宁波市鄞州区九年级上期末数学试卷及解析

1、2014-20152014-2015 学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 4 分，共分，共 4848 分）分） 1已知，则代数式的值为() ABCD 2抛物线 y=2（x3）2+1 的顶点坐标是() A （3，1）B （3，1）C （1，3）D （1，3） 3展览馆有 A，B 两个入口， D、E、F 三个出口， 则从 A 入口进， F 出口出的概率是() ABCD 4在 RtABC 中， A=Rt ，AB=3，BC=4，则 cosB=() ABCD 5“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是

2、() ABC D 6在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移 1 个单位，再向上平移2 个单位，得 到的抛物线的解析式是() Ay=3（x+1）2+2By=3（x+1）22Cy=3（x1）2+2Dy=3（x1）22 7如图，PA、PB、分别切O 于 A、B 两点， P=40，则 C 的度数为() A40B140 C70D80 8 如图， 若P为 ABC的边AB上一点 （ABAC） ， 则下列条件不一定能保证 ACP ABC 的有() A ACP= BB APC= ACBC=D= 9如图，在 ABC 中，AB=AC， BAC=90，BC=8，A 与 BC 相切于点 D，且与 AB、 AC

3、 分别交于点 E、F，则劣弧的长是() AB2C3D4 10若二次函数 y=ax2+bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如下表，则当 x=1 时，y 的值为() x765432 y27133353 A5B3C13 D27 11如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的负半轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的右边） ，与 y 轴的正半轴交于点 C，且 OA=OC=1，则下列关系中正确的是() Aa+b=1Bb2aCab=1 Dac0 12 如图， O 与射线 AM 相切于点 B， 圆心 O 在射线 AN 上， O 半径为 6cm， OA=10cm 点 P 从点 A 出发，以 2cm/秒

4、的速度沿 AN 方向运动，过 P 点作直线 l 垂直 AB，当 l 与O 相 切时，所用时间是() A 秒 B 秒 C 秒或秒D 秒或秒 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 4 分，共分，共 2424 分）分） 13有一个圆锥底面半径为5，母线为 13，则它的侧面积是_ （结果保留 ） 14二次函数，当 x2 时，y 随 x 的增大而_ 15如图，已知 BE 平分 ABC，DE BC，AD=3，DE=2，AC=4，则 AE=_ 16如图，将半径为 3 的圆形纸片，按下列顺序折叠若 分的面积是_（结果保留 ） 和都经过圆心 O，则阴影部 17 AB是O内接正方形的一条边长， AC是同一个O

5、内接正六边形的一条边长， 则 BAC 的度数是_ 18如图，ABC 中，AB=AC，BC=16，cosB= ，M，N 是 BC 上的点，且 MAN= C， 则 BNCM 的值是_ 三、解答题（第三、解答题（第 1919 题题 6 6 分，第分，第 2020、2121 题各题各 8 8 分分，第，第 22222424 题各题各 1010 分，第分，第 2525 题题 1212 分，分， 第第 2626 题题 1414 分）分） 19计算：2sin30+cos30tan60+tan45 20 一个不透明的口袋里装有2 个红球、 1 个黄球和若干个绿球 （除颜色不同外其余都相同） ， 若从中任意摸出

6、 1 个球是绿球的概率是 （1）求口袋中绿球的个数； （2）若第一次从口袋中任意摸出1 个球，放回搅匀，第二次再摸出1 个球，用列表或画树 状图方法写出所有可能性，并求出刚好摸到一个红球和一个绿球的概率 21 （1）用直尺和圆规作出ABC 的外接圆 O（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）若 BC=5， A=60，求O 的半径长 22如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的 仰角是 30，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自 B 处测得建筑物顶部的仰角 是 45已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度 （取 到 1m） =1.732，

7、结果精确 23如图，AE 是 ABC 外接圆 O 的直径，连结 BE，作 ADBC 于 D （1）求证： ABE ADC； （2）若 AB=8，AC=6，AE=10，求 AD 的长 24某商品的进价为每件50 元，售价为每件 60 元，每天可卖出 190 件；如果每件商品的售 价每上涨 1 元，则每天少卖10 件，设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数） ，每天的销售 利润为 y 元 （1）求 y 关于 x 的关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每天的利润恰为1980 元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 25若一个四边形的两条对角线互相垂直

