利息习题解答第四章d

1、版权所有，翻版必究 第四章习题答案 1现有 1000 元贷款计划在 5 年内按季度偿还。已知季换算名利率 6%， 计算第 2 年底的未结贷款余额。 解： 设每个季度还款额是 R ， 有 Ra(4) 5p6% = 1000 解得 R ， 代入 B2的表达式 B2= Ra(4) 3p6% = 635.32 元 2设有 10000 元贷款，每年底还款 2000 元，已知年利率 12% ，计算借款人的还 款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。 解： n = 10000 2000 = 5 B5= 10000 (1 + i)n 2000snp12% = 4917.72 元 3某贷款在每季度末偿还 1500

2、元， 季换算名利率 10% ， 如果已知第一年底的未 结贷款余额为 12000 元， 计算最初的贷款额。 解： 以季度为时间单位，i = 2.5% 。 B0= B1 v + 1500a4pi = 16514.4 元 4某贷款将在 15 年内分期偿还。 前 5 年每年底还 4000 元， 第二个 5 年每年底还 3000 元，最后 5 年每年底还 2000 元。计算第二次 3000 元还款后的未结贷款 余额的表达式。 解： 对现金流重新划分， 有 B7= 2000a8p + 1000a3p 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页 版权所有，翻版必究 5某贷款将以半年一次的年金方式在 3 年半内

3、偿还， 半年名利率 8% 。 如果已知 第 4 次还款后的未结贷款余额为 5000 元， 计算原始贷款金额。 解： 设原始贷款额为 L ， 每次还款为 R ， 以半年为时间单位， 有 5000 = Ra3p4% L = Ra7p4% 整理得： L = 5000 a7p a3p = 10814.16 元 6现有 20000 元贷款将在 12 年内每年底分期偿还。 若 (1+i)4= 2 ， 计算第 4 次 还款后的未结贷款余额。 解： 设第 4 次还款后的未结贷款余额为 L ， 每次还款为 R ， 有 20000 = R a12pi L = R a8pi 把 (1 + i)4= 2 代入整理得：

4、 L = 5000 1 (1 + i)8 1 (1 + i)12 = 17142.86 元 720000 元抵押贷款将在 20 年内每年分期偿还， 在第 5 次还款后， 因资金短缺， 随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第 8 年底重新开始还贷，并在 20 年内还清。计算调整后的每次还款额。 解： 设正常每次还款为 R ，调整后每次还款 X ，以当前时间和第 5 年底为比较 日， 有 20000 = Ra20p Xa13p v2= Ra15p 整理得： X = 20000 a15p a20p (1 + i)2 a13p 北京大学数学科学学院金融数学系第 2 页 版权所有，翻版必究 8某贷款

5、L 原计划在 25 年内分年度等额还清。但实际上从第 6 次到第 10 次的 还款中每次多付 K 元， 结果提前 5 年还清贷款。试证明： K = a20p a15p a25p a5p L 证： 以第 20 年年底为比较日， 设每次还款为 R ， 有 L = Ra25p Ks5p (1 + i)10= Ra5p 整理即得。 9设 Bt表示未结贷款余额， 证明： (1) (Bt Bt+1)(Bt+2 Bt+3) = (Bt+1 Bt+2)2; (2) Bt+ Bt+3 Bt+1+ Bt+2 证： (1) (Bt Bt+1)(Bt+2 Bt+3) = (R + Bt+1 1 + i Bt+1) (

6、Bt+2 (1 + i)Bt+2 R) = R iBt+1 1 + i (R iBt+2) = (R iBt+1) R i(1 + i)Bt+1 R) 1 + i = (R iBt+1)2 = (Bt+1 Bt+2)2 (2) Bt Bt+1= R iBt R iBt+2 = Bt+2 Bt+3 Bt+ Bt+3 Bt+1+ Bt+2 默认每次还款额是相同的！ 北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页 版权所有，翻版必究 10某贷款按季度分期偿还。每次 1000 元， 还期 5 年， 季换算名利率 12%。计算 第 6 次还款中的本金量。 解： P6= B5 B6 = 1000a205p3%

