关于热气球升空物理问题的探讨(1)

1、第1 9卷 Vd . 19 第2 N o 3期 广 东教育 学院学 报 Jo u ma lo fG u a n gd o ng Ed u ea t io n I n stitute 1999 年 5月 M ay 1999 关 于热 . 气球升空物 理问题的探讨 江涛 摘要 用质点力学和热力学原 理分析气球升空的静力学平衡问题 , 例如漂浮条件 , 气 球上升的加速度和结 构系数 , 上升平衡高度等 , 然后对气球 在 高空漂浮时 的动力学过程进行 动态分析 , 求得了气球在 高空阻尼运动时的具体结果 , 并作了具体分析 、 讨论 . 关键词气球漂 浮条件 结构 系数 动态分析 振动 引言 长期

2、以来 , 热气 球升空是 人们 很感 兴趣的事 , 许 多人从 事 热 气 球 升空 的实 验 , 用以载 人 漂浮升 空 , 高空作业 , 高空探测 , 气象研究 , 经济和科学 联 系的高空作业以及军 事方面应 用 ; 但很 少有人 运用综合的物 理 知识 , 尤其是从普通 物理 力学和热 力 学的角度 来讨论气球 在升空过程中 , 所遵循的力学 原理和运 动 过程 . 这使关于热 气 球 升空问题的实际应用缺 乏依据和存 在缺 陷 . 因此 , 本 文考 虑一 种气 球模型 , 从普通 物 理 力 学和热力 学 的 角度 , 首 先对 气球 升空进 行静 力 学分析 , 例 如上升的漂

3、浮 条 件 , 气球上 升的加 速 度和结构 系 数 a 以及 气球上升的平衡高度 . 最 后我们对气球上升 动 力 学 问题作 动 态分析和讨论 , 解答了 高空气球 的实际阻尼运 动 问题 . 1 气球模型 外界 T l P l P, 载载人容 器器 空气调节器 加沮喷火调节器 假设气球 的 材 料 为 不可膨胀 , 气球 为不 泄气 的特制气 袋 . 图 1所 示 , 吊篮 、 气 袋和气 球载 重的总质 量用 m 。 表示 . 并 设气 球 外空 气的压强 、密度、 温 度分别 为 尸1 、 尸1 、 Tl , 气球 内气 体的压强 、密度、 温度分别为 尸2 、 尸2 、 几 , 气

4、球 的体积用 偏表示 . 2 气球的静力学分析 2 . 1 漂浮条件 气球开始 上升 时是加速 运动 , 升到某一高度后 , 处于漂浮状态 , 这 时气球受到平衡力 的作用 . 即 F浮 = m 峪 + M g (l) 其 中M考 二 p : 愉 为气球内气体的重 量 . 根据阿基米德定律 , (l )式可 写成 PI V B g = m B g + p Z V B g , 即 尸1 =m 。/ V B + 尸: (2) 从(2)式可行 , 气球外 、 内气体密度关系有 : 第 3 期江涛 : 关于热气球升 空物 理问题的探讨 PI 尸2 2 . 2 气球的结构系数 a (3) 要使气球在上

5、升和漂浮过程 中不破裂 , 须考虑内外 压力平衡问题 , 由于气球外壳有 一 定的 防破性 , 设它的结构系数为 a , 为保持球壳平衡稳定 , 必 须满足 a 尸; 二 尸2 , 且由理 想气 体状 态方程得 尸 = 弊 T = 丑。: , 因而有 V尸 尸 叩 , TI = 尸2T 2 (4) 由漂 浮条 件知 。, 。2 , 根据 气体 分 子 运 动论 。= n J n , 得 几 ,。 2 , 又 尸 = n k产 , 若 P l 二 尸: , 即 乃 T: . 这样 尸: 会 随 几 升高可能大于 尸1 , 导致爆破气 球 , 反之 尸: 过小 , 则 外界 会压破气球 , 为保持

6、球壳稳 定 , (4)式必 须满 足 . a 的取值范 围从下文 的讨论中给 出 . 2 . 3 气球上升 加速 度的确定 在不考 虑空气阻力 时 , 假 设 将气球 加 热 到某 一 温度尸(相 对 稳定温 度 ) , 这样 气 球 内 气体 密度 变 为尸 , 气球 受合力 F 。 为 F 。 二 (夕 1一 川)、伪 g 一 m R g 由(4)式 得 _ T : 、 户五=咬1 一“ 下少自 阮 一 m (5) 根据牛顿 第二 运动 定 律 , 可得出上升 加速 度 为 a二 , , , 二 , , 11 、 卫1旦 _ 、i一 a 币 / g 一 _ T / g f l 犷B (6)