8、且相等， 则称这个四边形为“奇妙四边形”如图 1， 四边形 ABCD 中，若 AC=BD，ACBD，则称四边形 ABCD 为奇妙四边形根据“奇妙四 边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于 两条对角线乘积的一半根据以上信息回答： （1）矩形_“奇妙四边形”（填“是”或“不是”） ； （2）如图 2，已知O 的内接四边形 ABCD 是“奇妙四边形”，若O 的半径为 6， BCD=60求“奇妙四边形”ABCD 的面积； （3）如图3，已知O 的内接四边形 ABCD 是“奇妙四边形”作 OMBC 于 M请猜测OM 与 AD 的数量关系，并证明你的结论 26

9、 （14 分）如图，抛物线与 x 轴交于点 A（2，0）和 B（6，0） ，与 y 轴交于点 C（0， 3） （1）求此抛物线的解析式和顶点D 的坐标； （2）连结 BC、BD、CD，求证： BCD 是直角三角形； （3）过点B 作射线 BM CD，E 是线段 BC 上的动点，设BE=t作EFBC 交射线 BM 于 点 F 证明： EBF DCB； 连结 CF，当 ECF 与 DCB 相似时，求出 t 的值； 记 S=S ECFS EBF，请直接写出 S 取到最大值时，t 的值和 EBF 内切圆半径 r 2014-20152014-2015 学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期末数学年浙江省宁

10、波市鄞州区九年级（上）期末数 学试卷学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 4 分，共分，共 4848 分）分） 1已知，则代数式的值为() ABCD 【考点】比例的性质 【分析】用 b 表示出 a，然后代入比例式进行计算即可得解 【解答】解： a= b， = ， = 故选 B 【点评】本题考查了比例的性质，用b 表示出 a 是解题的关键 2抛物线 y=2（x3）2+1 的顶点坐标是() A （3，1）B （3，1）C （1，3）D （1，3） 【考点】二次函数的性质 【分析】直接根据抛物线的顶点坐标式写出顶点坐标即可 【解答】解： 抛物线 y=2（x3）2+1， 顶点坐标为（3，1

11、） ， 故选 B 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标式是解答本题的关键， 此题难度不大 3展览馆有 A，B 两个入口，D、E、F 三个出口，则从 A 入口进，F 出口出的概率是() ABCD 【考点】列表法与树状图法 【分析】 根据两个独立事件同时发生的概率等于两个独立事件发生概率的积直接算出答案即 可 【解答】解： A，B 两个入口，D、E、F 三个出口， 从 A 入口进的概率为： ；从 F 出口出的概率为： ， 从 A 入口进，F 出口出的概率是 = ， 故选 C 【点评】 考查了独立事件概率的求法， 解答时要牢记两个独立事件同时发生的概率等于两个 独立事件发生概

12、率的积，也可通过列表或树状图法将所有情况全部列举出来 4在 RtABC 中， A=Rt ，AB=3，BC=4，则 cosB=() ABCD 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据题意画出图形，进而得出cosB= 【解答】解： A=Rt ，AB=3，BC=4， 则 cosB= 故选：A 求出即可 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键 5“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是() ABC D 【考点】简单组合体的三视图 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 【解答】解：“圆柱与球的组合体”的三视图依次为长方形的上

13、边有一个圆，长方形的上边有 一个圆，圆环，故选 A 【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键 6在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移 1 个单位，再向上平移2 个单位，得 到的抛物线的解析式是() Ay=3（x+1）2+2By=3（x+1）22Cy=3（x1）2+2Dy=3（x1）22 【考点】二次函数图象与几何变换 【专题】常规题型 【分析】 先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的对称轴为直线 x=0， 顶点坐标为 （0， 0） ， 则抛物线 y=3x2向右平移1 个单位， 再向上平移2 个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1， 顶点坐标为（1，2） ，然后再根据顶

14、点式即可得到平移后抛物线的解析式 【解答】解： 抛物线 y=3x2的对称轴为直线 x=0，顶点坐标为（0，0） ， 抛物线 y=3x2向右平移1 个单位， 再向上平移2 个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1， 顶点坐标为（1，2） ， 平移后抛物线的解析式为y=3（x1）2+2 故选：C 【点评】 本题考查了二次函数图象与几何变换： 先把抛物线的解析式化为顶点式y=a （xk） 2+h，其中对称轴为直线x=k，顶点坐标为（k，h） ，若把抛物线先右平移m 个单位，向上平 移 n 个单位，则得到的抛物线的解析式为y=a（xkm）2+h+n；抛物线的平移也可理解为 把抛物线的顶点进行平移 7如图

