利息习题解答第二章d

1、版权所有，翻版必究 第二章习题答案 1某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元， 后十年每年底存款1000+X 元， 年利率7%。计算X 。 解：S = 1000s20p7%+ Xs10p7% X = 50000 1000s20p7% s10p7% = 651.72 2价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ， 则有 10000 = X + 250a48p1.5% 解得X = 1489.36 3 设有n年期期末年金， 其中年金金额为n， 实利率i =

2、1 n。 试计算该年金的现值。 解： PV=nanpi =n1 v n 1 n = (n + 1)nn2 nn+2 (n + 1)n 4已知： anp = X， a2np = Y 。试用X和Y 表示d 。 解： a2np = anp + anp (1 d)n则 d = 1 (Y X X ) 1 n 5已知： a7p = 5.58238,a11p = 7.88687,a18p = 10.82760。计算i。 解： a18p = a7p + a11p v7 解得i = 6.0% 6.证明： 1 1v10 = s10p +ap s10p 。 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页 版权所有，翻版必

3、究 证明： s10p + ap s10p = (1+i)101 i + 1 i (1+i)101 i = 1 1 v10 7已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元， 然后减为每次100元。 解： PV = 100a8p3%+ 100a20p3%= 2189.716 8某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然 后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。 解： 设每年退休金为X， 选择65岁年初为比较日 1000 s25p8%= X a15p7%

4、 解得X = 8101.65 9已知贴现率为10%， 计算 a8p 。 解： d = 10%， 则 i = 1 1d 1 = 1 9 a8p = (1 + i)1 v 8 i = 5.6953 10.求证： (1) anp = anp + 1 vn； (2) snp = snp 1 + (1 + i)n 并给出两等式的实际解释。 证明： (1) anp = 1vn d = 1vn i 1+i = 1vn i + 1 vn 所以 anp = anp + 1 vn (2) snp = (1+i)n1 d = (1+i)n1 i 1+i = (1+i)n1 i + (1 + i)n 1 所以 anp

5、 = snp 1 + (1 + i)n 北京大学数学科学学院金融数学系第 2 页 版权所有，翻版必究 12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。 解： PV = 100a49p1.5% 100a2p1.5%= 3256.88 AV = 100s49p1.5% 100s2p1.5%= 6959.37 13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第110年和第2130年中每 年1元， 在第1120年中每年2元；年金B在第110年和第2130年中每年付款金

6、额为Y ， 在第1120年中没有。已知： v10= 1 2， 计算Y 。 解： 因两种年金价值相等， 则有 a30pi+ a10pi v10= Y a30pi Y a10pi v10 所以Y = 3v102v30 1+v102v30 = 1.8 14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另 外， 递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。 解： 由题意知， 2a2npi+ 3anpi= 36 2anpi vn= 6 解得i = 8.33% 15.已知 a7p a11p = a3p + sXp aY p + sZp 。求X， Y和Z。 解： 由题意得 1

7、 v7 1 v11 = (1 + i)X v3 (1 + i)Z vY 解得 X = 4,Y = 7,Z = 4 16.化简a15p (1 + v15+ v30)。 解： a15p (1 + v15+ v30) = a45p 北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页 版权所有，翻版必究 17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一 次2000元， 半年结算名利率9%。 解： 年金在4月1日的价值为P = 1+4.5% 4.5% 2000 = 46444.44 ， 则 PV = P (1 + i)2+ 2 3 = 41300.657 18.某递延永久年金的买价为P， 实利

8、率i， 写出递延时间的表达式。 解： 设递延时间为t， 有 P = 1 i vt 解得t = lniP ln(1+i) 19.从现在开始每年初存入1000元， 一直进行20年。 从第三十年底开始每年领取一 定的金额X， 直至永远。计算X。 解： 设年实利率为i， 由两年金的现值相等， 有 1000 a20pi= X i v29 解得X = 1000(1 + i)30 (1 + i)10) 20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、 B、 C、 和D：前n年， A、 B和C三人 平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相 同。计算(1 + i)n。 解： 设遗产为，

9、则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值 为 i 3anpi ， 而D得到遗产的现值为vn。由题意得 1 vn 3 = vn 所以(1 + i)n= 4 21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二 个n年，C接受第三个n 年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49， 求B与D的份额之比。 北京大学数学科学学院金融数学系第 4 页 版权所有，翻版必究 解： 由题意知 PVC PVA = anp v2n anp = 0.49 那么 PVB PVD = anp vn 1 iv 3n = 0.61 22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年