7、 +n 乙B m B 气不 下 落 T l T T l 一 尸 显然 , 获得 a O的条件 为 : /OC , . .I J ( 尹 一 T l Tl 、 l 一a下 二;) 1 - 矶B P l偏 O 所以 T 1 Ia , 不不 1 由于T ) Tl , 当气球处于临界温 度 时 , 尸 二 T l , 所以 尹/T I二 1 , 由 此得尹/ T;任 1 , 在尹/ T l 的这 个取值范 围 内要保证 a 尹/T l 在任何情况下恒成立 , 取 a 1 是 必 须 的 . T l m 。 、 一 一 - - 一 “ 并 由(7 )式 知 , a 篇 (1 一 二架) 显然是满足 的

8、. ” 一 ” 一 一 尹 一、一 P l咋 一 一 一 现举例计算气球 上升 的加速度 . 设T ;= 30 0K , 尹 = 33 0K , 饰 = 20 0 时 , : ,二 1 . Zk岁耐 , m 。 = 4 ookg , 由(7)式求得 a 的取值范 围 : a( 0 . 916 取 a二0 . 6代人(6 )式 , 得 :a二 3 . %而护 , 这 个加速度是比较客观 的 . 2 . 4 在静态时 , 热气球上升高度 由于 在 重 力场中 空气 分子 密度按高 度(H) 分布 , 根 据玻耳兹 曼分布 律川 :n= n 0 。 一 酬/ k 厂 , n 。 为参考 面上 空气分

9、子数密度 , m 为 空气分子 的 质量 , 碗为玻耳兹曼常数 . 所以气球升至高度H , 此时球外 空气密度为 : 尸。 =尸 。e 一 刚 /kT (9) 广东教育学院学报 第 19 卷 、, 护、 ,尹 0 l ,卫,. 二 了 、声r 胜、 根据等温气压分式 : p H二 P o e 一 1 1 酬/丫 由漂 浮条件有 : 尸 。二 衬 十 m 。/ 蛛 = (洲珠 +m , ) / 凡 , 代人 (4 )得 刀ZB 内 二 一_ 一了万 咋弋l 一a 前) 1 因此 , 处于高度 为 H 的气球 除r满足漂 浮 条 件 外 , 还要求满 足压力 平衡条件 (4 )与 (10) , 这

10、是气 球漂浮必不 可少的条 件 . 由物 态 方程 得 kbT R _左。I 厂二P 万1 二 尸万 - 严 矛 , 再考虑 到 (10 )式可得 、 、, .、 、 苦 , 内j .且 .二 /.t 、了.、 尸H 二 尸解 一 洲/ I . 假定 H 处的温 度与地面相差不大 , 由(9) , (10 )式得 完 = 咒 , 所以 。一户0一 尸。“H/ l 0 当 H = O时 , 尸。 二尸, , P 0 = 尸, , 所以 尸。 二p ,e 一 l l 州/ “ 1 由( l 3) 式得 : H = 五 l 。 鱼 , 结合( l l)式 得 尸19尸H 尸 . _ H =一二 一

11、In 。!、( 卜 令 (14) 尸!g 刀王B 这是气球 升空静态 高度公 式 , 式 中 尸l 、 户l 、 T; 是H = O时 外界状态参量 . 取 T, 二 30 0K , 尸 = 33 0K , 卜 *二 20 0 心 , m 。二 4 0 0 kg , 尸: = ! . 0 1 3 / !护P 。, ( ) != 1 . 2 k酬衬 , a二 0 . 6 , 代人 (1 6)式可算得气球 升空的高度( 静态 ) : H = 8鼠3 . 4m . 3 气球的动态分析 3 . 1 不考虑空气阻 力的情形 气球在上 升 过程 中运 动 方程 为 : (、 , + , :。)袋二 ( ,

12、 一。 孕 )。 , 、 一。;、 UL l (15) 兀一 尸 其中M 为气 球 内气体 的 质量 , 把 。 二 二 尸1。 一 / 丫代人 上式 并 令户 。 = (l 一 式 为 : 尸l , 则(15) M , 一 )弃 = 丙 一峪 / 丫 、一、 由 图2知见二 x 。+二 , x。( 即上 文 中 的H)是一个常 量 此 : (16) . 因 T. . X (、 , 一 )豁 = 、 。一 一 ,/左 二 、一醋 (17) 二x。, 黑创几b 根据泰勒级数展开得 : e 一 , / k产二l - 写 为 : 刀琴阵 kT , 所以(1 7) 式可改 图2 (, , + 。) 凳