15、，PA、PB、分别切O 于 A、B 两点， P=40，则 C 的度数为() A40B140 C70D80 【考点】切线长定理；圆周角定理 【专题】计算题 【分析】连接 OA，OB 根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得 OAP， OBP 的度数，根据四边形的内角和定理即可求的 AOB 的度数，然后根据圆周角定理即 可求解 【解答】解： PA是圆的切线 OAP=90， 同理 OBP=90， 根据四边形内角和定理可得： AOB=360 OAP OBP P=360909040=140， ACB= AOB=70 故选 C 【点评】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确求得 AOB

16、 的度数，是解决 本题的关键 8 如图， 若P为 ABC的边AB上一点 （ABAC） ， 则下列条件不一定能保证 ACP ABC 的有() A ACP= BB APC= ACBC=D= 【考点】相似三角形的判定 【专题】压轴题 【分析】根据相似三角形的判定方法利用公共角 A 进行求解 【解答】解： A= A， 当 APC= ACB 或 ACP= B 或 AC：AB=AP：AC 或 AC2=ABAP 时， ACP ABC 故选 D 【点评】此题考查了相似三角形的判定： 有两个对应角相等的三角形相似； 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； 三组对应边的比相等，则两个三角形相似 9

17、如图，在 ABC 中，AB=AC， BAC=90，BC=8，A 与 BC 相切于点 D，且与 AB、 AC 分别交于点 E、F，则劣弧的长是() AB2C3D4 【考点】切线的性质；弧长的计算 【分析】连接 AD，可求得 AD 的长，再利用弧长公式可求得 【解答】解：如图，连接AD， 的长 BC 为A 的切线， ADBC， AB=AC， D 为 BC 中点，且 BAC=90， BD=DC=AD= BC=4， 又 BAC=90， = 故选 B =2， 【点评】本题主要考查切线的性质，由条件证得D 为 BC 的中点求出半径是解题的关键 10若二次函数 y=ax2+bx+c 的 x 与 y 的部分对

18、应值如下表，则当 x=1 时，y 的值为() x765432 y27133353 A5B3C13 D27 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】由表可知，抛物线的对称轴为x=3，顶点为（3，5） ，再用待定系数法求得二 次函数的解析式，再把 x=1 代入即可求得 y 的值 【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（xh）2+k， 当 x=4 或2 时，y=3，由抛物线的对称性可知h=3，k=5， y=a（x+3）2+5， 把（2，3）代入得，a=2， 二次函数的解析式为 y=2（x+3）2+5， 当 x=1 时，y=27 故选 D 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式， 抛物线是

19、轴对称图形，由表看出抛物 线的对称轴为 x=3，顶点为（3，5） ，是本题的关键 11如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的负半轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的右边） ，与 y 轴的正半轴交于点 C，且 OA=OC=1，则下列关系中正确的是() Aa+b=1Bb2aCab=1 Dac0 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】由抛物线与 y 轴相交于点 C，就可知道 C 点的坐标（0，1）以及 A 的坐标，然后 代入函数式，即可得到答案 【解答】解：A 不正确：由图象可知，直线AC：y=x+1，当 x=1 时，a+b+11+1，即 a+b 1； B 不正确：由图象可知，1，解

20、得 b2a； C 正确：由抛物线与 y 轴相交于点 C，就可知道 C 点的坐标为（0，c） ， 又因为 OC=OA=1， 所以 C（0，1） ，A（1，0） ， 把它代入 y=ax2+bx+c， 即 a（1）2+b（1）+1=0， 即 ab+1=0， 所以 ab=1 D 不正确：由图象可知，抛物线开口向上，所以a0；又因为 c=1，所以 ac0 故选：C 【点评】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系， 解题的关键是了解各系数对函数的图象 的影响 12 如图， O 与射线 AM 相切于点 B， 圆心 O 在射线 AN 上， O 半径为 6cm， OA=10cm 点 P 从点 A 出发，以 2c