7、1000a206p3% = 1000 1.0315 = 641.86 元 11n 年期贷款， 每年还款1元。试导出支付利息的总现值(去掉：之和)。 解： 设第 t 年支付的利息为 It， 有 It= iBn+1t = ian+1tp = 1 vn+1t 支付利息的总现值为： I = n t=1 Itvt = n t=1 (1 vn+1t)vt = anp nvn+1 12设 10000 元贷款 20 年还清，年利率 10%，证明第 11 次中的利息为 1000 1 + v10 元。 此处有改动10000改成1000 北京大学数学科学学院金融数学系第 4 页 版权所有，翻版必究 证： 设每期还款

8、额为 R ， 由上题的结论有 I11= R(1 v10) = 10000 a20p (1 v10) = 10000 i 1 + v10 = 1000 1 + v10 13设有 20 次分期还贷，年利率 9%。问：第几次还款中的本金量与利息量差额 最小。 解： 不妨设每次还款额为 1。 Pt It= vnt+1 (1 vnt+1) = 2vnt+1 1 由 2vnt+1 1 = 0 t 12.96 验证 t = 12,13 的情形易得第 13 次本金量与利息量差额最小。 14现有 5 年期贷款，分季度偿还。已知第 3 次还款中的本金为 100 元，季换算 的名利率 10%。计算最后 5 次还款中

9、的本金量之和。 解： 以一季度为时间单位， 设每次还款额为 R， 由题意得 Rv203+1= 100 R = 100 v18 于是最后 5 次本金总额为 R(v1+ + v5) = 724.59 元 北京大学数学科学学院金融数学系第 5 页 版权所有，翻版必究 15现准备用 20 年时间分期偿还一笔贷款，且已知前 10 年的年利率为 i ，后 10 年的年利率为 j 。计算： (1) 第 5 次偿还中的利息量； (2) 第 15 次偿还中的本 金量。 解： 设初始贷款量为 1 ， 每年还款额为 R ， 有： 1 = Ra10pi+ Ra10pj (1 + i)10 R = 1 a10pi+ (

10、1 + i)10a10pj (1)I5= iB4 = iR(a6pi+ (1 + i)6a10pj ) (2)P15= B14 B15 = Ra6pj Ra5pj = R(1 + j)6 16原始本金为 A 的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还 K ，且最后一 次将不足部分一次还清。计算：(1) 第 t 次偿还的本金量；(2) 摊还表中的本 金部分是否为等比数列？ 解： 设总还款次数为 n ， 最后一次还款中不足部分设为 B 。 (1) 利用追溯法可得 Bt= A(1 + i)t Kstp ,t n 0,t = n 故 Pt= (K iA)(1 + i)t1,t L 2 Bk1= Rank

11、+1p 1 故 K = n + 1 ln(vn+ 1) ln2 lnv + 1 其中 x 表示取整函数。 21设有年利率 2.5%的 15000 元贷款，每年偿还 1000 元。计算第几次还款中本 金部分最接近利息部分的 4 倍 解： 设第 k 次还款本金部分最接近利息部分的 4 倍。利用追溯法 Bk1= L(1 + i)k1 Rsk1p Ik= iBk1= iL(1 + i)k1 R(1 + i)k1 1 Pk= R Ik= R(1 + i)k1 iL(1 + i)k1 再由 Pk= 4Ik得 k 11。 北京大学数学科学学院金融数学系第 8 页 版权所有，翻版必究 22某贷款在每年的 2

12、月 1 日等额还贷。已知 1989 年 2 月 1 日的还款中利息为 103.00 元，1990 年 2 月 1 日的还款中利息为 98.00 元， 年利率 8% 。 计算： (1) 1990 年还款中的本金部份；(2) 最后一次不足额还款的日期和金额。 解： (1) 设 In,Pn为别为 n 年的利息部分和本金部分， I1990= I1989 iP1989 P1989= 62.5 又 I1989+ P1989= I1990+ P1990 P1990= 67.5 (2) 利用递推公式容易求得 2000 年 2 月 1 日还款后未结贷款余额为 101.43 元，已经小于 165.5 元。同时易得

13、 B1989= 1225 。设最后一次还 款在2000年2月1日后经过时间t收回。于是t满足 1225 = 165.51 v 11+t i t = 0.653 故最后一次还款时间为 2000 年 9 月 24 日，金额为 165.5 1.08t1 0.08 = 106.67 元。 建议把最后不足部分的偿还方法说清楚， 我们用的是： 不足部分在下一 年的等价时间偿还的方法。 与原答案有出入 23某贷款通过 2n 次偿还。在第 n 次偿还后，借款人发现其负债为原始贷款额 的 3/4 ， 计算下一次还款中利息部份的比例。 解： 由题意得 3 4L = Ranpi L = Ra2npi vn= 1 3

