初中最值问题的常用解法

1、初中最值问题的常用解法 (重庆北碚 西南师范大学附属中学 400700) 张珍俊 最值问题是一个古老而又崭新的课题 ,它 渗透到代数、几何、三角、不等式等各个学科领 域 ,随着数学内容的不断深化 ,解最值问题的方 法也愈加丰富 .这类题不仅涉及面广 ,而且蕴涵 着丰富的数学思想和方法 .本文介绍一些常见 的方法. 1 配方法 将代数式配成平方和的形式 ,利用平方是 非负数这一特点而求其最值 ,但应注意能否同 时取得最值. 例 1 求实数 x , y的值 ,使得 ( y - 1) 2 + (x +y - 3) 2+ ( 2x +y - 6) 2 达到最小值. 分析: 对于多元函数 ,可选定其中一

2、个作为 主元来进行配方. 解: 原式 = 5x 2+ 6xy+ 3y2 - 30 x - 20y +46= 5x 2+ ( 6y - 30)x +3y 2 - 20y+46= 5x 2 + 6y - 30 5 x +( 3y - 15 5 ) 2 - ( 3y - 15 5 ) 2 +3y2- 20y+46= 5(x + 3 5 y - 3) 2 + 6 5 ( y - 5 6 ) 2 + 1 6 当 x + 3 5 y - 3= 0 y - 5 6 = 0 即 x = 5 2 , y = 5 6 时原式有最小值 1 6 . 例 2 设 x R + ,求函数 y = x 2 - x+ 1 x

3、的最小值. 解: 原式 = (x - 1) 2+ ( x - 1 x ) 2+ 1 当 x =1 x = 1 x 即 x = 1时有最小值 1. 2 消元法 对于多元函数 ,可选择其中一个作为主元 , 设法消去另外的变量 ,从而转化为一元函数.消 元法是解决多元函数的一个重要方法 ,但应注 意自变量取值范围. 例 3 已知 x、y、z 为实数 ,且 x +2y - z = 6, x - y+2z = 3,求 S= x2+y2+ z2的 最小值. 分析: 在 S中有三个变量 ,可通过消元法消 去两个变量. 解: 由已知可得 y = 5一 x, z = 4- x ,则 S = x 2 +( 5-

4、x ) 2 +( 4 - x ) 2 = 3( x - 3) 2+ 14. 故当 x =3时 S有最小值 14. 例 4 若 a、c、d是整数 ,b是正整数 ,且满 足 a+ b= c,b+ c= d,c+ d = a,求 a+ b+ c+d的最大值. 分析: 由于 b是正整数 ,可考虑以 b为主元 , 设法消去 a、c、d. 解: 由已知得 c - a = b, d - c= b, c+ d - a = 0 解得 a = - 3b,c = - 2 b, d = - b 故 a+ b+ c+ d = - 5 b - 5,故 b = 1 时 ,a+ b+ c+ d有最大值 - 5. 3 构造法

5、有些最值题目的已知条件与未知条件之间 的关系比较隐蔽 ,需要通过构造搭建桥梁 ,使问 题解决的途径明朗化 ,具体说来 ,构造的方法有 数数联想构造 ,有形形联想构造 ,还有数形联想 39 数学教学通讯2004年 10月 (上半月 ) (总第 203期 )重庆 构造等. 例 5 设 x、y是实数 ,且 x2+xy+y2= 3,求 x 2 - xy+y2的最值 . 解: 设 x 2 - x y+y 2 = m , 又 x 2+ x y+y2=3 解得 x +y = 9- m 2 , xy = 3 - m 2 则 x , y是方程 t2 9 - m 2 t+ 3 - m 2 = 0的两个实根. 从而

6、有 = ( 9 - m 2 ) 2 - 4 3 - m 2 0 解得 m 1,又 9 - m 2 0,即 m 9, 则 1 m 9. 故 m 的最小值为 1,最大值为 9. 例 6 设 a、b、c、d、e是实数 , 且 a+b+ c+d+ e = 8, a 2 + b 2+ c 2+ d 2+ e2 =16, 求 e的最大值 . 解: 由已知得 a+ b+ c+d - 8 - e, 得 a 2+ b2 +c 2+ d 2 = 16- e 2 令 f (x ) = 4x2- 2(a+ b+ c+d)x + (a2+ b2+c2+ d2) = =(x - a) 2 +(x - b) 2 +(x -

7、 c) 2+ (x - d) 2 0 另一方面 ,二次项系数为 4,有 0 解得 0 e 16 5 ,所以 e的最大值为 16 5 . 例 7 求 函 数 y =x 2 - 4x +8 + x 2 +2x +2的最小值. 解:原 式=(x - 2) 2 +2 2 + ( x +1)2+1. 它表示点 A(x , 0) 到点 B( 2, 2) ,C(- 1, 1) 的距离之和 ,原题转化为在 x 轴上找一点 A到 点 B、C距离之和最小 ,由几何知识可得 ,应先 求出点 B 关于 x 轴的对称点 B , ,则最小值为 B C,又B ( 2, 2) ,所 以B C= ( 2+1) 2+ ( - 2