21、m/秒的速度沿 AN 方向运动，过 P 点作直线 l 垂直 AB，当 l 与O 相 切时，所用时间是() A 秒 B 秒 C 秒或秒D 秒或秒 【考点】直线与圆的位置关系 【专题】动点型；分类讨论 【分析】当 l 平移到 l和 l时，与O 相切，切点分别为C 点和 D 点，如图，根据切线的性 质得到四边形 BOCE 和四边形 BODF 都是矩形，则BE=OC=6，BF=OD=6，在Rt AOB 中 利用勾股定理计算出 AB=8， 则 AE=ABBE=2， AF=AB+BF=14， 利用 PE OB 得到=， 利用比例性质可计算出AP= ，易得点P 运动的时间为 秒；接着证明 QOD QAF，利

22、 用相似比计算出 AQ=，易得点 P 运动到点 Q 时的时间为秒 【解答】解：当 l 平移到 l和 l时，与O 相切，切点分别为 C 点和 D 点，如图， 则 OC=OD=6，OCl，ODl， O 与射线 AM 相切于点 B， OBAM， lAB， 四边形 BOCE 和四边形 BODF 都是矩形， BE=OC=6，BF=OD=6， 在 Rt AOB 中， OB=6，OA=10， AB=8， AE=ABBE=2，AF=AB+BF=14， PE OB， =，即= ， AP= ， 点 P 运动的时间= 2= （秒） ； OD AF， QOD QAF， =，即 ， 2=（秒） ， 秒 =， AQ= 点

23、 P 运动到点 Q 时的时间= 即当 l 与O 相切时，所用时间为 秒或 故选 C 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系：设O 的半径为 r，圆心O 到直线 l 的距离为 d， 则直线 l 和O 相交dr；直线 l 和O 相切d=r；直线 l 和O 相离dr也考查了 矩形的性质和相似三角形的判定与性质 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 4 分，共分，共 2424 分）分） 13有一个圆锥底面半径为5，母线为 13，则它的侧面积是 65 （结果保留 ） 【考点】圆锥的计算 【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解 【解答】解：圆锥的底面周长是：25=10， 则 10

24、13=65 故答案为：65 【点评】 本题考查了圆锥的计算， 正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解 决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长 14二次函数，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 【考点】二次函数的性质 【分析】利用二次函数开口方向以及对称轴两侧增减性相反进而得出答案 【解答】解：二次函数， a= 0， 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 故答案为：减小 【点评】此题主要考查了函数图象的性质，利用开口方向得出增减性是解题关键 15如图，已知 BE 平分 ABC，DE BC，AD=3，DE=2，AC=4，则 AE=2.4 【考点】

25、平行线分线段成比例；等腰三角形的判定与性质 【分析】如图，首先证明BD=DE，求出AB=5；证明ADE ABC，列出比例式 求出 AE 即可解决问题 【解答】解：如图， BE 平分 ABC，DE BC， DBE= CBE， DEB= CBE， DBE= DEB， DB=DE=2，AB=AD+DB=5； DE BC， ADE ABC， ，而 AC=4，AD=3， AE=2.4， 故答案为 2.4 ， 【点评】 该题主要考查了等腰三角形的判定、 相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其 应用问题；牢固掌握等腰三角形的判定、相似三角形的判定及其性质是解题的关键 16如图，将半径为 3 的圆形纸片，按

26、下列顺序折叠若 分的面积是 3（结果保留 ） 和都经过圆心 O，则阴影部 【考点】翻折变换（折叠问题） 【专题】压轴题；操作型 【分析】作 ODAB 于点 D，连接 AO，BO，CO，求出 OAD=30，得到 AOB=2 AOD=120，进而求得 AOC=120，再利用阴影部分的面积=S 扇形AOC 求解 【解答】解；如图，作 ODAB 于点 D，连接 AO，BO，CO， OD= AO， OAD=30， AOB=2 AOD=120， 同理 BOC=120， AOC=120， 阴影部分的面积=S 扇形AOC= 故答案为：3 =3 【点评】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是确定 AOC=120

27、17 AB是O内接正方形的一条边长， AC是同一个O内接正六边形的一条边长， 则 BAC 的度数是 105或 15 【考点】正多边形和圆 【分析】根据题意画出图形，根据正方形与正六边形的性质求出与的度数，根据圆周 角与弦的关系即可得出结论 【解答】解：如图所示， AB 是O 内接正方形的一条边长，AC 是同一个O 内接正六边形的一条边长， =90，=60 当点 C 在 C1的位置时， 优弧=3609060=210， BAC1= 210=105； 当点 C 在 C2的位置时，=9060=30， BAC2= 30=15 综上所述， BAC 的度数是 105或 15 故答案为：105或 15 【点评

