数学北师大版九下21《二次函数所描述的关系》导学案

1、第二章第二章 二次函数二次函数 第第 1 1 节节 二次函数所描述的关系二次函数所描述的关系 学习目标 1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次 函数关系的过程， 进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的 数量关系。 2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3.会建立简单的二次函数的模型， 并能根据实际问题确定自变量的 取值范围。 学习重点：二次函数的概念和解析式 学习难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求 学生有较强的概括能力。 学习过程 1 1、二次函数的定义二次函数的定义 一般地，形如y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)的函数叫做x的二

2、次函数。 例如：y x2 2x 3, y 2x2 x, y 3x21等等都是x的二次函数。 在理解二次函数的定义时，应注意以下几点： （ 1 ） 任 何 一 个 二 次 函 数 的 关 系 式 都 可 以 化 成 y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0) 的形式，因此，把 y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)叫做二次函数的一般式，其中 ax2、bx、c分别是二次项、一次项和常数项。 （2）二次函数y ax2 bx c(a 0)中，x、y是变量，a、b、c是常量。 自变量 x 的取值范围是全体实数，b 和 c 可以是任意实数，要特别 注意a必须是不等于 0 的实数。因为当a=0

3、时，y ax2 bx c就是 y bx c，若b 0，则y bx c是一次函数；若b 0，则y c，就 是一个常数函数。 （ 3 ） 二 次 函 数 y ax2 bx c(a 0) 与 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0(a 0)有密切联系，如果将变量 y 换成一个常数，那么 这个二次函数就是一个一元二次方程。 例 1 下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（） Ax y21 0 B.y (x 1)(x 1) (x 1)2 C.y 2 4 x2 D.x2 y 2 0 2 2、列函数关系式（重点）、列函数关系式（重点） 函数关系式其实是一个等式， 左边字母表示的量随右边的字母变化 而变

4、化，所以左边的字母（因为右边的的字母变化它才变化）叫因 变量，右边的字母是自己不断的变化，所以叫自变量。 （1）在实际问题中，要表示两个变量间的关系，需找到问题中的 等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，再按要求化成用含一 个变量的式子表示另一个变量的形式。 （2）用尝试求值的方法解决实际问题，可以列出表格，依次对自 变量取值，求出它们对应的函数值，然后取得符合题意的值。 例 2 正方形的边长为 3cm，若它的边长增加 xcm，则它的面积就 增加 ycm2。试列出 y 与 x 之间的关系式。 典型例题： 题型 1 根据二次函数的定义确定字母的取值 例 1 已知 y (m3)xm27是 y 关

5、于 x 的二次函数，则 _。 题型 2 根据变量之间的关系列函数关系式 m 的值是 例 2 将一根长 20cm 的铁丝折成一个矩形，设矩形的一边长为 xcm， 矩形的面积为 y cm2。 （1）写出 y 与 x 之间的关系式，并指出它是一个什么函数？ （2）当边长 x=1，2 时，矩形的面积分别是多少？ 题型 3 列函数关系式解决实际问题 例 3 某广告公司欲设计一幅周长为 12 米的矩形广告牌，广告设计 费为每平方米 1000 元，设矩形的一边长为x 米，所花费用为y 元。 （1）请你写出 y 与 x 之间的函数关系式， 并写出 x 的取值范围； （2）估计当 x 取何值时，y 有最大值。

6、例 4 如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条 互相垂直的道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为y m2， 道路的宽为 xm，你能写出 y 与 x 之间的函数关系式吗？ 题型 4 二次函数与几何图形的综合应用 例 5 如图，已知ABC 是一个等腰三角形铁板余料，其中 AB=AC=20cm，BC=24cm。若在ABC 上截出一个矩形零件 DEFG，使 EF 在边 BC 上，点D、G 分别在边 AB、AC 上，设EF=xcm，S 矩形DEFG =y cm2。你能写出 y 与 x 之间的函数关系式吗？ 第第 2 2 节节 结识抛物线结识抛物线 学习目标学习目标： 1、经