10、底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。 解： 100anp4.5%v4 1000 解得 n = 17 列价值方程 100a16p4.5%+ Xv21 = 1000 解得X = 146.07 23.36年的期末年金每次4元， 另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果 以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍， 计算n。 解： 两年金现值相等， 则 4 a36pi= 5 18， 可知 v18= 0.25 由题意，(1 + i)n= 2解得 n = 9 24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月

11、后一 次还6000元。已知月结算名利率为12%， 计算k。 解： 由题意可得方程 100a60p1%= 6000(1 + i)k 解得k = 29 25.已知a2pi= 1.75， 求i。 解： 由题意得 1 v2= 1.75i 解得i = 9.38% 26.某人得到一万元人寿保险赔付。 如果购买10年期末年金可以每年得到1538元， 20年 的期末年金为每年1072元。计算年利率。 解： 北京大学数学科学学院金融数学系第 5 页 版权所有，翻版必究 27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分

12、别取出K元， 且第十年底的余额为一万元， 计算K 。 解： 由题意可得价值方程 10000 = 105Ka2p4%v3+ Ka2p4%+ 10000v10 则K = 1000010000v10 105a2p4%v3+a2p4%v5 = 979.94 28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i， 后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。 解： 选取第一次还款日为比较日， 有价值方程 P(1 + i) 1 2= X + 2Xa4pi + 2Xa5pj (1 + i)4 所以 X = P(1 + i) 1 2 1 + 2a4pi+ 2a5pj

13、 (1 + i)4 29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元， 共计8次。 解： 30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知 年利率为12%。 （缺命令） 解： PV = 4 400 + 4 600v5= 11466.14 31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现 值表达式。 解： 32.给出下面年金的现值：在第7、 11、 15、 19、 23和27年底支付一个货币单位。 解： PV = 1 s4pi a24pi v3= (1 + i)24 1 (1 + i)27(1 +

14、i)4 1 = a28p a4p s3p + s1p 北京大学数学科学学院金融数学系第 6 页 版权所有，翻版必究 33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末 年金代替， 半年换算名利率4%， 求R的表达式。 解： 设年实利率为i， 则 (1 + 2%)2= 1 + i。有题意得 750 i + 750 s20pi i = Ra30pi 解得R = 1114.77 34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91， 计算年利率。 解： 由题意知 1 is3pi = 125 91 解得i = 20% 35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等

15、价于每两年付款R元的永久期初年 金， 计算R。 解： 由题意得 20 = 1 d = R a2pi i 解得R = 1.95 36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延 时间。 解： 设贴现率为d， 则1 + i(2) 2 = 1 (1 d) 1 2 设递延时间为t， 由题意得 10000 = 2 500vt a(2) p 解得t = ln20 + ln(1 (1 d) 1 2) ln(1 d) 37. 计算： 3a(2) np = 2a(2) 2np = 45s(2) 1p ， 计算 i 。 解： 3 i i(2) anpi= 2 i i2 anpi=

16、45 i i2 s1pi 解得： vn= 1 2,i = 1 30。 北京大学数学科学学院金融数学系第 7 页 版权所有，翻版必究 38.已知i(4)= 16%。计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元， 共12年。 （问题） 解： 39.已知：t = 1 1+t。求 anp 的表达式。 解： anp = n 0 e Rt 0 sdsdt = ln(1 + n) 40.已知一年内的连续年金函数为常数1， 计算时刻t， 使得只要在该时刻一次性支 付一个货币单位， 则两种年金的现值相等。 解： 第一种年金的现值为 1 0 vtdt = 1 e 第二种年金的现值为et， 则 1 e = et

17、 所以t = 1 + 1 ln i 41.已知： = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现 值。 （结果和李凌飞的不同） 解： 设季度实利率为i。因 a(t) = et， 则 e 1 4= (1 + i) 所以 PV = 100 a80pi= 100(1 + i)1 v 80 i = 4030.53 42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定 速连续地从基金中取钱， 该基金可以维持多少时间？ 解： 设年实利率为i， 则 i = e 1 设基金可维持t年， 由两现值相等得 40000 = 2400atpi 解得t = 28

18、北京大学数学科学学院金融数学系第 8 页 版权所有，翻版必究 43.已知某永久期末年金的金额为： 1， 3， 5， .。另外， 第6次和第7次付款的现值 相等， 计算该永久年金的现值。 解： 由题意： 11 (1+i)6 = 13 (1+i)7 i = 2 11 PV = v + 3v2+ + (2n 1)vn+ = v1 + PV + 2(v + v2+ ) = v(1 + PV + 2 v 1v) 解得:PV = 66 44.给出现值表达式Aanp + B(Da)n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如 下25年递减年金的现值：首次100元， 然后每次减少3元。 解： 年金序列： A +