14、 而 In+1= R(1 vn)， 故利息部分所占的比例是 2 3 。 北京大学数学科学学院金融数学系第 9 页 版权所有，翻版必究 24某银行提供月利率 1% 的抵押贷款，如果借款人提前将贷款余额一次付清， 只需对当时余额多付出 K% 。 如果某人在第 5 年底找到另一家银行提供月利 率 0.75% 的 10 年贷款， 对这个借款人来说 K 的最大可接受值为多少？ 解： K 最大可接受， 即这个借款人在两家银行每月的还款额相同。 a120p0.75%= (1 + K%)a120p1% K = 13.258% 25现有 10000 元贷款利率 10% 。已知借款人以 8% 累积偿债基金，第 1

15、0 年底 的偿债基金余额为 5000 元， 第 11 年的还款金额为 1500 元。计算： (1) 1500 元中的利息量； (2) 1500 元中的偿债基金存款； (3) 1500 元中偿还当年利息的部分； (4) 1500 元中的本金量； (5) 第 11 年底的偿债基金余额。 解： (1) I11= 10000 10% = 1000 元； (2) 偿债基金存款额为 1500 1000 = 500 元； (3) 也即是计算净利息: 1000 5000 8% = 600 元； (4) 本金量 1500 600 = 900 元； (5) 11 年底的偿债基金余额 5000 (1 + 8%) +

16、 500 = 5900 元。 26证明：anpi&j= snpj 1 + isnpj 。 证： 利用 L = Ranpi&j L = (R iL)snpj 消去R可得 ( L anpi&j iL)snpj= L 再适当变形便可得结论。 北京大学数学科学学院金融数学系第 10 页 版权所有，翻版必究 27现有利率为 9%的 10000 元贷款，每年底还利息，同时允许借款人每年初以 利率 7%向偿债基金存款 K 。如果在第 10 年底偿债基金的余额恰足以偿还 贷款。计算 K。 解： 由题意得 K s10p7%= 104 K = 676.43 28现有 10 年期贷款年利率 5%，每年底还贷 100

17、0 元。贷款的一半按摊还方式 进行， 另一半按额外提供 4%年利率的偿债基金方式还款。计算贷款额。 解： 设贷款额为 X ， 有 X/2 = R1a10p5% X/2 = R2anp5%&4% 1000 = R1+ R2 整理得到 X 2 ( 1 a10p5% + 1 anp5%&4% ) = 1000 X = 7610.48 元 29为期 10 年的 12000 元贷款，每半年还款 1000 元。已知前 5 年以 i(2)= 12% 计息， 后 5 年以 i(2)= 10% 计息。每次还款除利息外存入利率 i(2)= 8% 的偿 债基金。计算第 10 年底偿债基金与贷款之间的差额。 解： 前

18、 5 年每半年放入偿债基金 1000 12000 6% = 280 后 5 年每半年放入偿债基金 1000 12000 5% = 400 故第 10 年底偿债基金余额为 280s10p4% (1 + 4%)10+ 400s10p4%= 9778.6 于是差额为 2221.4 元。 北京大学数学科学学院金融数学系第 11 页 版权所有，翻版必究 30为期 10 年的 3000 元贷款， 以 i(2)= 8% 计息。如果借款人将贷款的 1/3 通过 存入利率 i(2)= 5% 的偿债基金偿还，剩余的 2/3 通过存入利率 i(2)= 7% 的 偿债基金偿还。计算每年的还款总额。 解： 设对于 1/

19、3 部分贷款每年还款为 R1， 剩余部分贷款每年还款为 R2。有 (R1 1000 4%)s20p2.5%= 1000 (R1 2000 4%)s20p3.5%= 2000 分别解得 R1= 79.15,R2= 150.72。故每年的总还款额为 R1+ R2= 229.87 元 31为期 31 年的 400000 元贷款,每年底还款 36000 元，若以年利率 3%建立偿债 基金。计算原贷款利率。 解： 设原贷款利率就是 i 。有 (36000 400000i)s31p3%= 400000 解得 i 7% 。 32某 20 年期末年金，以前 10 年利率 8%后 10 年利率 7%计算的现值为

