空间误差分析第四章 平差数学模型与最小二乘原理.ppt

1、空间数据误差处理,Surveying Adjustment,第四章 平差数学模型与最小二乘原理,回 顾,测量平差,求平差值,精度评定,何谓平差值,怎样去求？,精度指标,精度指标求法,方差、协方差阵 权、协因数阵,第四章 平差数学模型与最小二乘原理,4-1 测量平差概述 4-2 函数模型 4-3 函数模型的线性化 4-4 测量平差的数学模型 4-5 参数估计与最小二乘原理 小 结,4-1 测量平差概述,几个主要概念 几何模型、几何量、函数模型、必要观测、多余观测、条件方程 测量平差,4-1 测量平差概述,一、主要概念 1.几何模型 在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定

2、点的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们常把这些网称为几何模型。,4-1 测量平差概述,2.几何量 每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。,4-1 测量平差概述,3.函数模型 要确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。,4-1 测量平差概述,4.必要观测 （1）必要元素：能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，

3、称为必要元素。必要观测元素的个数用 t 表示，称为必要观测个数。 （2）必要元素的选取与性质 能唯一确定该模型 最少需要 元素间不存在任何确定的关系,4-1 测量平差概述,（3）独立量 一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量。,4-1 测量平差概述,5.多余观测 假设对模型中的几何量总共观测 n 个， n t，可以确定模型，还可以发现粗差 多余观测就是观测值的个数 n 与必要观测个数 t 之 差，用 r 表示。 r = n t 在统计学中也叫自由度。,4-1 测量平差概

4、述,例1 例2,n = 6， t = 3，r = 3,n = 7， t = 4，r = 3,4-1 测量平差概述,6.条件方程 每增加一个多余观测，在它们中间就必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。,4-1 测量平差概述,二、测量平差,误差的存在,三角形图形条件的闭合差,4-1 测量平差概述,求改正数V,消除矛盾,产生矛盾,多余观测,平差值,一个测量平差问题，首先要由观测值和未知量间组成函数模型，然后采用一定的平差原则对未知量进行估计，最后分析成果的精度。,评定精度,函数模型,VTPV=min,4-2 函数

5、模型,条件平差的函数模型 附有参数的条件平差的函数模型 间接平差的函数模型 附有限制条件的间接平差的函数模型,4-2 函数模型,测量数据的函数模型：几何模型、物理模型或几何、物理模型。（测量控制网如水准网、三角网、GPS网等都属于几何模型）,建立不同的函数模型，就有不同的平差方法，测量中常用的有： 1. 条件平差的函数模型 2. 附有参数的条件平差的函数模型 3. 间接平差的函数模型 4. 附有限制条件的间接平差的函数模型,4-2 函数模型,一、条件平差的函数模型 1. 条件平差法：以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。,4-2 函数模型,4-2 函数模型,2.特点 （1）一个平差问

6、题，条件形式不唯一！选取形式最简为宜。 （2）各条件式之间是独立的。找出观测值真值之间应该满足的 r 个不相关的关系式。,3.模型,4-2 函数模型,4-2 函数模型,4-2 函数模型,如果有n个观测值 ，必要观测个数为 t，则应列出 r = n - t 个条件方程: 线性形式： 令,条件平差的自由度为多余观测数r，即条件方程个数。,4-2 函数模型,4-2 函数模型,例1：已知点A、B高程；观测值：h1h5,t = 2，n = 5，r = 3,4-2 函数模型,二、附有参数的条件平差的函数模型 1.附有参数的条件平差法：设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件

7、方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0ut，每增设一个参数应增加一个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有参数的条件平差法。,4-2 函数模型,2.模型,（1）仍然按条件平差列r 个方程 （2）然后增加一个参数，就会增加一个 条件方程： （3）联立写成矩阵形式,4-2 函数模型,（1）按条件平差列函数模型 （2）选C点高程为参数，则增加一个 条件方程： （3）写成矩阵形式,t = 2，n = 5，r = 3,4-2 函数模型,一般而言，其一般形式为： 如果条件方程是线性的，其形式为： 令,此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数由r 个增加到 c=r+u 个，故平差的

