多项式插值的振荡现象

1、数值分析实验报告通讯端口多项式插值的振动现象姓氏：学院：数学与信息工程学院类别：学号：27/29下载文档可编辑数值分析实验报告通讯端口实验名称多项式插值的振动现象实验时间2013年10月23日姓名班级学号成绩一、实验目的1 .理解多项式插值，理解其振动现象。2 .研究样条插值并分析其收敛性。3 .在现实生活中学习使用二次元插值。二、实验内容1 .区间-1，1 上的函数考虑到区间-1，1 的等距划分，分点为一类雷格林Jue插值多项式在此为n阶雷格林模内插基函数。2 .请按照一定的规则分别选择等间距或不等间距的插补节点，增加插补节点的数量。 在考虑实验1的函数或选择其他感兴趣的函数时，MATLAB

2、的函数“样条”可用作该函数的三次样条插值。3 .用丘陵地测量标高，x方向和y方向每隔100米测量一个点，标高数据如下。 尝试MATLAB的二维插值函数“interp2”进行插值，找出最高点和该点的标高。三、算法的说明(1)生成雷格林观插值函数，保存在m文件中(2)1、1张图中考虑过多的曲线相互复盖2、取n奇偶校验数可能结果不同3 .结果可能因节点的选择方法而不同。 因此，n个选择分为三种情况，n=2:2:8、n=3:2:9或n=2:4:10、n=3:4:11和n=40。(3)节点的选择分为均匀节点、切比雪夫节点2种四、普计程仪拉姆程序流程图实验方案明显简单，实现步骤及程序流程图从略。五、实验结

3、果具体结果在实验分析中，整理的结果如下1实验1的结果：1.在节点是均匀的节点的情况下：在插值点的数量为奇数、双位数、40的情况下，虽然图像对称但不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越高，但两端的误差越大。节点为切比雪夫点时：内插点数为奇数、双位数、40时，图像对称，但可以收敛，节点数越多拟合效果越高。2.在节点是均匀的节点的情况下：在插值点的数量为奇数、双位数、40的情况下，图像对称不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越高，云同步两端的误差越大。节点为切比雪夫点时：内插点数为奇数、双位数、40时，图像对称，但可以收敛，节点数越多拟合效果越高。3.在节点是均匀的节点的情况下：在插值点的数

4、量为奇数、双位数、40的情况下，图像对称不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越高，云同步两端的误差越大。节点为切比雪夫点时：内插点数为奇数、双位数、40时，图像对称，但可以收敛，节点数越多拟合效果越高。2实验2的结果由图可知，即使插值点数量增加，3次样本插值的平滑度仍然良好，而且精度比以往高，收敛性良好，但是，lagrange插值存在偏差，即存在误差，随着节点的增加，偏差显着由此可知，三次样条插值的收敛性比lagrange插值好。三考虑问题的结果根据解析修正算法，最高分为166 178这个点的海拔是721.098六、实验结果分析1实验1结果分析首先尝试几个n值，振动明显，并且，如下图所示，

5、还有复盖现象因此，对于这些个现象，我们可以单独采用研究测试的方法(1)1 .如果节点是均匀节点：a )当节点为奇数时，即，在n=2:2:8处，获得如下视频从图可知，在节点数以基数个对称的情况下，内插函数也对称的节点数越多，附近的区域拟合越好，节点数越多，两端的误差越大b )当节点为双位数时，即，在n=3:2:9处，获得如下影像由图可知，节点数为双位数且对称时，内插函数也是对称的节点数越多，附近的区域越合得来越好。节点数越多，两端的误差越大，与奇数的结果大致相同。n=40时：从该图可以看出，内插函数也左右对称，而且0附近与被内插函数基本重叠，但由于两端的误差大，所以可以说结论正确。2 .如果节点

6、是切比雪夫节点：换句话说，节点是对称的a )对于奇数个节点，也就是说，n=2:2:8，获得从图中可以看出，在节点数以基数个对称的情况下，内插函数也对称的节点数越多，所有区域越适合b )对于一个双位数的节点，也就是说，n=3:2:9，获得此时，可知节点的选择也是对称的，内插函数的图像也是对称的，观察的结论与节点数为奇数的情况大致相同：节点数越多，所有区域的拟合越好n=40时：由图可知，内插函数左右对称，内插函数与被内插函数基本重叠。 因此，上述观察结论是正确的。(2)1 .如果节点是均匀节点：a )当节点为奇数时，即，当n=2:4:10时，可以获得如下图像。从图可知，在节点数以基数个对称的情况下

7、，内插函数也对称的节点数越多，0附近的区域拟合越好的节点数越多，两端的误差越大b )当节点为双位数时，即，在n=3:4:11处，获得如下影像由图可知，节点数为双位数且对称时，内插函数也是对称的节点数越多，附近的区域越合得来越好。节点数越多，两端的误差越大，与奇数的结果大致相同。n=40时：从该图可以看出，内插函数也左右对称，而且0附近与被内插函数基本重叠，但由于两端的误差大，所以可以说结论正确。2 .如果节点是切比雪夫节点：换句话说，节点是对称的a )对于奇数个节点，也就是说，n=2:4:10，获得从图中可以看出，内插函数在两端超过原点，奇函数n越大则适合度越好，没有出现误差变大的现象b )在