20、 10000 元。某投资者以年利率 9% 买得该年金，并允许以累积偿债基金的方式收回 这笔资金，偿债基金前 10 年利率为 6%，后 10 年利率为 5%。计算偿债基金 的存款额。 解： 设期末年金每年的金额是 R ，偿债基金存款额为 X ，未结贷款余额为 P ， 有 10000 = Ra10p8%+ Ra10p7%(1 + 8%)10 R = X + P 9% P = Xs10p 6%(1 + 5%)10+ Xs5%p 解得：X = 246.95 元 有待讨论！我们认为年利率 9% 就是利率 i 北京大学数学科学学院金融数学系第 12 页 版权所有，翻版必究 33某 n 年期利率为 i 的贷

21、款，以利率 j 建立偿债基金。试给出以下各问的表达 式 (1 6 t 6 n )： (1) 贷方每年得到的利息； (2) 偿债基金每年的存款额； (3) 第 t 年偿债基金所得利息； (4) 偿债基金在第 t 年底的余额； (5) 第 t 年底的未结贷款余额； (6) 第 t 年支付的净利息； (7) 第 t 年支付的本金。 解： 设贷款额为L。 (1) 贷方每年得到的利息为 iL ； (2) 由偿债基金的定义知， 偿债基金每年的存款额为 L snpj (3) 偿债基金在 t 1 年末的余额是 L snpj st1p ， 故在第 t 年所得利息为 jL(1 + j) t1 1 (1 + j)n

22、 1 (4) 偿债基金在第 t 年底的余额是 L snpj stpj= L (1 + j)t 1 (1 + j)n 1 (5) 第 t 年底的未结贷款余额为 L L (1 + j)t 1 (1 + j)n 1 = L(1 + j) n (1 + j)t (1 + j)n 1 (6) 第 t 年支付的净利息为 iL jL(1 + j) t1 1 (1 + j)n 1 (7) 第 t 年支付的本金量是第 t 年偿债基金所得利息与第 t 年存入偿债基金 金额之和， 即为 jL(1 + j) t1 1 (1 + j)n 1 + L snpj = j(1 + j)t1L (1 + j)n 1 北京大学数

23、学科学学院金融数学系第 13 页 版权所有，翻版必究 34为期 10 年的 100000 元贷款，贷款利率 12%，同时以年利率 8%建立偿债基 金。已知前 5 年还款为 K ；后 5 年还款为 2K 。计算 K 。 解： 每年的利息为 100000 12% = 12000 故 100000 = (K 12000)s5p8%(1 + 8%)5+ (2K 12000)s5p8% 解得 K = 13454.36 元。 35某 10000 元贷款以利率 i(12)= 15% 按月偿还利息， 同时以利率 i(12)= 9% 每 月存款 100 元累积偿债基金。一旦偿债基金的余额达到 10000 元，则

24、结束还 贷。计算借款人总的还款额。 解： 每月还利息为 10000 i(12) 12 = 125 元， 于是每月总支出为 100 + 125 = 225 再由 100snp7.5% 10000 n = 75 但需要注意 100snp7.5% 10,000 = 18.33 ， 故最后一个月放入偿债基金的应 是 100 18.33 元。 所以总共还款额为 75 225 18.33 = 16856.67 元 36为期 25 年的 100000 元贷款，贷款利率 12%。如果贷款人从每年的还款中 以年利率 i 提取利息，同时将剩余部份以利率 j 累积偿债基金。分别对 j = 8%,12%和16%三种情

25、况计算 i 。 解： j = 12%相当于按照摊还方式对应的利率。设每次还款额为 R ， 于是 R = L a25p0.12 北京大学数学科学学院金融数学系第 14 页 版权所有，翻版必究 再根据偿债基金的定义有 (R iL)s25pj= L 解得 i = 1 a25p12% 1 s25pj 代入数据便有 (1) j = 8% 时，i = 11.38%； (2) j = 12% 时，i = 12%； (3) j = 16% 时，i = 12.35%。 37现有 10 年期贷款按月偿还， 其中月换算名利率 i(12)= 12% ， 首次为 600 元， 然后每次增加 5 元。 (1) 计算原始贷

26、款金额； (2) 证明：Pt= P1(1 + 0.01)t1+ 5st1p1%。 解： L = 595s120p1%+ 5Ia120p1%= 58490.89 元； 证： 这个题证明方法不唯一， 比如利用递推关系， 找规律再用归纳法证明。 下面 给出的证明方法是作者认为最简单的。 如果每次还款额是一样的， 那么 Pt 呈等比数列， 且 Pt= P1(1+i)t1。 于 是我们只需要将两种还款方式进行比较即可。下面用 B1 t 表示等额还款时 第t次的未结贷款余额，B2 t 表示按题中方式进行还款时第 t 次的未结贷款 余额。于是 B1 t = L(1 + i)t 600stpi B2 t =

