关于矩阵的秩的例题教学_戴红霞

1、 收稿日期 20050222 作者简介 戴红霞( 1977 ) , 女, 江苏泰兴人, 南京审计学院应用数学系助教, 主要从事线性代数的教学与研究。 第 2 卷第 2 期 2005 年 5 月 南 京 审 计 学 院 学 报 Journal of Nanjing Audit University Vol . 2, No . 2 May , 2005 关于矩阵的秩的例题教学 戴红霞 ( 南京审计学院 应用数学系, 江苏 南京210029) 摘要 本文通过三个典型例题的具体讲解, 加深学生对抽象概念“矩阵的秩”的理解和掌握。 关键词 矩阵的秩; 子式; 行( 列) 秩 中图分类号 O151. 21

2、 文献标识码 A 文章编号 16728750( 2005) 02007603 在线性代数中, 矩阵的秩是个比较抽象的概念 , 多数学生仅仅只是会背定义, 并不能深刻地理解其 定义的内涵,更谈不上在具体题目中能灵活运用这 个数学概念。本文从对例题教学的设计与应用角度 来探讨如何加深学生对矩阵的秩的理解和掌握。 一、关于矩阵的秩的定义与定理 在文献 1 中关于矩阵的秩的定义和定理如下 : 定义 1设 A 为 m n 矩阵, 如果 A 中不为零 的子式最高阶数为r ,即存在 r 阶子式不为零, 而任 何 r+1 阶子式皆为零 ,则称 r 为矩阵 A 的秩, 记作 秩( A) =r 或r( A) =

3、r 。当 A =0 时,规定 r( A) = 0。 定义 2矩阵 A 的行( 列) 向量组的秩称为矩阵 A 的行( 列) 秩。 定理 1矩阵 A 的秩为r 的充分必要条件是 A 的行( 列) 秩为 r 。 二、矩阵的秩的例题教学过程设计 例 1 讨论 a, b 取何值时 ,下列方程组有解, 并 求其解。 ax1+ bx2+ 2x3= 1 ( b-1) x2+x3=0 ax1+ bx2+ ( 1 - b) x3=3-2b 对于判断线性方程组是否有解的题型, 学生基 本都会按部就班地写出如下步骤 : 先写出方程组的增广矩阵, 然后对增广矩阵作 初等行变换 ,得: ab21 0b-110 ab1-b

4、3-2b ab1-b3-2b ab21 0b-110 00b+12( b-1) 当 a 0 时, 阶梯形矩阵为 0b21 0b- 110 00b+ 12( b-1) 到这一步 ,大多数学生会认为系数矩阵的秩是 2, 增广矩阵的秩是 3, 因此当 a =0 时方程组无解。 而事实上这是一个含参数的矩阵, 并不是看非零行 或列的个数就能判断矩阵的秩。 此时可以通过提问以下四个问题来启发学生的 思维: 问题一 : 判断线性方程组是否有解的根据是 什么? 学生基本都能回答 : 看系数矩阵 A 的秩与增广 矩阵( A , b) 的秩是否相等 。 76 问题二: r( A) 是多少? 对于这个问题, 很多

5、学生看到矩阵 A 有一列元 素为零,于是会回答是 r( A) =2 。此时追问一定是 2吗 ? 提醒学生看矩阵的秩的定义 1,学生会反应过 来,因为是含参数矩阵,并不能确定是否一定有某个 二阶子式不为零 ,因此 r( A) 也有可能是 1。接着总 结一下,即 1 r( A) 2 。 问题三: r( A , b) 是多少 ? 有了第二个问题的铺垫,大多学生会立刻回答 1 r( A, b) 3。再问此取值范围能进一步缩小吗? 如果 r( A, b) = 1,则意味着什么? 再次提醒学生看定 义1,学生会很快回答: r( A, b) =1 意味着增广矩阵 ( A , b) 的所有二阶子式为零。再问增

6、广矩阵( A , b) 的所有二阶子式真的都为零吗? 你能确定哪个二阶 子式的值? 引导学生注意到二阶子式 21 10 =-1 0,故 r( A , b) 2,总结起来,即 2 r( A , b) 3 问题四: 要使得方程组有解, 必须 r( A) =r( A , b) =2,怎样才能保证 r( A , b) =2? 要使得 r( A , b) = 2 ,则要求增广矩阵( A , b) 的 四个三阶子式全为零 ,因为第一列元素为零, 所以含 第一列的三个三阶子式皆为零 , 不含第一列元素的 三阶子式为 b21 b- 110 0b+12( b- 1) = ( b-1) ( 5 - b) 根据(