19、nB,A + (n 1)B,.,A + 2B,A + B 所求为25a25p + 3(Da)25| 45. 某期末年金（半年一次）为：800,750,700,.,350。已知半年结算名利率 为16。若记：A = a10p8%， 试用A表示这个年金的现值。 解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减， 故有： 300a10p8%+ 500(Da)10|8%= 300A + 2 (10 A) i(2) = 6250 325A 46. 年利率8的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5。计算第 十年底的余额。 解： 由题意： AV =1000s5p8%(1 + 8%)6+

20、 (1000 1.05 1.085+ 1000 1.052 1.084+ + 1000 1.055 1.08) =1000(1 + 8%) 5 1 8% 1.086+ 1000 1.05 1.085 1 (1.05 1.08) 5 1 1.05 1.08 =16606.72 47. 已知永久年金的方式为： 第5、 6年底各100元； 第7、 8年底各200元， 第9、 10年 底各300元， 依此类推。证明其现值为: 100 v4 i vd 北京大学数学科学学院金融数学系第 9 页 版权所有，翻版必究 解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久 年金.。从而

21、 PV =v4 100 i 1 a2pi 1 i = 100v4 1 i 1 1 v2 = 100 v4 i vd 48. 十年期年金： 每年的1月1日100元； 4月1日200元； 7月1日300元； 10月1日400元。 证明其现值为： 1600 a10p (I(4) a)(4) 1| 元 证： 首先把一年四次的付款折到年初： m = 4,n = 1,R = 100m2= 1600 从而每年初当年的年金现值： 1600(I(4) a)(4) 1| 元 再贴现到开始时： 1600 a10p (I(4) a)(4) 1| 元 49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3，

22、年利 率8， 计算现值。 解： 半年的实利率： j = (1 + 8%) 1 2 1 = 3.923% PV=1 + 1.03 1 + j + 1.032 (1 + j)2 + =(1 1.03 1 + j )1 =112.59 50. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。 证明当前的准备金为： 6000 a4p a(12) 9/12| 证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12,n = 9/12,R = 500m = 6000 从而 每年初当年的年金现值： 6000 a(12) 9/12| 贴现到当前： 6000 a4p a(12) 9/12| 北京

23、大学数学科学学院金融数学系第 10 页 版权所有，翻版必究 51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三 个k 年每年底还3R；依此类推。给出现值表达式。 解： 把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n = 0,1,2,): 每个年金的值为 Rap 在分散在每个k年的区段里： Ra| ak| 再按标准永久年金求现值： R(a|)2 ak| 52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款 从第三年底开始的永久年金：1,2,3,的现值。计算贴现率。 解： 由题意： X = 1 i 1 1+i 20X = (1 i + 1

24、i2) 1 (1+i)2 解得： i = 0.05 即：d = i 1+i = 0.04762 53. 四年一次的永久年金：首次1元， 每次增加5元， v4= 0.75， 计算现值。与原答 案有出入 解： (期初年金) PV = 1 + 6v4+ 11v9+ = i=1 (5n 4)v(4n4)= 5 (1 v4)2 4 1 v4 = 64 (期末年金) PV = v + 6v5+ 11v10 + = v PV = 59.5587 54. 永久连续年金的年金函数为:(1 + k)t，年利率i，如果：0 k i ，计算该年 金现值。与原答案有出入 解： 由于0 k q i不存在,p q (2)令

25、f(i) = p i q i q i2 f 0(i) = p i2 + q i2 + 2 q i3 = 0 解得： i = 2q pq p q 58. 某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单 价增加X。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年 增4%的幅度增加， 要使两种产品无差异的X为多少？(缺少利率?下面的计算年利 率i = 5%)(与原答案有出入) 解： 用9年一周期的产品， 则有支付的现值为： PV1= 2 1 + (1.04 1.05) 9 + (1.04 1.05) 18 + (1.04 1.05) 27 用15年一周期的产品，

26、则有支付的现值为： PV2= (2 + X) 1 + (1.04 1.05) 15 + (1.04 1.05) 30 由PV1= PV2有：X = 0.6992 59. 计算m + n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%，后n年年利 率11%， smp7%= 34,snp11%= 128。 解： 由snp 的表达式有：(1 + 0.11)n= 0.11snp11%+ 1 AV=smp7% (1 + 0.11)n+ snp11% =smp7% (0.11snp11%+ 1) + snp11% =640.72 北京大学数学科学学院金融数学系第 13 页 版权所有，翻版必究 60. 甲持有