27、L(1 + i)t 600stpi 5Ist1pi 故 P 2 t P 1 t = (B2 t1 B 2 t) (B 1 t1 B 1 t) = (B2 t1 B 1 t1) + (B 1 t B2 t) = 5(Ist1pi Ist2pi ) = 5st1pi (直接带公式化简) 北京大学数学科学学院金融数学系第 15 页 版权所有，翻版必究 于是 Pt= P1(1 + 0.01)t1+ 5st1p1% 38某帐户现有 1000 元存款，每月实利率 1%，且月月结算。如果每次恰好在利 息结算的下一个瞬间取出 100 元。问：最多可以提取几次？同时给出该帐户 每月余额和利息的列表。 解： 设第

28、 t 个月帐户余额为 Bt， 于是 Bt= 1000(1 + i)t 100stpi 容易算得 t = 10 时，帐户余额首次低于 100 元，故最多能够提取 10 次。每 月结余和利息列表如下： 月份利息帐户余额 00.001000.00 110.00910.00 29.10819.10 38.19727.29 47.27634.56 56.35540.91 65.41446.32 74.46350.78 83.51254.29 92.54156.83 101.5758.40 39已知某贷款每半年偿还 K 元，且三次连续还贷后的贷款余额为：5190.72 ， 5084.68 和 4973.6

29、6 。计算 K。 解： 利用追溯法可得 5190.72(1 + i) K = 5084.68 5084.68(1 + i) K = 4973.66 由此可解得 K = 349.81 元。 北京大学数学科学学院金融数学系第 16 页 版权所有，翻版必究 40利率为 i 的贷款 L ，每次偿还 K ，直至最后的不足额(不足金额 K )还款。证 明：Bt= K i (K i L)(1 + i)t。 证： 利用追溯法 Bt= L(1 + i)t Kstpi = L(1 + i)t K (1 + i)t 1 i = K i (K i L)(1 + i)t 41现有 1000000 遗产， 年投资收益 5

30、%。 由 A， B 和 C 三人继承。A 每年从本金 中得到 125000 元， 累计 5 年；B 每年从本金中得到 75000 元， 累计 5 年；C 每年得到利息。计算三人的遗产继承份额。 解： (1) A 继承遗产的终值为 125,000s5p5%= 690,703.91 元； (2) B 继承遗产的终值为 75,000s5p5%= 414,422.34 元； (3) C 继承遗产的终值为 1,000,000(1 + 0.05)5 125,000s5p5% 75,000s5p5%= 171,155.31 元 故三人的遗产继承份额分别为 54.12%、 32.47%、 13.41%。 42

31、某 10 年期年金， 每季度 500 元， 年利率 8%。计算 10 年间所有的利息收入。 解： 设季实利率为 i ， 则 i 满足 (1+i)4= 1+8% 。 解得 i = 1.94% 。 于是利息收 入为 500s40pi 500 40 = 9811.27 元 43现有 5 年期 10000 元贷款，半年换算名利率 12%。若在偿还利息之后，借款 人每年年底以年利率 8%的存款方式累积贷款本金。计算 5 年内的还贷总 额。 解： (1) 每年偿还利息为 10,000 12% 2 2 = 1200 元。 (2) 每年偿还本金为 10000 s5p8% = 1704.56 元。故 5 年内还

32、贷总额为 (1200 + 1704.56) 5 = 14522.82 元 北京大学数学科学学院金融数学系第 17 页 版权所有，翻版必究 44某贷款以每年年底还 3000 元偿还，季换算名利率 10%。若第 3 次还款中的 利息量为 2000 元， 计算第 6 次还款中的本金量。 解： 设等价年实利率为 i ， 则 i = (1 + 10% 4 )4 1 = 10.38%。由题意 3000(1 vn2) = 2000 解得 vn2= 1 3。故第六次还款中的本金为 3000vn5= 3000vn2v3= 1344.84元 45现有 10 年期 5000 元贷款，季换算名利率 10%。借款人在第