28、】本题考查的是正多边形和圆，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解 18如图，ABC 中，AB=AC，BC=16，cosB= ，M，N 是 BC 上的点，且 MAN= C， 则 BNCM 的值是 100 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】如图，作辅助线；求出AB=10；证明ABN MCA，得到 BNCM=ABAC=100 【解答】解：如图，过点A 作 APBC 于点 P AB=AC，BC=16， BP=PC=8， B= C；而 cosB= ， ，AB=10； ，故 MAN= C， MAN+ NAC= NAC+ C； MAC= MAN+ NAC， ANB= NAC+ C， MAC= ANB，

29、而 B= C， ABN MCA， ， BNCM=ABAC=100 故答案为 100 【点评】 该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、 等腰三角形的性质等知识点及其应用 问题；牢固掌握相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质是解题的基础和关键 三、解答题（第三、解答题（第 1919 题题 6 6 分，第分，第 2020、2121 题各题各 8 8 分，第分，第 22222424 题各题各 1010 分，第分，第 2525 题题 1212 分，分， 第第 2626 题题 1414 分）分） 19计算：2sin30+cos30tan60+tan45 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据特殊角

30、的三角函数值进行计算即可 【解答】解：原式=2 +（）2+1 =1+ +1 =3 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值， 是各地中考题中常见的计算题型 解决此类题目 的关键是熟记特殊角的三角函数值的运算 20 一个不透明的口袋里装有2 个红球、 1 个黄球和若干个绿球 （除颜色不同外其余都相同） ， 若从中任意摸出 1 个球是绿球的概率是 （1）求口袋中绿球的个数； （2）若第一次从口袋中任意摸出1 个球，放回搅匀，第二次再摸出1 个球，用列表或画树 状图方法写出所有可能性，并求出刚好摸到一个红球和一个绿球的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）首先设袋中的绿球个数为x 个，然后根据

31、古典概率的知识列方程，解方程即可 求得答案； （2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即 可 【解答】解： （1）设袋中的绿球个数为 x 个， = ， 解得：x=1， 经检验，x=1 是原方程的解， 袋中绿球的个数 1 个； （2）画树状图得： ， 则一共有 12 种情况， 两次摸到球的颜色是一红一绿这种组合的有2 种， 故两次摸到球的颜色是一红一绿这种组合的概率为：= 【点评】 本题考查了用列表法或画树状图法求概率 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏 的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总 情况数之比 21 （1）

32、用直尺和圆规作出ABC 的外接圆 O（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）若 BC=5， A=60，求O 的半径长 【考点】作图复杂作图；三角形的外接圆与外心 【分析】 （1）首先作出 AB、BC 的垂直平分线，两线的交点就是外接圆的圆心； （2）根据圆周角定理可得 BOC=120，再根据等腰三角形的性质可得 BOH=60， BH= BC=，然后利用三角函数求出BO 的长即可 【解答】解： （1）如图所示： （2）连接 BO，CO， A=60， BOC=120， EF 是 BC 的垂直平分线，BO=CO， BOH=60，BH= BC= OBH=30， BO=5 ， 【点评】此题主要考查了复杂作

33、图， 以及圆周角定理和垂径定理， 关键是掌握三角形外接圆 的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 22如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的 仰角是 30，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自 B 处测得建筑物顶部的仰角 是 45已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度 （取 到 1m） =1.732，结果精确 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【专题】压轴题 【分析】根据 CE=xm，则由题意可知 BE=xm，AE=（x+100）m，再利用解直角得出 x 的值， 即可得出 CD 的长 【解答】解：设 CE=

34、xm，则由题意可知 BE=xm，AE=（x+100）m 在 Rt AEC 中，tan CAE= 即 tan30= 3x= ， ， （x+100） ， =136.6， ， 解得 x=50+50 CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1138（m） 答：该建筑物的高度约为138m 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据tan CAE=得出 x 的值是解决问题 的关键 23如图，AE 是 ABC 外接圆 O 的直径，连结 BE，作 ADBC 于 D （1）求证： ABE ADC； （2）若 AB=8，AC=6，AE=10，求 AD 的长 【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理 【