13、 一 户 。、e 一 k l ,了(1一 臀 ) 一 。 UL路b j (18) 第 3期 江涛 : 关于热气球升空物理问题的探讨 所以在无阻 尼情况下 , 气球升 空 的运 动方程为 : 会 A x 了 = 0 其中 A 二 (户 。肠e一 ; n g x 八 了 一 m 。) (M , + m 。)koT 7 二 M + m 召 根据解微分方程方法 , 求得(19 ) 式 的通 解 为 : 二= e 1co s 而 t+ eZsi n 瓜 , t+ fn _ U _。一阴gt /气 了_ _ 、 . 吞 . 7 , 尸U “ 七 一夕,仃/J 白通 户 。偏呷e一 ”睽了丫 (19) (2

14、0) 由初始条件 , 当 : 二 O时 , 、= 0 , 奎 = v 0 , 求得 U L C I = (m 。一 p 。偏e 一 哪产心瓦T 户 。偏二e 一 哪产, J T c := V 0 / . / 一 万 所以 一 C l 二V n一1 / _ 。 F六 一 e o s丫A t+ 一 二 二二二二二 Sln /A t %二叮鱿+ 了 。: . 当 丫A召 + 瑞 一 鱿 l , L J 1 . 护 l L 、 _ 气 J (20 ) 令 t g沪 二 c , 八 / 肠 , 二 宁示了 S( 八 “ 甲 一 “ (2 1) (21 )式 表 明气球 升 空达某一高度 H 后 , 气球

15、围绕平衡位置作周期性 的振 动 据前例的数据 , 算 得 C ; 可略去 不计 . 。1 一 29 . 4m , 振 巾 司不譬 二3Om , 因为3Om86 43 . 3m , 所以 根据 二二x。+x , 因此气球 到 达高度表达式 为 : 、 =二。 叼不李 51(瓜 一 * , 由(22)式 知 , 在无阻尼情形 下 , 气球上 升 到 一定高度 (2 2) x 0时 , 在 满 足 漂 浮条件下 , 作以A 。二 八丁又 Z七 了十 一丁 VA 为振幅 , 以闷为 圆频率的周期振动 . 如图3 、 图4示 又(m) 又(m) t(s ) t(s ) 图3 3 . 2 考虑空气阻力时

16、, 气球的运动方程 图4 广东教育学院学报 第 19 卷 因为 阻力是与速 度 大 刁 、成正 比的 . 设阻力 为, =一 风 瓮 = 、 瓮 , 其中、为阻 力系 数 , 负 号表 示阻 力方 向和气球 位移方 向相反 . 所以(1 7)式修改 为 : 、 .少 、 、产 ,、 4 , 今 了t、 了r、 、(、 , 一 ) 异 = 、 。、 -睽。/ 、一 , 一心 一 凡 瓮 根据解微 分 方程 方法可得 e 一 / , 2 x= 万人 D丁+ 口J、 (V 0 。, + 6 ,n )2 田2 一 nZ sin (丫。 ,一。, + 。) 十 傀 其 中 b 二 尸卫些 1三竺 竺丫

17、厂一 卫圣些 )丑 (M + n 。 ) 凡 2(M , + m 。) t g中 b l 二一 b , 田 61 丫。 ,一。, 一 V o o Z+ 6 , n _ 内 蛛呷Ze 一 ) l o p产产 一 (M + m 。)kbT 二 =二。+二 , (29)式 中书 x 。, 傀 可以忽略不计 , 可得气球 上升高度 : e x二xo+ 一丁 , b (V o o Z+ 乙. n ) 2 扩 一 孟 厂 s i n (护了丁护 + 引 (25) . _ _ ._ _ 、 . _ , 二 _ . _ _, 。一I t t 几爪丽 不 石 乏 丁 . 瓦万介 、 _ _ 二_ . - - 一

18、 、: 由(2 5)式川知 , 止弦振动的振幅是 二一孔 片 + 下 -一一 , 这是一种振幅随 e 一 “ 衰佩阴 田 、田 - 一n - 弱 阻尼 的周期振 动 . 振 动 的圆频 率 为丫石 可二蕊厄 . 从 (2 5)式可知 , 气球 升到 高度 二。 时 , 才发 生 弱阻尼 的周 期 运 动 . 它 的振 动图像如 图4所示 . 显 然不存在 。2一 矛 (2) 气球的结构 系数 a l , 且满足 a T l , 尹又不能太大 于T , . (4 )气球上升高度x 0与 a 、 蛛 密 切相关 , 当 a 越 小 、 饰 越大 , 气球升 得 越高 , 反之 升 得越 低 . (5