数学模型课后

1、 数学模型作业答案数学模型作业答案 第二章第二章(1)(1)（20122012 年年 1212 月月 2121 日）日） 1 1 学校共 1000 名学生，235 人住在 A 宿舍，333 人住在 B 宿舍，432 人住在 C 宿舍.学生们 要组织一个 10 人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1 中的 Q 值方法； （3）.dHondt 方法：将 A、B、C 各宿舍的人数用正整数 n=1,2,3,相除，其商数 如下表： A B C 将所得商数从大到小取前10 个（10 为席位数） ，在数字下标以横线

2、，表中A、B、C 行有横线的数分别为 2， 3， 5， 这就是 3 个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从 10 个人增至 15 人， 用以上 3 种方法再分配名额， 将 3 种方法两次分 配的结果列表比较. 解：解：先考虑 N=10 的分配方案， p 1 235,p 2 333,p 3 432, 方法一（按比例分配）方法一（按比例分配） q 1 1 2 3 4 5 235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4 p i1 3 i 1000. p 1 N p i1 3 2.35,q 2 i p 2

3、N p i1 3 3.33,q 3 p 3 N i p i1 3 4.32 i 分配结果为： n 1 3,n 2 3,n 3 4 方法二（方法二（Q Q 值方法）值方法） 9 个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n 1 2, n 2 3,n 3 4 第 10 个席位：计算 Q 值为 235233324322 Q 1 9204.17, Q 2 9240.75, Q 3 9331.2 233445 Q 3 最大，第 10 个席位应给 C.分配结果为 n 1 2, n 2 3, n 3 5 方法三（方法三（d dHondtHondt 方法）方法） 此方法的分配结果为：n1 2, n2 3, n3

4、 5 此方法的道理是：此方法的道理是：记p i 和ni为各宿舍的人数和席位 （i=1,2,3 代表 A、B、C 宿舍）. p i 是 n i 每席位代表的人数，取ni1,2, ,从而得到的 近. p i p 中选较大者，可使对所有的i, i 尽量接 n i n i 再考虑N 15的分配方案， 类似地可得名额分配结果.现将 3 种方法两次分配的结果列 表如下： 宿舍（1）（2）（3） A B C 3 2 2 3 3 3 4 5 5 （1）（2）（3） 4 4 3 5 5 5 6 6 7 15 15 15总计 10 10 10 2 2 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型.

5、 解：解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t到t t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt (r wkn)2kdn,两 边积分，得 t 0 vdt 2k(r wkn)dn 0 n 2rkwk2 2 n2 vt 2 k(r n wk) t n n . 2vv 数学模型作业解答数学模型作业解答 第三章第三章 1 1（20082008 年年 1010 月月 1414 日）日） 1.1. 在 3.1 节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货 批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期 和订货

6、批量都比原来结果减少 解：解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本 10对于不允许缺货模型，每天平均费用为： C(T) c 1 c 2rT kr T2 cc rdC 1 2 2 dT2T 令 dC 0 ，解得 T* dT 2c 1 c 2r 2c 1r c 2 由Q rT，得Q rT 与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果没有变 20对于允许缺货模型，每天平均费用为： c 2Q 2c 3 1 (rT Q)2 kQC(T,Q) c1 T 2r2r c 1 c 2Q 2c 3r c 3Q 2 kQC 2 222T2T2rT2rTT c QkCc 2Qc 3 3 QrTrTT C

7、0 T 令，得到驻点： C 0 Q Q T 2c 1 c 2 c 3 k2 rc 2 c 3 c 2c3 22c 3k r 2c 1r c 3 kr c 2 c 2 c 3 c 2 (c 2 c 3 )c 2 c 3 与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果减少 2 2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k，销售速率为常数r， k r在每个生产周期内， 开始的一段时间0 t T 0 一边生产一边销售，后来的 一段时间(T0 t T)只销售不生产， 画出贮存量g(t)的图形.设每次生产准备费为c1， 单位时间每件产品贮存费为c 2，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论k r 和k