8、一个节点为双位数的情况下，亦即，n=3:4:11，获得从该图中可以看出，内插函数虽然不通过两端，但也可以是奇函数的结节点数越多则适合度越好n=40时：在n取得较大时，内插函数和被内插函数几乎重叠(3)1 .如果节点是均匀节点：a )当节点为奇数时，即，当n=2:4:10时，可以获得如下图像。从图可知，在节点数以基数个对称的情况下，内插函数也对称的节点数越多，0附近的区域拟合越好的节点数越多，两端的误差越大b )当节点为双位数时，即，在n=3:4:11处，获得如下影像由图可知，节点数为双位数且对称时，内插函数也是对称的节点数越多，附近的区域越合得来越好。节点数越多，两端的误差越大，与奇数的结果大

9、致相同。n=40时：从该图可以看出，内插函数也左右对称，而且0附近与被内插函数基本重叠，但由于两端的误差大，所以可以说结论正确。2 .如果节点是切比雪夫节点：换句话说，节点是对称的a )对于奇数个节点，也就是说，n=2:4:10，获得从图中可以看出，内插函数在两端超过原点，奇函数n越大则适合度越好，没有出现误差变大的现象b )在一个节点为双位数的情况下，亦即，n=3:4:11，获得从该图中可以看出，内插函数虽然不通过两端，但也可以是奇函数的结节点数越多则适合度越好n=40时：在n取得较大时，内插函数和被内插函数几乎重叠综合分析上面的图像和数据，可以看出：节点数的奇偶校验对实验没有太大影响，而且

10、节点越多越好地拟合，有可能发生发散现象的节点选择，所得到的内插函数的对称性与被内插函数相同，节点的位置不对称，所得到的内插函数也影响节点位置的选择2实验2结果分析1 .让我们具体分析一下这个函数如果节点为5，则该图如下所示如果节点为10，则该图如下所示如果节点为20，则该图如下所示从以上三个图可以看出，随着节点数的增加，3次样本插值函数的拟合越来越好，接近原函数；相反，l agrange插值函数的拟合越来越差，误差越来越明显，所以诺因此，可以证明样条插值的收敛性。2.2对一些数据可以进行拟合并且在图上更为明显地观察。上面已经描述了根据在给定数据的条件下生成的三维样本内插值来设定门的曲线。3思考

11、问题的结果分析可以在matlab中进行预计程仪编程，分别在linear、cubic、spline中修正这个问题。修正算法的结果：可以用线性修正算法x=166 y=178zmax=7.2120e 02使用cubic，可以进行以下修正运算x=166 y=178zmax=7.2120e 02使用spline，可以进行以下修正运算x=166 y=178zmax=7.2120e 02因此，根据条件，最高点应接近166到178，最高距离应为721.098在任一种情况下，根据以上的实验，内插节点的数目越多，则不一定越好地适合，而是选择知道在多数情况下会发生发散现象的对称的节点，得到的内插函数的对称性与被内插

12、函数相同。如果节点的位置不对称，则得到的内插函数也影响插值函数的收敛性和误差切比雪夫插值节点确实比上述使用得更多。对于具有均匀节点效果的插值函数，选择相同的插值节点可能会产生类似的结果。实验2发现，当难以证明若干三维样条插值的收敛性时，即使利用图像来观察图像，也可以类似地获得证明效果。实验2和思考题是实验与理论相结合，学习实际运用所学知识，解决实际问题。电子人民教师注释指导人民教师：年月日数值分析机实验原始记录实验名称：多项式插值振动现象实验时间： 2013年10月23日姓名：学号：班：实验1的重要步骤：先验估计计程仪程序m=150； x=-1:2/(m-1):1。 y=1./(1 25*x.

13、2): z=0*x； 打印(x、z、r、x、y、k-)，g文本(y=1/(125 * x 2) )、pausen=3； x0=-1:2/(n-1):1。 y0=1./(125 * x0. 2):y1=拉格r 1打印(x，y1，g )，文本(n=2)，通过，保持关闭n=4； x0=-1:2/(n-1):1。 y0=1./(125 * x0. 2):y2=拉格r 1打印(x，y2，b: )，文本(n=3)，暂停，保持关闭n=5； x0=-1:2/(n-1):1。 y0=1./(125 * x0. 2):y3=拉格r 1打印(x，y3，r )，文本(n=4)，通过，保持关闭n=11； x0=-1:2

14、/(n-1):1。 y0=1./(125 * x0. 2):y4=拉格r 1打印(x，y4，r: )，文本(n=10 )，暂停，保持关闭n=51； x0=-1:2/(n-1):1。 y0=1./(125 * x0. 2):y5=拉格r 1打印(x，y5，m )，文本(n=50 )，通过，保持关闭n=81； x0=-1:2/(n-1):1。 y0=1./(125 * x0. 2):y6=拉格r 1打印(x，y6，m )，文本(n=80 )，通过，保持关闭在%1.1.a y=1./(1 25*x.2)中的普通堆计程仪均匀节点m=150； x=-1:2/(m-1):1。 y=1./(1 25*x.2): z=0*x； 打印(x、z、r、x、y、k-)，g文本(y=1/(125 *