33、 10 年底一次性 偿还所有累计利息和本金。为此，以半年换算名利率 7%累计偿债基金。计 算偿债基金的每次存款额。 解： 设每次存入偿债基金金额为 R， 由题意得 Rs20p3.5%= 5000(1 + 2.5%)40 解得 R = 474.73 元。 46现有 3000 元贷款按季度分 20 次摊还，第 11 次和 12 次因故取消。经协商， 摊还从第 13 次重新开始，且每次金额为 N，但是第 14 ，16 ，18 和 20 次的 还款都比正常还款逐次增加 40 元。已知半年换算名利率8， 计算 N 为多少 方可保证按原计划如期还贷。 解： 设季度实利率为 i ， 由题意有 3000 =

34、Ra20pi (1 + i)2= 1 + 8% 2 Ra10pi (1 + i)2= Na8pi+ 40Ia4p4% i 0.0198 R 183.087 N 185.08 元 47设有 10 年期贷款， 其还款方式为： 首次还款全部用于还利息， 第 2 次还款为 第一次的两倍， 第三次还款为第一次的三倍， 依次类推。证明：Ia10p = ap 证： 不妨设贷款总额为 1 ， 利率为 i ， 则第 n 年还款为 ni 。于是 1 = iIa10p 故 Ia10p = 1 i = ap 北京大学数学科学学院金融数学系第 18 页 版权所有，翻版必究 48某贷款分 10 次偿还，第 1 次还款 1

35、0 元，第 2 次还款 9 元，依次类推。证明： 第 6 次还款中的利息为：(5 a5p ) 元。 证： 由题意得 L = Da10p 。利用追溯法 B5= L(1 + i)5 (5s5p + Da5p ) 于是 I6= iB5 = iL(1 + i)5 5is5p iDa5p = (10 a10p )(1 + i)5 5(1 + i)5 1 5(1 + i)5 s5p = 5 s10p (1 + i)5+ s5p = 5 a5p 49某贷款的偿还方式为：第 1 年底 200 元， 以后每年递增 50 元， 直至 1000 元。 问：如果年利率 4% ， 第 4 次还款中的本金量。 解： 利用

36、预期法可得 B3= 300a14pi+ 50Ia14pi= 6795.18 元 故第 4 次还款中的本金量为 350 iB3= 78.19 元 50某 1000 元贷款，每半年一次分 10 次等额偿还本金，同时按照半年换算名利 率 6% 偿还利息。为了保证半年换算名利率 10% 的收益率， 计算该贷款的出 让价格。 解： 设出让价格为 P ， P (1 + 10% 2 )10 =1000 10 s10p5%+ 1000 10 6% 2 (Da)10p5% =1480.45 P = 908.87 元 北京大学数学科学学院金融数学系第 19 页 版权所有，翻版必究 51现有 8000 元 20 年

37、期抵押贷款，每半年偿还 100 元再加上以利率 5% 计算的 贷款余额的利息。 在恰好得到第 15 次还款后， 贷款人转卖了这个贷款， 价格 满足：贷款利率为 6%，偿债基金利率为 4%。假定以上所有利率均为半年换 算名利率。证明： (1) 如果每半年的净回报相等， 贷款转让价格为 75s25p2%+ 6250 1 + 0.03s25p2% 元 = 4412 元； (2) 如果每半年的偿债基金的存款额相同， 则转让价格为 s25p2% 0.03a25p3% a25p3%+ 125 1 + 0.03s25p2% 元 = 4453 元 证： 52设有利率 10%的 2000元贷款， 其还贷方式为：

38、 第一年底400元， 然后按 4%的 比例递增， 最后一次将小量余额付清。计算 (1) 计算第 3 年底的未结贷款余额； (2) 计算第 3 次偿还中的本金量。 解： 做摊还表。 次数利息部分还款额本金部分未结贷款余额 12004002001800 21804162361564 3156.40432.64276.241287.76 53两笔 30 年等额贷款都以 4%利率偿还。甲每年等额偿还；乙每年的还款中的 本金量为常数， 利息按摊还方式。计算甲的还款额首次超过乙的时刻。 解： 设贷款总额为 1 ， 甲乙每年的还款额分别为 R甲,R乙,n R甲a30p4%= 1 R乙,n= 1 30 + 3