8、r的情况. 解：解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下： O n g k r g(t) r T 0 T T t 贮存费为 c 2 lim t0 g( i )t i c 2 g(t)dt c 2 i1 0 (k r)T 0 T 2 又 (k r)T 0 r(T T 0 ) T 0 rr(k r)T T T , 贮存费变为 c 2 k2k 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为 c 1 c 2 r(k r)T2c 1 r(k r)T c 2 C(T) T2kTT2k cdCr(k r) 1 2 c 2 . dT2kT 令 2c 1k dC 0 , 得T dTc 2r(k r) 易

9、得函数C(T)在T 处取得最小值，即最优周期为： T 2c 1k c 2r(k r) 当k r时，T 2c 1 .相当于不考虑生产的情况. c 2r 当k r时，T . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量. 第三章第三章 2 2（20082008 年年 1010 月月 1616 日）日） 3 3 在 3.3 节森林救火模型中， 如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势b有关， 试假设一个合理的函数关系，重新求解模型. 解：解：考虑灭火速度与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度将减小，我们作如 下假设: (b) k ， b 1 中的1是防止b 0时 而加的. 分母b 1 c 1 t 1 2

10、c 1 2t 1 2(b1)c 2 t 1x(b1) 总费用函数Cxc3x 22(kxb)kxb 最优解为 x c kb 1 2 2c 2b(b 1) (b 1)(b 1) 2k2c 3k 5 5在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本 q随时间增长，设 q(t) q 0 t，为增长率.又设单位时间的销售量为x a bp(p为价格).今将销售 期分为0 t T 和T 22 t T两段，每段的价格固定，记作p 1 , p 2 .求p1, p2的最优值， 使销售期内的总利润最大.如果要求销售期 T 内的总售量为Q0，再求p1, p2的最优值. 解：解：按分段价格，单位时间内的销售量为

11、 T a bp1,0 t 2 x T a bp 2 , t T 2 又 q(t) q 0 t.于是总利润为 (p 1 , p 2 ) T 2 0 p 1 q(t)(a bp 1 )dt T p 2 q(t)(a bp 2 )dt 2 T TT 2 2 =(a bp1)p1t q0t t 2 (a bp 2 )p 2t q0t t T 2 2 0 2 p 1T q 0T T2p 2T q 0t 3T2 ) (a bp 2 )() =(a bp1)( 228228 p 1T q 0T T2T b()(a bp 1) p 1 2282 p 2T q 0t 3T2 T b()(a bp 2 ) p 2

12、 2282 令 0, 0, 得到最优价格为: p 1 p 2 1 T p a b(q ) 0 1 2b 4 13T p 2 a b(q 0 ) 2b4 在销售期 T 内的总销量为 Q 0 (a bp 1 )dt T(a bp 2 )dt aT 2 T 2 0 T bT (p 1 p 2 ) 2 于是得到如下极值问题： p 1T q 0T T2p 2T q 0t 3T2 max(p 1 , p 2 ) (a bp 1 )() (a bp 2 )() 228228 s.taT bT (p 1 p 2 ) Q 0 2 利用拉格朗日乘数法，解得： aQ 0 T p 1 b bT 8 aQ 0 T p

13、2 bbT8 即为p1, p2的最优值. 第三章第三章 3 3（20082008 年年 1010 月月 2121 日）日） 6.6. 某厂每天需要角钢 100 吨，不允许缺货.目前每 30 天定购一次，每次定购的费用为2500 元.每天每吨角钢的贮存费为 0.18 元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变 订货策略？改变后能节约多少费用？ 解：解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费c12500（元）; 每天每吨角钢的贮存费c 20.18（元）.又现在的订货周期 T030（天） 根据不允许缺货的贮存模型：C(T) 得：C(T) c 1 1 c 2rT kr T2 250

14、0 9T 100k T dC2500 2 9 dTT 250050 93 令 dC 0 ， 解得：T* dT * 5050 （即订货周期为）时，总费用将最小. 33 3250050 * 又C(T ) 9100k300100k 503 2500 C(T 0 ) 930100k=35333100k 30 2 C(T0)C(T*)（353.33100k）（300100k） 5333. 3 50 故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T*=，能节约费用约 5333 元. 3 由实际意义知：当T 数学模型作业解答数学模型作业解答 第四章（第四章（20082008 年年 1010 月月 2828 日