27、A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每 年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所 有的股票出售， 假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B股 票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也 是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同， 分别对n = 15,20两种情况计算乙的股票出售价格。 解： 设X为买价， 有价值方程： 0.4s10p6%+ 2 = 0.8sn10|6%+ X(1 + 0.06)(n10) 从而有： X =

28、 (0.4s10p6%+ 2 0.8sn10|6%)(1 + 0.06)(n10) 解得： X = 5.22n = 15 2.48n = 20 61. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半 年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐 款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖 金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。 解： 由题意： AV = 100000(1+4%)20+5000s20p4% s2p4% 12000(1+4%)s20p4% s2p4% = 109926

29、.021 62. 已知贷款L经过N（偶数）次、 每次K元还清， 利率i 。如果将还贷款次数减少 一半， 记每次的还款为K1， 试比较K1与2K 的大小。 解： 由题意： K1ampi= Ka2mpi K1= K1 + 1 (1 + i)m v N 2 即：M n， 证明：L = anp 在1 i 1上有唯一解。 北京大学数学科学学院金融数学系第 15 页 版权所有，翻版必究 证： (斯图姆判别？) 考虑如下现金流：初始时刻投入L,而后的n年每年末得到回 报1,从而此投资的内部收益率i满足 L = anpi 由于现金流只改变一次方向，从而由笛卡儿符号法则有，在1 i 0,n 0时， 有： (Ia

30、)npi (n + 1)/2anpi (Da)npi 证： 由69题有： (Ia)npi+ (Da)npi/2 = (n + 1)anpi /2从而， 只要证： (Ia)npi (Da)npi() 注意到： (Da)npi(Ia)npi (n1),(n3), ,(n3),(n1) 这年金 前后对称， 而后面的贴现因子比较大， 从而有()成立。 71. 某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划,当时年收入为18,000元，然后 每年以4的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行)。1)分别对以下两种退 休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年 平均工资的70%； 年退

31、休金为年平均工资的2.5%再乘以工作年限。 2如果企业和个人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金， 试对以上两种 退休金方式计算退休金的领取年限。 北京大学数学科学学院金融数学系第 16 页 版权所有，翻版必究 解： 1)平均工资： $ = 18000(1 + 1.04 + + 1.0436)/37 = 39747.04 退休前一年的工资： 18000 (1 + 0.04)36= 73870.79 法一： 年退休金：0.7$ = 27822.93,比例为：37.66% 法二： 年退休金：0.25$ 37 = 36766.01,比例为：49.77% 2)企业和个人各存3%则一共存6%,从而

32、这笔基金的终值为： P = 18000 6% 36 t=0 (1 + 4%)t(1 + 6%)36t= 235871.7 设年退休金为R,则有： R anp6% P 解得： n = 12第一种方式 8第二种方式 72.已知永久期初年金为： 首次1元； 第二年初1+2元； 第三年初1+2+3元； 依此 类推；第n年初1 + 2 + + n元。证明该年金的现值为: ap(I a)p。 解： 进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两 份标准永久年金，,从第n年出发的n份标准永久年金。分别求各个子 现金流的现值得到如下的现金流： ap,2 ap, ,n ap, 其现值即为原年金

33、的现值： ap(I a)p。 73.已知连续年金函数为f(t)， 0时刻的年金为F0， 利息力， 如果用Ft表示时刻t的 年金终值， 证明: dFt dt = Ft+ f(t) 证： 由定义 Ft= t 0 f(s)e(ts)ds = et t 0 f(s)es)ds dFt dt = et t 0 f(s)esds + f(t) = Ft+ f(t) 74. A从B处借得10,000元，年利率4%，计划分40次按季度等额偿还。在第6年 底，B希望立即收回所有借款，因此将今后接受还款的权利转卖给C，转卖价格 使C今后几年的年收益率将达到6%， 计算转卖价格。 北京大学数学科学学院金融数学系第 17 页 版权所有，翻版必究 解： A从B借款：季度实利率为i = (1 + 0.04)1/4 1 10000 = Ra40pi B把后16次的还款卖给C： 季度实利率为：i 0 = (1 + 0.06)1/4 1 P = Ra40|i0= 10000 a40|i0 a40pi 解得：