39、1 n 30 4% 解 R甲 R乙,n得 n 12.6 所以， 甲的还款额在第 13 次首次超过乙。 北京大学数学科学学院金融数学系第 20 页 版权所有，翻版必究 54甲以实利率 i 投资。其中第 1 年底取出利息收入的 162.5%， 第 2 年底取出利 息收入的 325%，依此类推。已知在第 16 年底原始投资资金全部收回。计算 i。 依此类推， 有歧义， 加上“第 3 年底取出利息收入的 487.5%” 解： 考虑最后一年，设第 15 年底未结余额为 1 ，第 16 年底取出利息收入 i 的 162.5 15 ， 于是 1 + i = 162.5% 15i 解得： i = 4.28%

40、55贷款额为 a25p 的贷款以连续年金方式偿还，连续偿还函数为 1 ，期限为 25 年。如果： i = 0.05， 计算第 6 年到第 10 年间的偿还利息总额。 与原答案有出入 解： 记利息力为 I = 10 6 25 t vstdsdt = 10 6 (1 v25t) lnv dt =4 + v15 v19 lnv =2.25204 56证明：(1 + i)t stp antp = anp antp 证： 两边同时乘 anp ， 移项得： (1 + i)t anp = antp + stp 左边 (1 + i)t anp 为 n 期标准连续年金在 t 期期末的现值 右边 antp + s

41、tp 是 n 期标准连续年金前 t 期与后 n-t 期在 t 期期末的现值 之和。于是得证。 北京大学数学科学学院金融数学系第 21 页 版权所有，翻版必究 57设有连续方式偿还的 n 年期贷款，时刻 t 的偿还额为 t 。给出未结贷款余额 的计算式。 解： Bk= n k tvtkdt = n 0 tvtkdt k 0 t(1 + i)ktdt = (1 + i)k(I a)np (I s)kp nen (lnn + 1) ses (lns + 1) 或者 Bk= n k tvtkdt = nk 0 (t + k)vtdt = (I a)nkp + k ankp 58现有连续方式偿还的 10

42、 年期贷款，其贷款余额呈线性变化。已知连续利率 为 10%。计算： (1) 前 5 年偿还的本金总额；(2) 前 5 年偿还的利息总额。 解： 设贷款总余额 1 (1) dBt= d(1 t 10) = 1 10， 所以前 5 年偿还的本金总额为 1 2 (2) 前 5 年偿还的利息总额 I 为： 5 0 iBtdt =10% (5 25 20) = 0.375 59已知某保险赔偿方式为： 截至索赔发生后 t 时刻的未赔偿额为 et。 (1) 求 连续赔偿函数； (2) 索赔发生时的未赔偿额； (3) 如果连续利率为 ， 计算所有未赔偿额在时刻 t 的现值。 解： (1) P(t) = dBt

43、= et (2) 把 t = 0 代入得：B0= 北京大学数学科学学院金融数学系第 22 页 版权所有，翻版必究 (3) t Ptesds = t e(+)sds = + se t 60现有 2000 元贷款是通过每季度偿还 P 元进行还贷。贷款方要求对未结贷款 余额中低于 500元 的部分按利率 i(4) 1 = 16% 计息，对超过500元的部分按利 率 i(14) 2 = 14% 计息， 如果已知第一年底的余额为 1000 元， 计算 P 。 01234 PPPP 500 1500 i(4) 1 i(4) 2 解: 注意到在第一年中余额都在 500 元以上，所以把 2000(= 1500

44、 + 500) 元拆 成 两个现金流， 于是以第一年底为比较日， 有 500 (1 + i(4) 1 4 )4+ 1500 (1 + i(4) 2 4 )4 P s4p3.5%= 1000 解得P = 309.9 元 61设有按季度分期偿还的 1000 元贷款， 每次还款 100 元， 不足部分的余额最后 一次付清。贷款方要求对未结贷款余额中低于 500 元的部分利率 i(4)= 12% 计息， 对超过500元的部分利率 i(4)= 8% 计息。 (1) 计算第 4 次还款中的本金； (2) 证明：在未结贷款余额达到 500 元之前，每次的本金量加上一个常数后 形成等比数列， 即 Pt+1+

45、K Pt+ K = 1 + j , t = 1,2,.,n 1 北京大学数学科学学院金融数学系第 23 页 版权所有，翻版必究 并计算 K 和 j 。 解: 注意到 4 次还款后余额还在 500 元以上， 所以可以分成两个现金流 500 12% 4 = 15 元 100 15 = 85 元 500 (1 + 8% 4 )3 85 s3p2%= 270.47 元 100 15 270.47 8% 4 = 79.59 元 证: 由上面的分析有 Bn= 500 + 500 (1 + 8% 4 )n 85 snp2% Pn= 100 (Bn1 500) 2% + 500 3%) = 100 (500