15、）日） 1.1.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A原料 1 千克,B原料 5 千克；一件乙产品用 A原料 2 千克,B原料 4 千克.现有A原料 20 千克,B原料 70 千克.甲、乙产品每件售价 分别为 20 元和 30 元.问如何安排生产使收入最大？ 解：解：设安排生产甲产品 x 件,乙产品 y 件，相应的利润为 S 则此问题的数学模型为： max S=20 x+30y x 2y 20 s.t.5x 4y 70 x, y 0,x, yZ 这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解 可行域为：由直线l1：x+2y=20, l 2 :5x+4y70 l 2 y 以及 x=0,y=0 组成的

16、凸四边形区域. 直线l：20 x+30y=c 在可行域内l 平行移动. 易知：当l过l1与l2的交点时，l1x S 取最大值. x 2y 20 x 10 由解得 5x 4y 70y 5 此时 S max 2010305350（元） 2.2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表： 货物 甲 乙 体积 （立方米/箱） 5 4 重量 （百斤/箱） 2 5 利润 （百元/箱） 20 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24 立方米， 重量不超过 13 百斤.试问这两种 货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润. 解解: :设甲货物、乙货物的托运箱数分别

17、为x1,x2,所获利润为 z . 则问题的数学模型可表示为 max z 20 x 1 10 x 2 5x 1 4x 2 24 st2x 1 5x 2 13 x ,x 0,x, yZ 12 这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线 l 1 :5x 1 4x 2 24 l 2 :2x 1 5x 2 13 及x1 0,x2 0组成直线 l :20 x 1 10 x 2 c在此凸四边形区域内 平行移动 x 2 . l 1 l 2 x 1 l 易知：当l过l 1与 l 2 的交点时，z取最大值 5x 1 由 2x1 4x 2 24 x 1 解得 5x 2 13 x2 4 1 z max

18、 204101 90 . 3 3某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微 波炉的销售利润分别为 3 和 2 个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2 和 3 个单位,所需工时分别为 4 和 2 个单位.若允许使用原料为 100 个单位,工时为 120 个单位, 且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6 台和 12 台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙 型微波炉的台数,使获利润最大并求出最大利润. 解解：设安排生产甲型微波炉x件,乙型微波炉y件,相应的利润为 S. 则此问题的数学模型为： max S=3x +2y 2x 3y 100 s.t.4x 2y

19、 120 x 6, y 12,x, yZ 这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解 可行域为：由直线l1：2x+3y=100, l 2 :4x+2y120 及 x=6,y=12 组成的凸四边形区域. 直线l：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l过l1与l2的交点时, S 取 最大值. 由 2x 3y 100 解得 4x 2y 120 x 20 . y 20 S max 320 220100. 数学模型作业解答数学模型作业解答 第五章第五章 1 1（20082008 年年 1111 月月 1212 日）日） 1.1.对于 5.1 节传染病的SIR模型，证明： （1）若s0 至s

20、. （2）若s0 1 ,则i(t)先增加，在s 1 处最大，然后减少并趋于零；s(t)单调减少 1 解：解：传染病的SIR模型（14）可写成 ,则i(t)单调减少并趋于零，s(t)单调减少至s . di dt i(s 1) ds si dt dsds 由 si,知 0. s(t)单调减少.而s(t) 0. lims(t) s 存在. t dtdt 故s(t)单调减少至s . （1） 若s 0 当 1 .由s(t)单调减少.s(t) s 0 . di 0,i(t)单调增加; dt 1di 0,i(t)单调减少.当s 时,s 1 0. dt s s 0时, s 1 0. 又由书上(18)式知i 0

21、.即limi(t) 0. t 1 di 0.i(t)达到最大值i m . dt 11di （2）若s0,则st,从而s-1 0. 0. dt 当s 1 时, it单调减少且limit 0.即i 0. t 4 4在 5.3 节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为 初始兵力x0与y0相同. (1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定. a 4. b (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断 双方的胜负. 解解: :用xt, yt表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为: dx dt ay dy bx

22、,1 dt x 0 x , y0 y 00 0 a 现求(1)的解: (1)的系数矩阵为A b0 E A a 2ab 0. 1,2 ab b 2 2 ， 1 1 2 C 2 1e 1, 2对应的特征向量分别为 x t 2 1的通解为 C 1 yt 1 e 再由初始条件，得 abtabt. x xt 0 y 0 e 2 dybx . dxay abt x 0 y 0 e 2 abt 2 又由1可得 2222 其解为ay bx k, 而k ay 0 bx 0 3 (1)当xt1 0时，yt1 k a 22ay 0 bx 0 b3 y 0 1y 0 . aa2 即乙方取胜时的剩余兵力数为 3 y0.