8、 - 1) 2 = 32 ,故所求最 小值为 32. 4 数形结合法 所谓数形结合就是根据问题的条件和结论 之间的内在联系 ,既分析其代数含义 ,又揭示其 几何意义 ,使数量关系和空间形式巧妙和谐地 结合起来 ,并充分利用这种“结合” ,寻找解题思 路 ,使问题得到解决 . 图 1 例 8 当 a取遍 0到 5的所有实数值时 ,求满 足 3b = a( 3a - 8) 的整 数 b的个数. 分析: 由 3 b = a( 3a - 8) ,有 b = a2- 8 3 a. 这是一个二次函数 ,其图 象是一条抛物线 ,当 a取遍 0到 5的所有实数 时 ,求整数 b的个数就是求 b的最大值与最小值

9、 之间的整数的个数. 解: 先作出 b= a 2 - 8 3a的图象 (注意 0 a 5) .由图象知 ,在 0 a 5时 ,b的最小值 为 - ( - 8 3 ) 2 4 = - 16 9 ,b的最大值为 f ( 5) = 35 3 .在 - 16 9 与 35 3 之间共有 13个整数.故整数 b 的个数为 13. 例 9 在满足 x+2y 3, x 0, y 0 的条件下 ,求 2x +y能达到的最大值 . 图 2 解: 如图 2, 作出直 线 x+2y = 3,满足不等 式 x 0, y 0, x+2y 3约束的点集是图中 直线与 x , y轴所围成的 区 域 ABO( 包 括 边 界

10、 ).要求 s = 2x +y 的 最大值 ,把 s= 2x + y变形为 y = - 2x + s,其 相应的图象是斜率为 - 2的平行直线束 .欲求 s 的最大值 ,转化为求平行线通过 ABO时截距 的最大值 , 显然 , 当直线 y = -2x +s通过 A( 3, 0) 时 ,截距 s最大 ,此时 s=6. 40 重庆数学教学通讯 2004年 10月 (上半月 )(总第 203期 ) 5 局部调整法 (变量取整数 ) 有些最值问题它的自变量取整数 ,变量呈 现一定的离散状况 ,且不少题目中变量也不止 一个 ,解决这类问题 ,普通方法不一定适合 ,这 时可考虑局部调整法 ,让我们从熟悉的

11、例题谈 起. 例 10 已知若干个正整数之和为 1976,求 其乘积的最大值. 解: 设 n 个正整数 x1,x2, , xn之和为 1976,即 x1+x2+ + +xn=1976 这里的 n是一个变量 ,这是因为题目中要 求的和为 1976的正整数的个数是不确定的 ,我 们的目标是追求乘积的最大值 ,而不拘泥于正 整数的个数 n. 首先 ,关注一个大于 4的正整数 , 如果 x1,x2, , xn中有一个大于 4,比如 xj 4,把 xj拆成一个 2与一个 xj- 2的和 , xj= 2+(xj+2) 两个加数的乘积 2(xj- 2) = 2xj- 4= xj+ * xj- 4) xj 所

12、以 ,第一步调整是把 x1, x2, ,xn中所有 大于 4的数 xj,通过分拆成 2与 xj- 2,全部换 成不大于 4的正整数. 当然 ,不能让拆出的数中出现 1,因为这时 乘积不会变大 ,还要注意到 ,如果拆出的数恰巧 出现 4,由于 4= 2+2= 2 2,所以把 4换成 2+2时 ,不会使乘积变小. 因此 ,第二步调整是把 xi中所有的 4全部 换成 2 2. 经过两步调整 ,乘积将会变大 ,而且是把 1976拆成若干个 2与 3的和.下面的注意力就 放在 2和 3的调整上 由于 2+2+2= 3 2, 但 2 2 2 x21+x 2 67. 这表明 ,如果把最小数 x1减少 1,而

13、把最大 数 x67增加 1, (这时 67个正整数的和不变 ) ,它 们的平方和就增大 ,为此我们进行这样的调整. 每次把 x1减少 1,把减少的 1加到 x67上 , 直到 x1= 1为止 ,从而对 x1调整结束. 这样调整的结果是 , 67个正整数的和为 110不变 ,而平方和在调整后比调整前大. 再把 x2解冻 ,对 x2调整 ,仍然是每次把 x2 减少 1,把 x67加上 1,直到 x2=1为止 ,结束对 x2的调整. 如此对 x3, x4, ,x66一步一步地调整下 去 ,直到把 ( x1,x2, , x66, x67) 调整到 ( 1, 1, , 1, 44) 这时 ,由于 1+