46、1.02n1 85 1.02n1 1 0.02 ) 2% + 15) = 75 1.02n1 因此 K = 0 , j = 2% 默认：期末， 好像算得有问题. 62某 3000 元贷款要求在一年内逐月分期偿还。对未结贷款余额在 1000 元以下 的部分以月利率 1.5% 计息；对未结贷款余额在 1000 元到 2000 元之间的部 分以月利率 1.25% 计息；对未结贷款余额在 2000 元到 3000 元之间的部分以 月利率 1% 计息。计算每次的还款金额。 解: 若都是按 1.5% 收利息， 则每次的应还款是 3000 a12p1.5% = 275.04 若都是按 1% 收利息， 则每次

47、的应还款是 3000 a12p1% = 266.55 北京大学数学科学学院金融数学系第 24 页 版权所有，翻版必究 因此， 所求应在 266.55 和 275.04 之间。 由此，可以推断出在第 4 次还款后余额第一次在 2000 元以下，第 9 次还款 后余额第一次在 1000 元以下。 设每次的还款额是 X 元。第四次还款后的余额为 B4= 2000 + 1000 (1 + 1%)4 (X (1000 1.5% + 1000 1.25%) s4p1% = 3152.27 4.0604X 第八次还款后的余额为 B8= 1000 + (B4 1000) (1 + 1.25%)4 (X 100

48、0 1.5%) s4p1.25% = 3323.05 8.34289X B8= Xa4p1.5%= 3.85438X 联立解得 X = 272.44 元 63证明等式， 并解释其含义： anp + i n1 i=0 antp = n. 证: 等式左边是一个 n 期的标准期末年金的初值和 n 个分别是 n,n 1,.,1 的 期末年金的和， 如图所示。 0123.7 111.1 iii.i . ii i 111.1 ni(n 1)i.i 可以对现金流重新划分， 如上所示。 考虑初始值为 n ， 利息为 i 的摊还表， 刚好如 上：第一行、 第二行分别是每次摊还的本金和利息。所以等式得证。 北京大

49、学数学科学学院金融数学系第 25 页 版权所有，翻版必究 64某遗产恰好可以以年利率 3.5%每年得到 10000 元，累计 10 年。已知在过去 的 5 年中按计划实施， 但是实际的年收益率为 5%。 问： 第 5 年底遗产本身多 收入多少利息。 解: 设遗产期初的现值为 X 。有: X = 10000 a10p3.5%= 83166.05 第 5 年底的遗产本身应收入的利息为: I = 3.5% 10000 (a10p + a9p + a8p + a7p + a6p ) = 11984.47 元 第 5 年底的遗产本身实际收入的利息为: I = 5% (B0+ B1+ B2+ B3+ B4

50、) = 5% (X+(1 + 5%)X 10000 + (1 + 5%)2X 10000 s2p5% + (1 + 5%)3X 10000 s3p5% + (1 + 5%)4X 10000 s4p5%) = 17720.93 元 第 5 年底多收入的利息为 17720.93 11984.47 = 5736.46 元 65某人在银行存入 10 年定期存款，计划 10 年底连本带利取出 10000 元，年利 率 5% 在第 5 年底银行下调利率为 4%。分别计算前 5 年和后 5 年每年的存 款额。 解: 设前 5 年和后 5 年每年的存款额分别为 R1,R2。 R1s10p5%= 10000 R

51、1s5p5%(1 + 4%)5+ R2s5p4%= 10000 北京大学数学科学学院金融数学系第 26 页 版权所有，翻版必究 解得: R1= 795.05 元 R2= 859.46 元 66某企业当前产品的月产量为 9000 个单位，单位售价为 85 元。现有一种新产 品开发计划：初始贷款 1500000 元（每月付利息 1.5%，本金 40 个月后一次 还清） ， 然后每月成本为 15816 元， 新产品的设计月产量为 12000 个单位。如 果该企业有能力以月利率 1%累计偿债基金。企业希望新产品月利润超过老 产品 30000 元， 且单位价格下降 X ， 计算 X 。 解： 有方程 900085+30000 = 12000(85X)15000001.5%15816 1500000 s40p1% 解得：X = 13 67年利