23、 2 又令xt1 0,由（2）得 x 0 y 0 e 2 abt1 x 0 y 0 e 2 abt1 0. 注意到x0 y0,得e2 abt1 x 0 2y 02 .e 2y 0 x 0 abt1 3, t 1 ln3 . 4b (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则 dx dt ay r dy bx4 dt x(0) x , y 0 y 00 由4得 dx ay r ,即bxdx aydy rdy. 相轨线为ay2 2ry bx2 k, dybx r r2 222k ay 0 2ry 0 bx .0或a y bx k. 此相轨线比书图 11 中的轨线上移了 aa 2 r

24、r b 2 r2 .乙方取胜的条件为k 0,亦即 y 0 x 0 2 . aaaa 2 第五章第五章 2 2（20082008 年年 1111 月月 1414 日）日） 6.6. 模仿 5.4 节建立的二室模型来建立一室模型 （只有中心室） ，在快速静脉注射、 恒速静脉 滴注（持续时间为）和口服或肌肉注射 3 种给药方式下求解血药浓度， 并画出血药浓度曲 线的图形. 中心室 f 0 t Ct,xt V ,排除V,t容积为k 解解: : 设给药速率为f 0 t ,中心室药量为xt,血药浓度为C 排除速率为常数k,则x/t kxt f 0 t ,xtVCt. (1)快速静脉注射: 设给药量为D0,

25、则f 0 t 0,C0 D 0 D ,解得Ct0ek t. VV (2)恒速静脉滴注(持续时间为): 设滴注速率为k 0，则f0 t k 0 ,C0 0,解得 k 0kt ,0 t 1e Vk Ct k 0 1e kt ekt ,t Vk (3) 口服或肌肉注射: f 0 t k 01D0e k01t见5.4节（13）式，解得 k 01D0k01tktee,k k 01 Vk 01 k Ct kD tekt,k k 01V 3 种情况下的血药浓度曲线如下： (1) (2) (3) O t 第五章第五章 3 3（20082008 年年 1111 月月 1818 日）日） 8.8. 在 5.5 节

26、香烟过滤嘴模型中, (1) 设M 800mg,l1 80mm,l2 20mm,b 0.02, 0.08, 50mm/s,a 0.3 求Q和Q1/Q2. (2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到l1处的情况下， 进入人 体毒物量的区别. 解解 Q aw 0ve a/b l2 v a bl10.08200.70.0280 0.31050 v5050 1e 229.857563(毫克) e1e 0.70.02 / 其中w 0 M /l 1 10， Q 1 e Q 2 bl2 v e 0.080.02 20 50 0.97628571 a bl aw 0v (2) 对于一支不带

27、过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为Q3 1e v a b aw 0v v 2 1e 只吸到l1处就扔掉的情况下的毒物量为Q4 e a b blabl1 v a bl blabl0.021000.30.02100 e 1e v Q 3 eveve50e50e0.04e0.012 bl1 0.0280 0.032 1.256531719. abl10.30.02800.0096 bl1abl1 Q 4 ee vv v e 50e50 e1ev ee bl v Q 3 295.84, 4 235.44 4 4在 5.3 节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为 初始兵力x0与y0相同.

28、(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定. a 4. b (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断 双方的胜负. 解解: :用xt, yt表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为: dx dt ay dy bx,1 dt x 0 x , y0 y 00 现求(1)的解: (1)的系数矩阵为A 0 a b 0 E A a 2ab 0. 1,2 ab b 1, 2对应的特征向量分别为 2 2 ， 1 1 2 C 2 1e x t 2 1的通解为 C 1 yt 1 e 再由初始条件，得 abtabt. x xt 0