7、b -1) ( 5 -b) 是否等于零分三种情况讨论 ( 1) b= 1 ( 2) b= 5 ( 3) b1且 b5 本题的讨论比较复杂, 如果不小心就会漏掉一 部分 。但如何始终抓住线性方程组是否有解的根据 来讨论就显得很有条理。因为增广矩阵是含参数矩 阵,判断 r( A) 与 r( A , b) 应该严格按照定义 1 来讨 论。通过这个例题 ,学生不仅能够深刻地理解矩阵 的秩这个抽象的定义, 而且对含参数线性方程组是 否有解这类题型也有了系统的掌握 。 对于用矩阵的行秩或列秩判断矩阵的秩, 学生 大多只会对数字矩阵进行初等变换, 由非零行( 列) 的个数得出矩阵的秩 。但对于抽象矩阵的秩学

8、生却 很难想到通过行( 列) 秩得出矩阵的铁。下面以一道 证明题为例。 例 2证明: 若 A 为 m n 矩阵 , B 为 n s 矩 阵,且 AB =0,则 r( A) +r( B) n 学生看到此题,不知从何处下手, 因为条件只有 AB = 0, A , B 是抽象矩阵, 他们想的是把 r( A) 与 r( B) 具体求出来,于是钻进求r( A) 与r( B) 的死胡同。 这时可以提问这样几个问题 : 问题一 : 你认为这么少的已知条件能求出 r( A) 与 r( B) 的具体值吗 ? 问题二 : 如果不能同时求r( A) 与r( B) ,不妨固定 其中一个( 设 r( A) = r) ,

9、此时只要证明 r( B) n- r。 问题三 : 看到 n - r ,你能联想到什么知识? 学生一般由n - r 想到线性方程组的基础解系这 个知识点,再问哪个线性方程组? 而线性方程组 Ax = 0中的 x 是 n 维列向量,已知条件是 AB =0, 且 B 为 n s矩阵,故把 B 按列分块为 B = ( b1, b2, , bs) ,按 照定理1, r( B) 就等于向量组b1, b2, , bs的秩。 具体求解如下 : 设 r( A) = r ,由 AB =0,得 A( b1, b2, , bs) = ( Ab1, Ab2, , Abs) =0 ,即 Abi=0( i =1, 2 ,

10、, s) ,所以 bi( i = 1, 2, , s) 满足线性方程组 Ax =0 由齐次线性方程组解的结构定理, 线性方程组 Ax =0的基础解系由 n-r 个线性无关的解向量构 成 ,向量组b1, b2, , bs只是Ax =0 的解空间的一 个子集 ,所以 r( b1, b2, bs)n -r, 即 r( B)n -r, 故r( A) +r( B) r+ ( n-r) = n 通过例题 2使学生体会到定理 2 的作用不仅仅 局限于数字矩阵, 实际上在抽象矩阵的秩中也经常 用到。另外 ,使学生进一步掌握 ; 矩阵就是行( 列) 向 量构成的向量组 ,矩阵的秩就是行( 列) 秩 。例题 2

11、的结论应用很广泛, 常用于证明关于矩阵的秩的其 他不等式。 下面再以例题 3 综合运用定义 1、定理 1 及例 题 2。 例 3设 A 为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵 ,证明: 秩( A ) = n秩( A) =n 1秩( A) =n-1 0秩( A) n-1 1. 对于秩( A)=n 的情形, 学生大都能自己 解决: 由秩( A)=n 知 A 可逆, A 0, 又由 AA = A E 知 A 也可逆 ,故秩( A) =n 2. 对于秩( A) n - 1 的情形 ,可通过启发学生 回答下列两个问题得到解决 : ( 1)由矩阵秩的定义一, 秩( A)n -1 说明 什么? ( A 的所有n -