14、1+ + 1+44= 66 1+44= 110 并且每调整一次 ,平方和就增大一次 ,所 41 数学教学通讯2004年 10月 (上半月 ) (总第 203期 )重庆 以 , 所求 x 2 1+x 2 2+ +x 2 67的 最大值为 1 2+ + 1 2 66个 +44 2 = 2002 ( 2) 求最小值 若 | xj- xi| 2时 ,不妨设 xj xi,则由 (xj- 1) 2+ (xi+1) 2 - x 2 j- x 2 i= 2(xi- xj) +2 - 2 0 知 ,当 | xj- xi| 2时 ,将大数减 1,小数 加 1,它们的平方和减少了 ,因此 ,要使 x21+x 2 2

15、 + + x 2 67最小 ,这 67个数中任意两个数的差 的绝对值不超过 1, 又由于这 67个数的和为 110,所以只有取 43个 2和 24个 1,使 x 2 1+ x 2 2+ +x 2 67最小 ,最小值为 43 2 2 +24 1 2 = 196. 6 排序法 对于某些轮换对称式可考虑此法 . 例 12 设 x1,x2, x3, x4,x5均为自然数 ,且 x1+x2+x3+x4+ x5= x1x2x3x4x5,试求 x5 的最大值. 解: 不妨设 x1 x2 x3 x4 x5. 因为 x1+ x2+x4+x4+x5= x1x2x3 x4x5 所以 1= 1 x2x3x4x5 +

16、1 x1x3x4x5 + 1 x1x2x4x5 + 1 x1x2x3x5 + 1 x1x2x3x4 1 x4x5 + 1 x4x5 + 1 x4x5 + 1 x5 + 1 x4 = 3+x4+ x5 x4x5 于是 ,x4x5 3+x4+x5 从而 , (x4- 1) (x5- 1) 4 若 x4= 1,则 x1= x2= x3= x4= 1,由已 知得 4+x5= x5,矛盾. 所以 x4 2,则 x5- 1 (x4- 1) (x5- 1) 4, x5 5 当 x5= 5时 ,存在 x1= x2= x3= 1,x4= 2使等式成立. 因而 ,x5的最大值为 5. 例 13 设 a,b,c,a

17、+ b- c,a+ c - b,b+ c - a,a+ b+ c是 7个两两不同的质数 ,且 a, b,c中有两数之和是 800,设 d是这 7个质数中 最大数与最小数的差 , 求 d 的最大可能值. ( 2001年中国数学奥林匹克竞赛题 ) 解: 不妨设 a b 0, 所以 c a+ b a+c b+c 又因为 a+ b, a+ c, b+ c中有一个数为 800,所以 c 800 由于 799= 17 47和 798都不是质数 ,而 797为质数 ,故有 c 797, d 1594 另一方面 ,当 a+ b=800时 ,注意到 a = 5,b = 795, a = 7,b = 793= 1

18、3 61, a = 11,b = 789=3 263 都不全是质数 ,从而不能满足题中要求. 而 a= 13,b= 787都是质数 ,这时 a+ b - c = 3,a+ c - b= 23也都是质数 ,容易验: b+ c - a= 1571和 a+ b+ c= 1597也都是质数 , 综上可知 ,d 的最大可能值为 1594. 7 几何意义 例 14 设 x是实数 ,且 f (x ) = | x + 1 | + | x +2 | + + | x +5 | ,求 f (x ) 的最小值. 解: 由绝对值几何意义 , 在数轴上画出 - 1 、 - 2 、 - 3 、 - 4 、 - 5对应的点分

19、列为 A、 B、 C、D、 E, 设 x 对应的点为 P (如图 3) , 则 f ( x ) = | PA| + | PB|+ | PC|+ | PD|+ | PE| .由几何意义 ,当 P在线段 AE上时| PA| + | PE| 最小 . 图 3 同理 ,当 P在线段 BD上时| PB| + | PD| 最小. 42 重庆数学教学通讯 2004年 10月 (上半月 )(总第 203期 ) 向量方法在平面几何中的应用 (重庆市第八中学 400030) 桂本祥 平面向量具有较强的工具性作用 ,向量方 法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、 测量等某些问题 ,还可以简洁明快地解决平面 几何许多常见证明 (平行、垂直、共线、相切、角 相等 ) 与求值 (距离、角、比值等 ) 问题.用向量 法解决平面几何问题的一般途径是: 问题条件 翻译 向量关系式 向量运算 其它向量关系式 翻译 问题结论 向量法应用于平面几何中时 ,它是数学中 的数与形完美结合 ,能使平面几何许多问题代 数化 ,程序化 ,从而得到更有效的解决 . 1 利用两个非零向量 a、b共线的充要条件 a = b(其中 是实数 ) ,解决与“平行或共线” 有 关的问题. 例 1 如图 1,一直线割 OAB 的三边