29、 y 0 e 2 dybx . dxay abt x 0 y 0 e 2 abt 2 又由1可得 2222 其解为ay bx k, 而k ay 0 bx 0 3 (1)当xt1 0时，yt1 k a 22ay 0 bx 0 b3 y 0 1y 0 . aa2 即乙方取胜时的剩余兵力数为 3 y0. 2 又令xt1 0,由（2）得 x 0 y 0 e 2 abt1 x 0 y 0 e 2 abt1 0. 注意到x0 y0,得e2 abt1 x 0 2y 02 .e 2y 0 x 0 abt1 3, t 1 ln3 . 4b (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则 dx dt

30、ay r dy bx4 dt x(0) x , y 0 y 00 由4得 dx ay r ,即bxdx aydy rdy. 相轨线为ay2 2ry bx2 k, dybx r r2 222k ay 0 2ry 0 bx .0或a y bx k. 此相轨线比书图 11 中的轨线上移了 aa r r b 2 r2 .乙方取胜的条件为k 0,亦即 y 0 x 0 2 . aaaa 2 2 数学模型作业解答数学模型作业解答 第六章（第六章（20082008 年年 1111 月月 2020 日）日） 1.在 6.1 节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞 量为常

31、数 h (1)分别就h rN /4，h rN /4，h rN /4这 3 种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳 定状况 (2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1 节的产量模型有何不同 解解：设时刻 t 的渔场中鱼的数量为xt，则由题设条件知：xt变化规律的数学模型为 dx(t)x rx(1)h dtN 记F(x) rx(1 (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由Fx 0，得rx(1 即 x ) h N x ) h 0 N r 2 x rx h 01 N r2 4rh4h r(r ) ， NN 4h N rN N 1 (1)的解为：x1,2 2 当h rN /4，0，(1)无实根，此时无

32、平衡点； 当h rN /4， 0，(1)有两个相等的实根，平衡点为x0 N . 2 xrx2rx ，F(x0) 0不能断定其稳定性.) r NNN dx xrN 但x x0及x x0均有F(x) rx(1)0，即0 x 0 不稳定； N4dt F(x) r(1 当h rN /4， 0时，得到两个平衡点： N 1 x 1 易知：x1 4h N rN N 1 ， x 2 4h N rN 22 NN ，x2，F (x1)0，F (x2) 0 22 平衡点x 1不稳定，平衡点 x 2 稳定. (2)最大持续产量的数学模型为 maxh s.t.F(x)0 x 即maxhrx(1)， N NrN *x1x

33、 2 易得x0此时h，N /2 24 N * 但x0这个平衡点不稳定这是与6.1 节的产量模型不同之处 2 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x h rN /4 h rN /4 h rN /4 rx1 x/ N x NNN ，且尽量接近，但不能等于 222 2.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：x t rxln 中 r 和 N 的意义与 Logistic 模型相同 N 其 x 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h Ex讨论渔场鱼量的 平衡点及其稳定性， 求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x 0 解：xt变化规律

34、的数学模型为 * dxtN rxln Ex dtx 记 F(x)rxln N Ex x E N 令Fx 0，得rxln Ex 0 x0 Ner，x1 0 x 平衡点为x0,x1 .又Fx rln N r E，Fx0 r 0,Fx1 x 平衡点xo是稳定的，而平衡点x1不稳定. y N xy Ex rxln rN 最大持续产量的数学模型为： 0 e y f x N e x 0 x maxh Ex Ns.t.rxln Ex 0,x 0. x 由前面的结果可得h ENe E r EE dhEN r dh Nere，令 0. dErdE 得最大产量的捕捞强度Em r从而得到最大持续产量hm rN /e

35、，此时渔场鱼量水平 * x0 N e dx(t)x rx(1) dtN 其中r为固有增长率,N为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h. 3设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为： 1 求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性; 2 试确定捕捞强度E m ,使渔场单位时间内具有最大持续产量Q m ,求此时渔场鱼量水平x 0 . 解：1 x(t)变化规律的数学模型为 0* 0 dx(t)x rx(1)h dtN xxr 2x rx h 0 -（1）记f (x) rx(1 )h,令rx(1) h 0 ，即 NNN 0 r2 4rh4h r(r ) ， （1）的解为：x1,2