12、1 阶子式皆为零) ( 2)伴随矩阵 A 的无素与 A 的子式是什么 77 关系 ? ( A的每个元素对应 A 的一个n - 1 阶子式) 由秩( A) n - 1 知, A 的所有n -1 阶子式都是 零,即 A 的每个元素都是 0 ,故 A是零矩阵, 所以 秩( A ) =0 3. 对于秩( A)=n -1 的情形 , 由上面的启发 , 学生很快就能反应出秩( A) 1 ,此时提问 ( 1)在已知( A ) 1 的情况下 ,通常怎么证明 秩( A ) =1? 答: 只要证明秩( A ) 1即可。 ( 2)注意到秩( A) =n-1,能否利用例 2 的结论 证明秩( A ) 1? 因为秩(

13、A) =n-1,故 A =0,而 AA = A E = 0, 由第二题结论知, 秩( A)+秩( A)n, 又秩 ( A) = n - 1, 得秩( A ) 1,综合起来即秩( A) =1 通过例题 3 使学生知道求矩阵的秩有两种方 法: 一是通过检验各阶子式是否为 0 ; 二是通过行 ( 列) 秩 ,但这两种方法并不是孤立的 ,在很多时候需 要综合运用两种方法。 线性代数中有很多抽象的定义与定理, 很多学生 只是机械地模仿使用,实际并不能深刻理解定义与定 理的具体内涵,当题目有些变化就会让他们不知所措。 所以教师可以通过典型的例题来解释这些难懂的知识 点,使学生在运用中加深对难点的理解和把握

14、。 参考文献 1 赵树 源. 线 性 代数 M . 北 京: 中 国 人 民大 学 出 版 社, 2003. 2 彭建华. 线性代数典型题解析及自测试题 M . 西安: 西 北工业大学出版社, 2001. 3 陈文灯, 黄先开. 数学题型集粹与练习题集( 经济类) M . 北京: 世界图书出版公司, 2002. 责任编辑 : 杨凤春 ( 上接第 73 页) 三、BBM 方程( 1. 1) 的精确解 根据 BBM 方程( 1 . 3) 的精确解表示定理和推 论,以及 BBM 方程( 1 . 1) 和 BBM 方程( 1. 3) 变换关 系,得到 定理 3. 1 BBM 方程( 1. 1) 具有一

15、类精确解: u =12 pqe 2r+ 2qt+2px ( e r+qt+px +s) 2- 12 pqe r+qt+px ( e r+ qt+px +s) +a, p = a 4q2 +a2 2 2q ( 3. 1) 其中 a , q( 0) , r , s为任意常数。 容易用 Mathematica 验证( 3. 3) 满足 BBM 方 程( 1 . 1) 。事实上, 将( 3. 1) 的第一式代入 BBM 方 程( 1 . 1) , 用 Mathematica 进行简化计算得到 12s pqe1+qt+px( er+ qt+px-s) ( q -p2q +ap ) ( er+ qt +

16、px+s) 3=0 由此得到 q -p2q +qp =0 , 从而得到( 3 . 1) 的第 二式 。 特别地, 对 a=0, q=1, r =0, s=1 得到 p = 1 ,于是有 推论 3. 2 BBM 方程( 1. 1) 有两个特解 u1= 12 e2t+ 2x/ ( e t+x/ +1)2 - 12 et+x/ ( e t+x/ +1) =- 12 et+ x/ ( 1 +e t+x/ ) 2 ( 3. 2) u2= -12 e 2t- 2x/ ( et-x/ +1) 2 + 12 e t-x/ ( et-x/ +1) =- 12 e t+x/ ( et+e x/ ) 2 ( 3.

17、3) 参考文献 1 Benjamin TB. , Bona JL. , Mahony JJ. Model Equations for Long Waves in Nonlinear Dispersive Systems J .Philos. Tran. R. Soc. London Ser. A , 1972, 272: 47 78. 2 戴世强.若干强非线性问题的近似解析解 J . 中国科学 A 辑, 1990,( 2): 153 162. 3 张卫国, 王明亮. B-BBM 方程的一类准确行波解及其结 构 J .数学物理学报, 1992, ( 3) : 325 331. 4 Wang ML.Exact Solutions for a Compound KdV -Bergurs Equation J . Physics Lett.A, 1996, 213: 279 287. 5 张宝善.Theoretical proof of Taylor s expansion to dis- persive relation with small n wave -n