x-3)2-15 对称轴：直线x=3 顶点坐标：（3，-15）,（2）y=-5