36、 NN N 1 2 4h N rN 当 0时， （1）无实根，此时无平衡点； 当 0时， （1）有两个相等的实根，平衡点为x0 N . 2 xrx2rx ，f (x0) 0不能断定其稳定性.)r NNN xrNdx 但x x0及x x0均有f (x) rx(1) 0，即0 x0不稳定； N4dt f(x) r(1 当0时，得到两个平衡点： N N 1 x 1 易知x1 4h rN N N 1 ， x 2 4h rN 22 NN ，x2f (x1)0，f (x2) 0 22 平衡点x 1不稳定 ，平衡点 x 2 稳定. 20最大持续产量的数学模型为： 即maxhrx(1 maxh s.t. f

37、(x)0 xNrNN * 易得x0此时h， 但x0这个平衡点不稳定.)， N242 NNN 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x ,且尽量接近,但不能等于. 222 数学模型第七章作业数学模型第七章作业 （20082008 年年 1212 月月 4 4 日）日） 1对于 7.1 节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的 价格，所以第k 1时段的价格y k1 由第k 1和第k时段的数量x k 1 和x k 决定，如 果仍设x k1 仍只取决于y k ，给出稳定平衡的条件，并与 7.1 节的结果进行比较. 2已知某商品在k时段的数量和价格分别为x

38、 k 和y k ，其中1 个时段相当于商品 的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为y k f (x k )和 x k1 g( y k y k1并讨论稳定平衡条件.).试建立关于商品数量的差分方程模型， 2 3 已知某商品在k时段的数量和价格分别为x k 和y k ，其中 1 个时段相当于商 品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为y k1 f ( x k1 x k)和 2 x k1 g(y k ).试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 数学模型作业解答数学模型作业解答 第七章（第七章（20082008 年年 1212 月月 4 4 日）日） 2 对于

39、7.1 节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以 第k 1时段的价格y k1 由第k 1和第k时段的数量x k 1 和xk决定，如果仍设xk1仍只取 决于y k ，给出稳定平衡的条件，并与7.1 节的结果进行比较. （2）若除了y k1 由x k 1 和x k 决定之外，x k 1 也由前两个时段的价格y k 和y k1 确定.试分 析稳定平衡的条件是否还会放宽. 解：解： （1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： x x k y k 1 f ( k 1) 2 x k 1 h( y k ) 在P 0 (x 0 , y 0 )

40、点附近用直线来近似曲线f ,h，得到 x x k y k 1 y 0 (k 1 x 0 ), 0 (1) 2 0 (2) x k 1 x 0 ( y k y 0 ) , 由（2）得xk2 x 0 (y k1 y 0 )(3) （1）代入（3）得 x k2 x 0 ( x k1 x k x 0 ) 2 2x k2 x k1 x k 2x 0 2x 0 对应齐次方程的特征方程为 2 0 2 特征根为 1,2 ()28 4 当 8时，则有特征根在单位圆外，设 8，则 1,2 ()28 () 2424 2 1,2 1 2 即平衡稳定的条件为 2与P 207 的结果一致. （2）此时需求函数、供应函数在

41、P 0 (x 0 , y 0 )处附近的直线近似表达式分别为： x k1 x k x 0 ), 0 (4) y k1 y 0 ( 2 y k y k 1 x k1 x 0 ( y 0 ) , 0 (5) 2 由（5）得，2(xk3 x 0 ) (y k2 y 0 y k1 y 0 )(6) 将（4）代入（6） ，得 2(x k3 x 0 ) ( x k2 x k1 x x k x 0 )(k1 x 0 ) 22 4x k 3 x k 2 2x k 1 x k 4x 0 4x 0 对应齐次方程的特征方程为 4 2 0 (7) 代数方程（7）无正实根，且, 别为1,2,3，则 32 , 不是（7）

42、的根.设（7）的三个非零根分 24 23 1 4 122331 2 123 4 对（7）作变换： 3 12 , 则 p q 0, 1221 83322 ), q () 其中 p (2 34124126 q 1 3 2 q 用卡丹公式：2 w3 2 q 2 3 w3 2 其中w qpqqp ( )2()3 3 ( )2()3 23223 qpqqp ( )2()3 w23( )2()3 23223 qpqqp ( )2()3 w3( )2()3 23223 1i 3 , 2 求出1,2,3，从而得到1,2,3，于是得到所有特征根 1的条件. 2已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和y k ，

