北京市朝阳区六校联考2019-2020学年高三年级四月份测试--数学A答案

1、高三数学参考答案 第 1 页（共 7 页） 20192020 学年度学年度高三年级四月份高三年级四月份测试题测试题 数学数学 A 参考答案参考答案 2020.4 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）A （2）C （3）C （4）B （5）D （6）D （7）D （8）B （9）C （10）A 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题（共二、填空

2、题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） （11）80 （12）4， 34 i 2525 （13） 1* 2() n n an N（答案不唯一） （14）21 （15） 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16）（本小题 13 分） 解： （） 因为 ( )3sin22cos()cos() 424 f xxxx 3sin22sin()cos() 44 xxx 3sin2sin(2) 2 xx 3sin2cos2xx 31 2(sin2cos2 ) 22

3、 xx 2sin(2) 6 x， 3 分 （另解： ( )3sin22(cos cossin sin)(cos cossin sin) 4444 f xxxxxx 2222 3sin22(cossin )(cossin ) 2222 xxxxx 22 3sin2(cossin)3sin2cos2xxxxx 31 2(sin2cos2 )2sin(2) 226 xxx， 3 分 所以 22 2 T . 4 分 由 2 22 , 262 kxkkZ，得 , 63 kxkkZ. 故( )f x的单调递增区间为： , 63 kkkZ. 6 分 （） 令2sin(2)1 6 x ，有 1 sin(2)

4、62 x , 即 22 , 66 xkkZ或 5 22 , 66 xkkZ， 也即 , 6 xkkZ或 , 2 xkkZ. 高三数学参考答案 第 2 页（共 7 页） 因为0,x， 所以 6 x 或 2 x . 9 分 令 2sin(2)1 6 x ，得 1 sin(2) 62 x . 即 22 , 66 xkk Z或 5 22 , 66 xkk Z， 也即,xkkZ或 , 3 xkk Z. 因为0,x， 所以x 或 2 3 x . 11 分 又因为( )f x的单调递增区间为： 0, 3 和 5 , 6 ， ( )f x的单调递减区间为： 5 (,) 36 , 12 分 所以当( )( 1,

5、1f x 时，x的取值范围为 2 (0,) 62 3 13 分 （17）（本小题 14 分） 解:（） 由表可知，该患者共 6 天的体温不低于39 C，记平均体温为x， 1 分 1 (39.439.740.1 39.939.2+39.0)39.55 C 6 x 4 分 所以，患者体温不低于39 C的各天体温平均值为39.55 C. （）X的所有可能取值为0,1,2 5 分 30 32 3 5 1 (0) 10 C C P X C , 6 分 21 32 3 5 63 (1) 105 C C P X C , 7 分 12 32 3 5 3 (2) 10 C C P X C 8 分 则X的分布列为

6、： 9 分 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 1336 ()012 105105 E X 11 分 （）“抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由： “抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0C又回升 0.1C，“抗生素 C”使用期间持续 降温共计 1.2C，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳 抗生素 B” 治疗期间平均体温 39.03C， 方差约为0.0156； “抗生素 C” 平均体温 38C， 方差约为0.1067， “抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效 果明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳 14 分 “抗生素 B”治

7、疗效果最佳可使用理由： （不说使用“抗生素不说使用“抗生素 B”治疗才开始持续降温扣”治疗才开始持续降温扣 1 分分） 自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素 B”治疗当天共降 温 0.7C，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳 14 分 （开放型（开放型问题问题，答案不唯一，但答答案不唯一，但答“抗生素“抗生素 A”效果最好不得分效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分）不用数据不得分） P C D AB M F y x z H （18）（本小题 15 分） 解:（）因为平面ABCD 平面PCD， 1 分 平面

8、ABCD平面PCDCD, 2 分 AD平面ABCD, ADDC 3 分 所以AD平面PCD， 4 分 又因为PC平面PCD， 所以ADPC 5 分 （）选择评分细则： 在平面PCD内过点D作DHDC，交PC于H. 由（）可知，AD 平面PDC， 所以ADDH 故,AD CD DH两两垂直 如图，以D为原点，,DA DC DH所在直线分别 为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则(0,0,0)D，(0, 1, 3)P，(2,0,0)A，(2,1,0)B，(0,2,0)C 6 分 因为DH 平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n 而(2,1,3)PA，(2,2,