7、历描点法画函数图像的过程；2、学会观察、归纳、概括函数 图像的特征；3、 掌握y ax2二次函数图像的特征；4、经历从特殊到一般的认识过 程，学会合情推理。 学习重点：学习重点： y ax2型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 学习难点：学习难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像， 该过程较 为复杂。 学习过程学习过程 1 1、二次函数二次函数y ax2的图象的画法（重点）的图象的画法（重点） 描点法：列表描点连线 列表取原点（0，0），然后在原点两侧对称地取 4 个点 描点先将 y 轴右侧的两个点描出来， 然后按对称关系找到 y 轴 左侧的两个对应点 连先按从左到右的顺序将这

8、 5 个点用平滑的曲线连接起来。 注 意要“平滑”，且图象不能到“两端”为止，应画成延伸的形状 例 1 作出二次函数 y=x2的图象。 2 2、二次函数二次函数y ax2的图象的性质（难点）的图象的性质（难点） 图象为一条抛物线 轴对称图形，对称轴是 y 轴，顶点是原点（0，0）顶点是指 对称轴与抛物线的交点。 当a0 时，开口向上，在y 轴左边，下降趋势；在y 轴右边，上升 趋势。顶点处取得最小值 0。 当a0 时，曲线自左向右逐渐_；它的顶点是图象的最 1 2 1 2 _点； （3）函数y 2x2， 对于一切 x 的值， 总有函数值 y_0； 当 x0 时，开口向上；a0）或向下（c0 时

9、，抛物线y ax2向上平移|k|个单位，得y ax2 k的 图象； 当 k0 时， 抛物线y ax2向右平移|h|个单位， 得到y a(x h)2 的图象； 当 h0，x=时，y 最小值 ； 4a2a 4ac b2b 当a0 时，y，此时 y 取到最小值 4a 4ac b2 为； 4a 4ac b2 当a0，则x 时，y 取到最小值为； 4a2a 最大值为x 1 、x 2 中离 x b 较远者所对应的 y 值； 2a 4ac b2b （2）若a0， x 2 , 则x=x 1 时，y 取到最大值为 2a 若a0， y 最大值 ax 1 bx 1 c； x=x 2 时，y 2 取到最小值为y 最小

10、值 ax 2 2 bx 2 c； b x 1 , 则x=x 1 时，y 取到最大值为 2a （2）若 ax 2 , 则x=x 1 时，y 取到最小值为 2a 若a0， y 最小值 ax 1 bx 1 c； x=x 2 时，y 2 取到最大值为y 最大值 ax 2 2 bx 2 c。 例 2 分别在写列范围内求函数y x2 2x 3的最大值或最小值。 （1）0x0）的函数关系式； （2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为 W 元，那么当销售 单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少 元？利润=销售量（销售单价-进价） 典型例题： 例 1 已知二次函数y 2x210 x 2，并且这个函

11、数图象上两点A、B 的横坐标分别为x A =，x B =4，不求函数值，请比较y A 、y B 的大 小。 1 2 例 2 某化工材料经销公司购进一种化工原料 7000 千克，购进时价 格为每千克 30 元，物价部门规定其销售单价不得高于 70 元，也不 得低于 30 元，市场调查发现，单价定为70 元，日均销售60 千克， 单价每降低 1 元，日均多售出2 千克。在销售过程中，每天还要支 付其他费用 500 元（天数不足一天时，按整天计算），设销售单价 为 x 元，日均获利为 y 元。 （1）求 y 关于 x 的二次函数表达式，并说明 x 的取值范围； （2）将 （ 1 ） 中 所 求 出

12、的 二 次 函 数 配 方 写 成 b 2 4ac b2 或y a(x h)2 k的形式， 写出顶点坐 y a(x ) 2a4a 标，并画出图象，由图象指出单价定为多少元时，日均获利 最多？最多是多少？ （3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价 最高这两种方式，哪种方式获利较多？多多少？ 第第 7 7 节节最大面积是多少最大面积是多少 本节内容教学目标： 1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。 2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最 值问题。 3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和 数学的应用价值。 教学重点和难点： 重点：利