43、其中 1 个时段相当于商品的一个生 产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk f (xk)和xk1 g( 关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk f (xk)和xk1 g( y k y k1).试建立 2 y k y k1). 2 设曲线f和g相交于点P 0 (x 0 , y 0 )，在点P 0 附近可以用直线来近似表示曲线f和g： y k y 0 (x k x 0 ), 0 -（1） x k1 x 0 ( y k y k1 y 0 ), 0 -（2） 2 从上述两式中消去y k 可得 2x k2 x k1 x k 2(1)x 0

44、, k 1,2,， -（3） 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求P 0 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程： 2 0 容易算出其特征根为 2 1,2 ()28 -（4） 4 当8 时，显然有 ()28 -（5） 2 44 从而 2 2， 2在单位圆外下面设 8，由(5)式可以算出 1,2 要使特征根均在单位圆内，即 2 1,2 1，必须 2 故P 0 点稳定平衡条件为 2 3 已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和y k ，其中1 个时段相当于商品的一个生 产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为 y k1 f (

45、 立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk1 f ( x k1 x k)和x k1 g(y k ).试建 2 x k1 x k)和x k1 g(y k ). 2 设曲线f和g相交于点P 0 (x 0 , y 0 )，在点P 0 附近可以用直线来近似表示曲线f和g： y k1 y 0 ( x k1 x k x 0 ), 0 -（1） 2 x k1 x 0 (y k y 0 ), 0 - -（2） 由（2）得 x k2 x 0 (y k1 y 0 ) -（3） （1）代入（3） ，可得xk2 x0 ( x k1 x k x 0 ) 2 2x k

46、2 x k1 x k 2x 0 2x 0 , k 1,2,， -（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求P 0 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程： 2 0 容易算出其特征根为 2 1,2 ()28 -（4） 4 当 8 时，显然有 ()28 -（5） 2 44 从而 2 2， 2在单位圆外下面设 8，由(5)式可以算出 1,2 要使特征根均在单位圆内，即 2 1,2 1，必须 2 故P 0 点稳定平衡条件为 2 数学模型作业解答数学模型作业解答 第八章（第八章（20082008 年年 1212 月月 9 9 日）日）

47、 1 证明 8.1 节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质： （1）A的秩为 1，唯一非零特征根为n； （2）A的任一列向量都是对应于n的特征向量. 证明：证明： （1）由一致阵的定义知：A满足 a ij a jk a ik ，i, j,k 1,2,n 于是对于任意两列i, j，有 a ik a ij ，k 1,2,n.即i列与j列对应分量成比例. a jk 从而对A作初等行变换可得： b 11 b 12 00 初等行变换A 0 0 b 1n 0 B 0 这里B 0.秩B1，从而秩A1 再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P，使PA B，于是 c 11 c 12 00 11

48、PAP BP 0 0 c 1n 0 C 0 易知 C 的特征根为c11,0,0（只有一个非零特征根）. 又 AC，A与 C 有相同的特征根，从而 A 的非零特征根为c11，又对于任意 矩阵有12n TrA a11 a22 ann111 n.故 A 的唯一非 零特征根为n. （2）对于 A 的任一列向量a1k,a2k,ank ，k 1,2,n T 有 Aa 1k ,a 2k ,a nk T nn a aa 1jjk 1k j n 1j n 1 na 1k a a a na 2k 2 jjk 2k n a ,a ,a T 1k2knk j1j1 n n na a aa nk njjknk j1 j

49、1 T A的任一列向量a 1k ,a 2k ,a nk 都是对应于n的特征向量. 7. 右下图是 5 位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它 是双向连通的吗？找出几条完全路径， 用适当方法排出 5 位 选手的名次. 解： 这个 5 阶竞赛图是一个 5 阶有向 Hamilton 图.其一个有 向 Hamilton 圈为 31 4 5 2 3.所以此竞赛图 是双向连通的. 13 2 5 4 4 5 1 2 3 3 1 4 5 2 等都是完全路径. 此竞赛图的邻接矩阵为 2 4 5 3 15 3 1 2 4 0 0 A 1 0 1 T 101 0 0110 000 0 0101 1100 令e 1,