9、3)PB ， 设平面PAB的一个法向量为( , , ) x y zm 则由 0 0 PA PB ， ， m m 得 230, 2230, xyz xyz 取2z ，有( 3,0,2)m 8 分 所以 22 cos,7 |77 n m n m |n m 10 分 由题知，二面角PABC为锐角， 故二面角PABC的余弦值为 2 7 7 11 分 选择得分要点（评分细则同）：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则） 平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n；平面PBD的一个法向量为(3,2 3,2) m； 二面角PBD C为钝角；二面角PABC的余弦值为 2 19 19 . 选择得分要点（评

10、分细则同）：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则） 平面ABCD的法向量(0,0,1)n；平面PBC的法向量(1,2,2 3)m； 二面角PBCD为锐角；二面角PBCD的余弦值为 2 51 17 . （）假设棱BC上存在点F，MFPC设,0,1BFBC 12 分 依题意，可知 13 (1,) 22 M，( 2,1,0)BC ， ( 2 , ,0)BF ，(22 ,1,0)F， 13 分 高三数学参考答案 第 4 页（共 7 页） 33 (1 2 ,) 22 MF，(0,3,3)PC ， 14 分 则 1 20, 3 3 , 2 3 3 , 2 而此方程组无解，故假设不成立，所以结论成立

11、 15 分 （19）（本小题 14 分） 解： （） 由题意得： 2 222 2 3, 1 , 2 , b a c a abc 1 分 解得:2,3,1abc 2 分 所以椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy . 3 分 （） 依题意，若直线l的斜率不为零，可设直线:1(0)l xmym， 1122 ( ,), (,)A x yB x y 假设存在点P，设 0 (,0)P x，由题设， 0 1x ，且 01 xx， 02 xx. 设直线,PA PB的斜率分别为 12 ,k k， 则 12 12 1020 , yy kk xxxx 4 分 因为 1122 ( ,), (,)A x yB x

12、y在1xmy上， 故 1122 1,1xmyxmy 5 分 而x轴上任意点到直线,PA PB距离均相等等价于“PF平分APB”， 所以等价于 12 0kk 6 分 则 12 12 1020 yy kk xxxx 1221012 1020 () ()() x yx yxyy xxxx 12012 1020 2(1)() 0 ()() my yxyy xxxx 8 分 联立 22 1 43 1 xy xmy ，消去x，得： 22 (34)690mymy， 有 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm 10 分 则 00 12 22 10201020 1866246 0 (34)()

13、()(34)()() mmmxmmx kk mxxxxmxxxx ， 即 0 40mmx，又0m，故 0 4x 13 分 当直线l的斜率为零时，(4,0)P也符合题意 故存在点(4,0)P，使得x轴上任意点到直线,PA PB距离均相等. 14 分 高三数学参考答案 第 5 页（共 7 页） （20）（本小题 15 分） 解： （） 因为 2 ( )e() x f xax aR， 故( )e2 x fxax 1 分 依题意(1)e20fa ，即 e 2 a 2 分 当 e 2 a 时， e (1)0 2 f，此时切线不与x轴重合，符合题意，因此 e 2 a 3 分 （） 由（）知，( )e2 x

14、 fxax, 当0a 时，因为0,1x,e0 x ,20ax， 故( )0fx，即( )f x单调递增， 因此 max ( )(1)ef xfa 依题意，当0a 时， max ( )=ee2f xa，所以0a 符合题意 5 分 当0a 时，( )e2 x fxa，令( )0fx，有ln2xa 6 分 ( )fx,( )fx变化如下： x (,ln2 )a ln2a (ln2 ,)a ( )fx 0 + ( )fx 极小值 故 min ( )22 ln22 (1 ln2 )f xaaaaa 7 分 当1 ln20a时，即 e 0 2 a时，( )0fx ，( )f x单调递增， 因此 max (