13、用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学 的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。 难点：例 3 将现实问题数学化，情景比较复杂。 ： 长方形的最大面积是多少卡车过桥问题 1 1、长方形的最大面积是多少、长方形的最大面积是多少 当题目中要求矩形的最大面积时， 通常用含有自变量 x 的代数 式表示矩形的长与宽， 根据矩形的面积公式构造关于x的二次函数， 再利用二次函数的图象和性质，求出二次函数的最大值，同时要注 意自变量的取值范围。 例 1 如图，有长为 24 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长 度 a 为 10 米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃 的宽 AB 为 x 米

14、，面积为 S 平方米。 （1）求 S 与 x 的函数关系式； （2）如果要围成面积为 45 平方米的花圃，AB 的长是多少米？ （3）能围成面积比 45 平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最 大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。 2 2、卡车过桥问题、卡车过桥问题 这类问题所给的问题情境常有一个抛物线形桥顶或隧道， 已知卡车 的高和宽，问卡车是否能完全通过。在问题中，抛物线的函数表达 式是首要条件，有时函数表达式已经给出，有时需要先求出来，求 出函数表达式后有两种方法可以判断卡车能否从桥下通过： （1）固定卡车的宽，看桥是否足够高（即相当于告诉 x 的值，求 y 的值，然后把限制的高的值

15、与 y 的值比较大小）； （2）固定卡车的高，看抛物线是否够宽（即相当于告诉 y 的值， 然后再根据函数表达式求 x 的值，再与限制的宽的值比较大 小）。 例 2 一座拱桥的轮廓是抛物线形，如图 1。拱高 6m，跨度 20m， 相邻两支柱间的距离为 5m。 （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中，如图 2。其表达式是 y ax2 c的形式，请根据所给数据求出 a、c 的值； （2）求支柱 MN 的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离 带），其中的一条行车道能否并排形式宽2m、高3m 的三辆 汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由。 典型例题： 例 1 如图，在

16、ABC 中，AFBC，AB=AC=5，BC=6，矩形 PQED 的边 PQ 在线段 BC 上，D、E 分别在线段 AB、AC 上，设 BP=x。 （1）求矩形 PQED 的面积 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变 量 x 的取值范围； （2）当 x 取什么值时，矩形 PQED 的面积最大？求出这个最大 值； （3）连接 PE，当 PEAB 时，矩形 PQED 的面积是多少？ 例 2 如图，在ABC 中，BC=6，AC=4 2，C=45，P 是 BC 边上 一动点 D 在 AC 边上运动，使 PD 与 AB 保持平行，设 BP=x，APD 的面积为 y。求 y 与 x 之间的函数关系式，并指

17、出 x 的取值范围。 第第 8 8 节节二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 本节内容： 二次函数y ax2bx c与一元二次方程ax2bx c 0的关系（重点） 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 1 1、二次函数二次函数y ax2bx c与一元二次方程与一元二次方程ax2bx c 0的关系（重的关系（重 点）点） 因为 x 轴上点的纵坐标都为 0，所以求抛物线与 x 轴交点的坐标， 可利用函数表达式y ax2bx c来求，只需令 y=0，可得一元二次 方程。方程的解即为交点的横坐标。 二次函数y ax2bx c的图象与 x 轴的交点有三种情况： （1）当b2 4ac0 时，方程ax2bx c 0有两个不相等的实数根x 1 、 x 2 ，抛物线y ax2bx c与 x 轴有两个交点（x 1，0）、（x2 ，0）； （2）当b2 4ac=0 时，方程 ax2bx c 0有两个相等的实数根 b ，抛物线y ax2bx c与 x 轴有一个交点恰好就是抛物 2a b 线的顶点（，0）； 2a x 1= x 2 = （3）当 b2 4ac0 ，y 2 |y 2 |，则x