保险精算_第2章_生命表

1、第 2 章 生命表,2.1 寿命分布 2.2 生命表 2.3 各年龄内的寿命分布 2.4 生命表的类型 2.5 生命表的构造,Actuarial Science,2.1 寿命分布,2.1.1 生存函数 2.1.2 余命 2.1.3 取整余命 2.1.4 死力 2.1.5 生存函数、死力的解析式,3,引例,人的寿命,连续型随机变量,寿命的分布函数与概率密度,4,约定,寿命的分布函数与概率密度,生存函数,7,生存函数(Survival Function),约定,8,生存函数(Survival Function),性质：,1、,2、单调递减的函数,3、一个右连续的函数,余命,10,余命(Future

2、 Lifetime),简记,分布函数,密度函数,11,国际通用精算符号,12,国际通用精算符号,说明：,1、,2、,13,国际通用精算符号,说明：,简记,14,国际通用精算符号,取整余命,16,取整余命(Curtate Future Lifetime),非负整数集上的离散型随机变量,死力,18,死力(Force of Mortality),在到达x岁的人当中，在此一瞬间里死亡的人所占的比率，就称之为死力（也称瞬间死亡率或死亡密度）,19,死力(Force of Mortality),生存函数、死力的解析式,生存函数、死力的解析式,21,1、de Moivre假设,2、Gompertz假设,生存

3、函数、死力的解析式,22,3、Makeham假设,4、Weibull假设,23,de Moivre假设特征分析,de Moivre假设：,24,de Moivre假设特征分析,2.2 生命表,2.2.1 死亡率 2.2.2 生存人数 2.2.3 死亡人数 2.2.4 平均余命 2.2.5 生命表各函数间的关系 2.2.6 取整余命 2.2.7 随机生存群体与确定生存群体,26,生存人数,27,死亡人数,28,平均余命,29,生命表各函数间的关系,30,生命表各函数间的关系,应用实例,例 根据美国19791981年国民生命表计算30岁的美国人发生一下事件的概率：（1）活过80岁；（2）在5年之内

4、死亡；（3）在60岁死亡。,解,31,32,取整余命,33,取整余命,34,随机生存群体与确定生存群体,随机生存群体: 某一群体中，在各个年龄的生存人数和各年龄间的死亡人数都是随机变量，称之为。,确定生存群体： 由于群体各年的生存人数是确定的，这样的群体称之为。,35,随机生存群体与确定生存群体,应用实例,例 已知某生存群体55岁的生存人数为89509人，往后5年的死亡率分别为0.006、0.007、0.009、0.012、0.015。求该群体60岁时的生存人数。,解,36,1.3 各年龄内的寿命分布,1.2.1 线性插值 1.2.2 几何插值 1.2.3 调和插值 1.2.4 平均余命的计算

5、,线性插值,39,线性插值,40,线性插值,41,线性插值,42,线性插值,年龄内均匀分布假设，UDD假设,应用实例,例 设某人在3个月前满75岁，根据本章所列生命表在年龄内均匀分布假设下求其在5年内死亡的概率 。,解,43,应用实例,解,44,几何插值,46,几何插值,47,几何插值,48,几何插值,年龄内常数死力假设，CFM假设,调和插值,50,调和插值,平均余命的计算,52,平均余命的计算,53,平均余命的计算,1.2 年金,1.2.1 期末付年金 1.2.2 期初付年金 1.1.3 连续年金,55,年金,年金（Annuity）是指按照相等时间间隔支付的一系列款项。,Annuity,期末

6、付年金,0 1 2 3 ,1 1 1 1 1 1,时 间,付 款 额,0 1 2 3 ,1,时 间,每年所得,56,期末付年金,0 1 2 3 ,1 1 1 1 1 1,时 间,付 款 额,57,期末付年金,等式两侧同时乘以,58,期末付年金,经济含义：各期期末投资本金为1的年金积累制有两种算法。 一种是各期期末投资本金为1，直接积累到期期末，求和即为 （公式左边）； 一种是先求出各期期末投资本金为1的年金现值，即 ，作为时刻0的一次性投资，以复利 计算，求出 期期末的积累值，即 。 两种计算结果相同。,59,应用实例,例 计算年利率为6%的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值及积

7、累值。,解,元,元,年金现值,年金积累值,60,应用实例,例 某银行客户想通过零存整取方式在1年后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下，问每月末需存入多少钱才能达到其目的。,解,元,元,设每月需存入D元，有,则：,61,62,期初付年金,在每个付款期间开始时付款的年金为期初付年金。 假设一笔年金，付款期限为 期，每期期初付款额为1，每期利率为 ，各期付款如下,0 1 2 3 ,1 1 1 1 1 1,时 间,付 款 额,期初付年金,0 1 2 3 ,1,时 间,每年所得,63,0 1 2 3 ,1 1 1 1 1 1,时 间,付 款 额,期初付年金,0 1 2 3 ,1 1 1 1 1

8、 1,时 间,付 款 额,64,期初付年金,等式两侧同时乘以,65,期初付年金,66,期初付年金,67,应用实例,例 某银行客户想通过零存整取方式在1年后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下，问每月初需存入多少钱才能达到其目的。,解,元,元,设每月需存入D元，有,则：,68,连续年金,70,连续年金,付款频率无限大（即连续付款）的年金称为连续年金。 连续付款 个计息期，每个计息期的付款额之和为1。,0 1 2 3 ,1 1 1 1 1,时 间,付 款 额,连续年金,71,0 1 2 3 ,1 1 1 1 1,时 间,付 款 额,式中， 为时刻 到时刻0的折现因子； 为时刻 的付款额； 为时刻 的付款额在时刻0的现值。,年金现值,连续年金,72,0 1 2 3 ,1 1 1