35、分析】 （1）如图，证明 ABE= ADC=90， E= C，即可解决问题 （2）由 ABE ADC，列出比例式，求出 AD 即可解决问题 【解答】 解： （1）如图， AE 是 ABC 外接圆 O 的直径，且 ADBC， ABE= ADC=90；而 E= C， ABE ADC （2） ABE ADC， ，而 AB=8，AC=6，AE=10， AD=4.8 【点评】 该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、 圆周角定理及其推论等几何知识点及 其应用问题；解题的关键是深入观察图形结构特点， 数形结合，准确找出图形中隐含的相等 或相似关系 24某商品的进价为每件50 元，售价为每件 60 元，每天

36、可卖出 190 件；如果每件商品的售 价每上涨 1 元，则每天少卖10 件，设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数） ，每天的销售 利润为 y 元 （1）求 y 关于 x 的关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每天的利润恰为1980 元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用 【分析】 （1）利用销量乘以每件利润=总利润得出关系式即可； （2）利用（1）中所求关系式，进而使y=1980 进而得出即可； （3）利用配方法求出二次函数最值，结合x 的取值范围得出答案 【解答】解： （1）设每件商品的售价上涨x

37、 元（x 为正整数） ，每天的销售利润为 y 元， 则 y=（6050+x） （19010 x）=10 x2+90 x+1900； （2）当 y=1980，则 1980=10 x2+90 x+1900， 解得：x1=1，x2=8 故每件商品的售价定为 61 元或 68 元时，每天的利润恰为1980 元； （3）y=10 x2+90 x+1900=10（x ）2+2102.5， 故当 x=5 或 4 时，y=2100（元） ， 即每件商品的售价定为 64 元或 65 元时，每天可获得最大利润，最大利润是2100 元 【点评】 此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法， 得出 y 与 x

38、 的函数关系 式是解题关键 25若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等， 则称这个四边形为“奇妙四边形”如图 1， 四边形 ABCD 中，若 AC=BD，ACBD，则称四边形 ABCD 为奇妙四边形根据“奇妙四 边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于 两条对角线乘积的一半根据以上信息回答： （1）矩形不是“奇妙四边形”（填“是”或“不是”） ； （2）如图 2，已知O 的内接四边形 ABCD 是“奇妙四边形”，若O 的半径为 6， BCD=60求“奇妙四边形”ABCD 的面积； （3）如图3，已知O 的内接四边形 ABCD 是“奇妙四边形”作 OM

39、BC 于 M请猜测OM 与 AD 的数量关系，并证明你的结论 【考点】圆的综合题 【专题】综合题 【分析】 （1）根据矩形的性质和“奇妙四边形”的定义进行判断； （2）连结 OB、OD，作 OHBD 于 H，如图 2，根据垂径定理得到 BH=DH，根据圆周角 定理得到 BOD=2 BCD=120，则利用等腰三角形的性质得 OBD=30，在 Rt OBH 中 可计算出 BH=OH=3，BD=2BH=6，则 AC=BD=6，然后根据奇妙四边形”的面 积等于两条对角线乘积的一半求解； （3）连结OB、OC、OA、OD，作 OEAD 于 E，如图 3，根据垂径定理得到AE=DE，再 利用圆周角定理得到

40、 BOM= BAC， AOE= ABD，再利用等角的余角相等得到 OBM= AOE，则可证明 BOM OAE 得到 OM=AE，于是有 OM= AD 【解答】解： （1）矩形的对角线相等但不垂直， 所以矩形不是“奇妙四边形”； 故答案为不是； （2）连结 OB、OD，作 OHBD 于 H，如图 2，则 BH=DH， BOD=2 BCD=260=120， OBD=30， 在 Rt OBH 中， OBH=30， OH= OB=3， BH=OH=3， ， ， 6=54； BD=2BH=6 AC=BD=6 “奇妙四边形”ABCD 的面积= 6 （3）OM= AD理由如下： 连结 OB、OC、OA、OD，作 OEAD 于 E，如图 3， OEAD， AE=DE， BOC=2 BAC， 而 BOC=2 BOM， BOM= BAC， 同理可得 AOE= ABD， BDAC， BAC+ ABD=90， BOM+ AOE=90， BOM+ OBM=90， OBM= AOE， 在 BOM 和 OAE 中 ， BOM OAE， OM=AE， OM= AD 【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、 垂径定理、等腰三角形的性质和矩 形的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题 26 （14 分）如图，抛物线与 x 轴交于点