50、1,1,1,1 ，各级得分向量为 S1 Ae 2,2,1,2,3 ， S 2 AS 1 4,3,2,4,5 ， TT S 3 AS 2 7,6,4,7,9 ， S 4 AS 3 13,11,7,13,17 TT 由此得名次为 5，1（4） ，2，3（选手 1 和 4 名次相同）. 注：注：给 5 位网球选手排名次也可由计算A 的最大特征根和对应特征向量S得到： T 1.8393，S 0.2137,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769 数学模型作业（数学模型作业（1212 月月 1616 日）解答日）解答 1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素， 拟用层次分

51、析法在建桥梁、 修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为 “越海方案的最优经济效益”的层次结构 图. 解：目标层 越海方案的最优经济效益 准则层 省收岸 间当地建 筑 时入商 业商业就 业 方案层 建桥梁修隧道设渡轮 2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分 成哪 3 个层次？具体内容分别是什么？ 答答：层次分析法的基本步骤为： （1） 建立层次结构模型； （2） 构造成对比较阵； （3） 计 算权向量并做一致性检验； （4） 计算组合权向量并做组合一致性检验 对于一个即将毕业 的大学生选择工作岗位的决策问题， 用层次分析法一般可分解为目标层、

52、准则层和方案层这 3 个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位 2、工作岗位3 等，准则 层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等. 3用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3 个层次？试给出一致性指标的定义以及 n 阶正负反阵 A A 为一致阵的充要条件. 答：答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、 准则层和方案层这 3 个层次； 一 致性指标的定义为：CI n n1 n 阶正互反阵 A 是一致阵的充要条件为：A 的最大特征根 =n 第九章（第九章（20082008 年年 1212 月月 1818 日）日） 1在9.1节传送带效率模型中,设工人数n固定不

53、变.若想提高传送带效率 D,一种简单的方 法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其它条件不变另一种方法 是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子， 其它条件不变， 于是每个工人在任何时刻可以 同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品， 这种办法用的钩子数量与第 一种办法一样 试推导这种情况下传送带效率的公式， 从数量关系上说明这种办法比第一种 办法好 解：解：两种情况的钩子数均为2m第一种办法是2m个位置，单钩放置2m个钩子；第二 种办法是m个位置，成对放置2m个钩子 由9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为 n 2m 1 D 11 n 2m 当 n 较小

54、，n1时，有 2m D 2m 1nn1 n1 1 11 2n 2m4m8m n 4m D 1 E ，E 下面推导第二种办法的传送带效率公式： 对于m个位置， 每个位置放置的两只钩子称为一个钩对， 考虑一个周期内通过的m个 钩对 1 ； m 1 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1； m 11 记p ,q 1由工人生产的独立性及事件的互不相容性得，任一钩对为空 mm 任一只钩对被一名工人接触到的概率是 的概率为q，其空钩的数为2m；任一钩对上只挂上件产品的概率为npq 为m所以一个周期内通过的2m个钩子中，空钩的平均数为 2mq mnpq nn1 nn1，其空钩数 m 2qn npqn1 于是

55、带走产品的平均数是 2m m 2q npq nn1， ）未带走产品的平均数是 n 2m m 2q npq 此时传送带效率公式为 nn1 nn1 2m m2qn npqn1m 1 n 1 2 21 1 D nn mm m 近似效率公式： 1 nnn 11nn1n 21 由于 1 1 23m2m6m m n 1 1 m n1 1 n1 n1 n21 2m2m D1 n 1 n 2 6m2 n2 当n1时，并令E1 D，则 E 26m 两种办法的比较： n2n 由上知：E ，E 6m24m E/ E 2n2n ，当m n时， 1 ，E E 3m3m 所以第二种办法比第一种办法好 数学模型作业解答数学

56、模型作业解答 第九章（第九章（20082008 年年 1212 月月 2323 日）日） 一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每 100 份报纸报童全部卖出可获利 7 元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100 份报纸要赔 4 元.报童每天售 出的报纸数r是一随机变量，其概率分布如下表： 售出报纸数r（百份） 概率P(r) 0 005 1 0.1 2 0.25 3 0.35 4 0.15 5 0.1 试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是 100 的倍数)？ 解：解：设每天订购n百份纸，则收益函数为 7r (4)(nr)r n f (r) 7n r n 收益的期望值为 G(n) = (11r 4n)P(r) +7n P(r) r0rn1 n 现分别求出 n=0,1,2,3,4