8、自由度为 r=c-u。,4-2 函数模型,3.特点 （1）“特殊”的条件平差 （2）不同于间接平差，参数u的选择： 0ut 参数之间要独立。 （3）函数模型总数c= r + u （4）函数模型由两部分组成： 条件平差的条件方程；含有参数的条件方程,4-2 函数模型,例2：已知点A、B高程；观测值：h1h4,（1） n =4， t = 2，r = 2 （2）选 u=1 个参数： （3）列 c= r + u=3个条件方程,4-2 函数模型,三、间接平差的函数模型 1.间接平差法：选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，

9、称为间接平差法。,4-2 函数模型,2.模型,t = 2，选2个参数,4-2 函数模型,t = 3，选3个参数,4-2 函数模型,一般而言，一般形式为： 如果条件方程是线性的，其形式为： 令,间接平差选了t 个独立参数，多余观测不随 平差方法不同而异，自由度是r = n - t。,4-2 函数模型,3.特点 （1）列立观测方程前先选参数，其参数的个数等于必要观测个数t。 （2）t个参数独立。 （3）观测方程的个数等于观测值的个数n。 （4）测量控制网中，常采用待定点的坐标、待定点的高程为平差参数建立观测方程。,4-2 函数模型,例3：,t = 2，选C、D高程为参数,4-2 函数模型,条件平差

10、函数模型 先确定必要观测数 由r=n-t求出多余观r 列r个独立的条件方程（即观测量真值之间的几何条件式）,间接平差函数模型 先确定必要观测数 选t个独立的参数 列n 个观测方程（将每一个观测值表达成所选参数的函数）,条件平差函数模型与间接平差函数模型比较,4-2 函数模型,例4：分别列立条件平差、间接平差的函数模型。已知点A、B高程；观测值：h1h4,4-2 函数模型,条件平差函数模型,间接平差函数模型,选,4-2 函数模型,四、附有限制条件的间接平差的函数模型 1.附有限制条件的间接平差法：如果在某平差问题中，选取ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u- t个参数必定是t个独立参

11、数的函数，即在u个参数之间存在着s个函数关系式。方程的总数c=n+s=r+t+s=r+u个，建立模型时，除了列立n个观测方程（间接平差）外，还要增加参数之间满足的s个条件方程，以此作为平差函数模型的平差方法称为附有限制条件的间接平差法。,4-2 函数模型,2.模型,（1） t = 2 （2）选u=2+1 个参数： （3）产生约束条件,（4）函数模型： （5） 写成矩阵形式,间接平差,约束条件,4-2 函数模型,间接平差,约束条件：,4-2 函数模型,函数模型的一般形式为： 线性形式的函数模型为： 令：,4-2 函数模型,3.特点 （1）“特殊”的间接平差，即仍要选参数，参数的个数 ut （2）

12、多选的参数的个数 s=u-t ，参数之间不独立，产生 s 个函数式 （3）函数模型由两部分构成: 间接平差的构成方程 参数之间的条件方程 （4）函数模型的总数 c= n+s = r+t+s = r+u （5）自由度 r = n-t = n-(u-s),4-2 函数模型,条件 特殊的条件平差 需要选参数，且参数间独立 参数个数u：0ut 函数模型个数：c=r+u 函数模型的类型 1.按条件平差的条件方程 2.含有参数的条件方程,间接 特殊的间接平差 需要选参数，且参数间不独立 参数个数u：ut 函数模型个数：c= r+u = r+t+s = n+s 函数模型的类型 1.按间接平差的观测方程 2.