15、 )(1)ef xfa 依题意，令e2a，有0e2a 8 分 当1 ln20a时，即 e 2 a 时，(1)e20fa ,(0)10 f ， 故存在唯一 0 (0,1)x 使 0 ()0fx 9 分 此时有 0 0 e20 x ax，即 0 0 e2 x ax，( )fx,( )f x变化如下： 10 分 x 0 (0,)x 0 x 0 (,1)x ( )fx + 0 ( )f x 极大值 所以 0 00 2 0 max00 e ( )()ee 2 x xx x f xf xax ， 0 (0,1)x 11 分 依题意，令 e ( )e 2 x x x g x ，(0,1)x，则 (1)e (

16、 )0 2 x x g x ，( )g x在(0,1)单调递增， 所以 e ( )(1)2 2 g xg ，所以 max ( )2f x，此时不存在符合题意的a 综上所述，当(,e2a ，( )f x在0,1上的最大值不小于2， 若(,e2a ，则( )f x在0,1上的最大值小于2， 所以a的取值范围为(,e2 12 分 解法二： （）当0,1x时，( )f x最大值不小于 2，等价于 2 ( )e2 x f xax在0,1x上有解，显然0 x 不是解, 即 2 e2 x a x 在(0,1x上有解， 4 分 设 2 e2 ( ) x g x x ， (0,1x, 高三数学参考答案 第 6

17、页（共 7 页） 则3 e2e4 ( ) xx x g x x 5 分 设( )e2e4 xx h xx ，(0,1x， 则( )e (1)0 x h xx 所以( ) h x在(0,1单调递减， ( )(1)4 e0h xh ， 7 分 所以 ( )0g x ，所以( )g x在(0,1单调递增， 9 分 所以 max ( )(1)e2g xg 10 分 依题意需e2a , 所以a的取值范围为(,e2 12 分 解法三: （）由（）知，( )e2 x fxax, （1）当 e 2 a 时，( )e2ee xx fxaxx, 设( )ee0,1 x h xx x，( )ee0 x h x ,

18、所以( )h x在0,1单调递减，故( )(1)0h xh 5 分 所以( )0fx，所以( )f x在0,1单调递增， 因此 max ( )(1)ef xfa 7 分 依题意，令e2a，得e2a 8 分 （2）当 e 2 a 时， 22 e ( )ee 2 xx f xaxx, 设 2 e ( )e 2 x xx,0,1x , 则( )ee( )0 x xxh x , 所以( )x在0,1单调递增， 10 分 故 max ee ( )(1)e2 22 x ，即( )2f x ，不符合题意 11 分 综上所述，a的取值范围为(,e2 12 分 （III）当0a 时，( )yf x有 0 个零点

19、；当 2 e 0 4 a 时，( )yf x有 1 个零点 当 2 e 4 a 时，( )yf x有 2 个零点；当 2 e 4 a 时，( )yf x有 3 个零点 15 分 （写对一个给 1 分，写对三个给 2 分，全对给 3 分） （21） （本小题 14 分） 解：（） (0, 0),(0,1)AB； (0,1),(0, 0)AB； 1 分 (1, 0),(1,1)AB； 2 分 (1,1),(1, 0)AB. 3 分 （） 令 121212 ( ,),( ,),( ,) nnn Aa aaBb bbCc cc， （i）对1,2,in， 当0 i c 时，有| | iiiiii acb

20、cab； 4 分 当1 i c 时，有| |1(1)| | iiiiiiii acbcabab 5 分 所以 11222222 (,)|+|+| nnnn d A C BCacbcacbcacbc 1122 |( , ) nn abababd A B 6 分 高三数学参考答案 第 7 页（共 7 页） （ii）证法 1：设 12 ( ,) n Aa aa， 12 ( ,) n Bb bb， 12 ( ,) n Cc cc n S， (,)d A Bk，( ,)d A Cl，( ,)d B Ch. 记(0,0,0) n OS，由（I）可知， ( , )(,)( ,)d A Bd AA BAd O BAk， ( , )(,)( ,)d A