角平分线的性质定理

1、第15章 轴对称图形与等腰三角形,15.4 角的平分线 第2课时 角平分线的性质及判定,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和 掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性 质解决一些简单的实际问题;（难点） 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理 证明意识和能力,学习目标,回顾与思考,角平分线的作法,问题：怎样作AOB的平分线呢？,折纸法,度量法,尺规作图,O,B,A,导入新课,问题：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场

2、应建在何处（比例尺为120000）?,O,学习了本节后，我们就能解决这个问题,讲授新课,1.折痕PE和PD与角的两边OA、OB有什么关系？PD和PE相等吗？ 2.两次折叠形成的两个直角三角形全等吗？ 3.由此你能得出关于角平分线的结论吗？并证明你的结论.,将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?,证明: OC平分AOB, P是OC上一点，（已知） DOP=BOP.（角平分线定义） PDOA,PEOB ，（已知） ODP=OEP=90.（垂直的定义） 在OPD和OPE 中， DOP=EOP ，（已证） ODP=OEP ，（

3、已证） OP=OP，（已知）,已知:OC平分AOB, P是OC上一点,PDOA,PEOB . 求证:PD=PE., OPDOPE, (AAS) PDPE.（全等三角形对应边相等）,由上面证明，我们得到角平分线的性质定理:,角平分线上的点到角两边的距离相等,逆 命 题,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.,你能证明吗？,如图，PDOA、PEOB,垂足分别是 D、E，PD=PE求证：点P在AOB的角平分线上,证明：,作射线OP, PDOA , PEOB, PDO=PEO=90. 在RtPDO和RtPEO中， OP=OP, PD=PE, RtPDORtPEO(HL).,AOP=BOP , 点

4、P在AOB角平分线上.,所以该逆命题成立,定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上,问题：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为120000）?,O,解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求.,D,C,S,O,例1. 如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PFAC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由,解：AD平分BAC理由如下： D到PE的距离与到PF的距离相等， 点D在EPF的平分线上 12 又PEAB，13 同

5、理，24 34，AD平分BAC,P,典例精析,例 2. 如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P也在A的平分线上.,N,M,证明：过点P作PDAB，PEBC， PFAC,垂足分别为D、E、F. BM是ABC的角平分线，点P在BM上,（已知） PD=PE. （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PF,（等量代换） 点P在A的平分线上, 即点P到AB、BC、 CA三边的距离相等.,E,D,F,M,N,当堂练习,1.如图, DEAB, DFBC, 垂足分别是E, F, DE =DF, EDB= 60, 则 EBF= ，BE= ,60,BF,A,B,C,D

6、,E,F,2.如图, ABC中, C=90, DEAB, 1=2, 且AC=6cm, 那么线段BE是ABC的 ，AE+DE= .,C,角平分线,6cm,3.如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上,BD=DF. 求证：CF=EB.,证明：AD平分CAB, DEAB，C90,（已知） CDDE. (角平分线的性质) 在RtCDF和RtEDB中, CD=DE ,（已证） DF=DB ,（已知） RtCDFRtEDB , (HL) CF=EB .（全等三角形对应边相等）,C,4.已知：如图所示，ADDE,BEDE,AC,BC分别平分DAB,ABE,点在线段DE上。求证：AB=AD+BE,过C作CPAB,P,证明（1)：,证明