13、参数之间的条件方程（限制条件式）,附有参数的条件平差与附有限制条件的间接平差比较,4-2 函数模型,四种平差方法与参数的关系,4-2 函数模型,例5.如图所示，A为已知点，B、C、D、E为待定点，观测了9条路线的高差h1h9，列出下面四种情况的函数模型，试指出所列情况属于基本平差方法的哪一类函数模型，并指出方程的个数。,D,4-2 函数模型,（1）选取B、C、D三点的高程平差值为参数 （2）选取h1h5的高差平差值为参数 （3）选取h5h8的平差值为参数 （4）选取C、E两点间的高差为参数,u=3t，附有参数的条件平差函数模型， c=r+u=5+3=8,u=5t，附有限制条件的间接平差模型，

14、c=r+u=5+5=10,u=4=t，间接平差函数模型， c=n=9,u=1t，附有参数的条件平差函数模型， c=r+u=5+1=6,n=9，t=4，r=9-4=5,D,4-3 函数模型的线性化,线性化的一般方法 平差模型的线性化 条件平差 间接平差 附有参数的条件平差函数模型 附有条件的间接平差函数模型,4-3 函数模型的线性化,非线性化,线性化,？,问题：,线性化的方法：用Taylor级数公式展开，取一次项，二次以上项舍去。,4-3 函数模型的线性化,一、线性化的一般方法 条件方程的综合形式为： 令,4-3 函数模型的线性化,4-3 函数模型的线性化,例：将非线性条件式 线性化。,4-3

15、函数模型的线性化,二、平差模型的线性化 1.条件平差 对照线性化一般形式，有 ，其中 令,4-3 函数模型的线性化,2.附有参数的条件平差 对照线性化一般形式，有 ，其中 令,4-3 函数模型的线性化,3.间接平差 对照线性化一般形式，有 ，其中 令,4-3 函数模型的线性化,4.附有限制条件的间接平差 因为 令 则线性化后的模型为 ，其中,4-4 测量平差的数学模型,随机模型 平差的数学模型 四种基本平差方法的数学模型,4-4 测量平差的数学模型,一、随机模型 1.定义 随机模型是平差问题中的随机量及其相互间统计相关性质的模型。 2.模型,D为L的协方差阵，Q为L的协因数阵，P为L的权阵，

16、为单位权方差。,4-4 测量平差的数学模型,观测量L的随机性是由其误差的随机性决定，是随机向量，的方差就是L的方差。DL=D=D 随机模型描绘的是观测值的统计性质，是通过观测值的数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观测值是否受系统误差的影响、观测值的精度或它们是否相关等。,4-4 测量平差的数学模型,3.随机模型的确定 在进行平差计算前，函数模型和随机模型必须首先被确定。要确定随机模型，知道P、Q、D其中之一。一般是先进行平差前经验定权，通过平差计算求出其估值，然后根据公式求得D的估值。,4-4 测量平差的数学模型,二、平差的数学模型 1.平差的数学模型包括随机模型和函数模型。 2.

17、作用 进行平差计算前，先确定随机模型和函数模型，然后确定观测值的协因数阵或权阵，按最小二乘原理得到平差值。,三、四种基本平差方法的数学模型,G-M模型,具有约束条件的G-M模型,4-4 测量平差的数学模型,4-4 测量平差的数学模型,4-5 参数估计与最小二乘原理,参数估计 最小二乘原理,4-5 参数估计与最小二乘原理,一、参数估计 1.测量平差中的参数估计，是要在众多的解中找出一个最为合理的解，作为平差参数的最终估计。从数理统计观点看，参数估计要具有最优的统计性质，从而对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。这种约束条件是用最小二乘原理实现的。,4-5 参数估计与最小二乘原

18、理,2.估计量的最优性质 （1）无偏性：若 是的估计量，并且满足 则称 是 的无偏估计量。 （2）有效性：设 和 都是的无偏估计量，若有 ，则称 较 有效。若 则为无偏最优估计量。 （3）一致性：若 是的估计量，并且满足对任意给定的小正数 0，有 ， 则称 是 的一致估计量。,4-5 参数估计与最小二乘原理,引例1.为了确定刀具的磨损速度，做如下实验：经过一定的时间（如每隔一小时），测量一次刀具的厚度，得到一组实验数据如下：,4-5 参数估计与最小二乘原理,f(t)=at+b,问题：确定a，b,选取a，b，使得 f( t ) 在t0，t1，t2t7 的函数值与实验数据y0，y1，y2y7 相差很小，即使偏差 yi - f( ti ) 最小。,最小二乘法,4-5 参数估计与最小二乘原理,引例2.匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：,4-5 参数